This article is a lecture accepted for presentation and publication in the proceedings of the 2nd International Conference .on the Teaching of Mathematics, held in Crete on July 2002. Some elements to have in mind for the teaching of Game Theory are given, using the author's teaching experience that relies on the viewpoint that encourages the formal development of mathematical concepts after proposing students problems related with these concepts and after stimulating and analyzing their intuitive approaches to the solution of these problems.

Magíster en Gestión de Operaciones. Ingeniero Civil Industrial / En el último tiempo, la creciente atención que ha tomado el problema de la delincuencia, tanto de parte de la ciudadanía como del gobierno y de las agencias de control del orden público, ha potenciado el desarrollo de estrategias de prevención, no sólo desde las ciencias sociales, sino que, cada vez más, desde una perspectiva cuantitativa. En este trabajo se presenta un enfoque novedoso que, basado en las premisas de la criminología ambiental y de la prevención situacional del delito, utiliza las herramientas de la Teoría de Juegos para el diseño de estrategias de vigilancia policial en la vía pública. En términos generales, en este trabajo se modela la interacción entre policías y delincuentes a través de juegos de Líder-Seguidor, donde la policía, actuando como líder, debe posicionar sus efectivos policiales sobre el ambiente, mientras que los delincuentes, actuando como seguidores, observan la distribución policial y toman sus posiciones para delinquir. En particular, se asume que el comportamiento de los delincuentes puede tomar dos formas distintas. En un primer caso, los delincuentes actúan de manera coordinada, resultando un juego de Stackelberg entre un líder y un seguidor. En el segundo caso se considera que cada delincuente actúa de manera totalmente individual, maximizando su propia función de utilidad. En este caso se combina un juego de Stackelberg entre la policía y el conjunto de delincuentes, con un juego entre delincuentes, resultando una competencia conocida como Stackelberg-Nash. Tres características determinan estos juegos. Por un lado, se asume que la riqueza no se distribuye de manera homogénea en el ambiente, sino que existen sectores mas atractivos para delinquir. Por otro lado, los delincuentes se afectan entre sí al posicionarse en un mismo lugar, reduciendo la utilidad que perciben, y por último, a medida que aumenta la vigilancia en un sector, la utilidad de los delincuentes en ese lugar se reduce. Estos modelos fueron evaluados en un ambiente computacional que contiene muchas de las características que se pueden observar a través de los datos de denuncias a delitos de hurto en el centro de Santiago. Cuando se comparan las estrategias propuestas en este trabajo con esquemas de patrullaje alternativos similares a los utilizados actualmente por la policía, es posible observar que la utilización de teoría de juegos logra reducciones superiores a un 15% en la utilidad percibida por los delincuentes. Esto debido a que, con los esquemas de vigilancia propuestos en este trabajo, se combina el combate a la delincuencia en los sectores mas conflictivos con la prevención de su desplazamientos a sectores que antes se consideraban seguros.

El objetivo del presente trabajo de título es estudiar las implicancias de un modelo a tiempo continuo para juegos repetidos con información incompleta, con el objeto de estudiar la versatilidad y verosimilitud de este marco teórico. Los juegos repetidos comenzaron a ser estudiados desde un contexto teórico discreto llegándose a caracterizar el conjunto de pagos alcanzables en equilibrio, entendiéndose equilibrio como aquella situación desde la cual ninguno de los jugadores quiere cambiarse unilateralmente. En particular, se caracterizaron dichos pagos en el caso en que los jugadores saben exactamente qué jugaron los demás -caso información completa- y en el caso en que los jugadores sólo saben parcialmente cómo sus contrincantes actuaron -caso de información incompleta. Para el caso en tiempo continuo, aquí, se presentan intuiciones que justifican el modelo, además, se explican algunas de sus características más extensamente que en su presentación original (Sannikov, [5]). El modelo será para dos jugadores y nos permitirá caracterizar completamente el conjunto de pagos de equilibrio. Más aún, podremos encontrar las acciones que los jugadores deben tomar para alcanzar la frontera de dicho conjunto de pagos. Junto a lo anterior, se proponen heurísticas sobre cómo caracterizar la frontera del conjunto de pagos en distintos contextos. Además, se resuelven varios juegos de bienes complementarios usando el modelo a tiempo continuo. Estos juegos ayudarán a concluir acerca de los efectos que tienen la falta de información, la impaciencia y la incertidumbre sobre el conjunto de pagos alcanzables en equilibrio. Finalmente, se concluye que el modelo presentado es muy versátil para modelar muchos tipos de juegos repetidos. También, entrega resultados verosímiles e interesantes sobre el comportamiento de los jugadores. Se muestra también que las heurísticas funcionan para obtener resultados numéricos al aplicar el modelo a los juegos presentados aunque se sugiere buscar alguna otra manera para obtener dichos resultados de manera más eficiente y mejor justificada teóricamente.

Ingeniero Civil Matemático / En esta memoria estudiaremos el problema de asignar un recurso divisible a un conjunto de n jugadores cuyas valoraciones por el recurso o una fracción de este son desconocidas. Kelly (1997) propuso el mecanismo de asignación proporcional en que los jugadores ofrecen cierta cantidad, y reciben una fracción del bien proporcional a su oferta. Johari y Tsitsiklis en 2004 demuestran que este mecanismo entrega siempre soluciones cuya utilidad social es al menos un 75\% de la \'optima. En esta memoria estudiaremos una extensión de este mecanismo. En ella, se consideran dos etapas y en cada una de ellas se utiliza el mecanismo proporcional, con la salvedad que en la segunda etapa los jugadores tienen dotaciones iniciales del recurso. Este juego es bastante mas complejo pues en particular requiere que los jugadores anticipen el resultado de la segunda etapa para determinar sus ofertas \'optimas en la primera. Esto nos lleva al concepto de equilibrio perfecto en subjuegos. Nuestro principal resultado es un teorema de existencia de equilibrio en estrategias mixtas para este juego. Observamos que esto no se deduce del teorema de Nash pues el conjunto de estrategias puras en nuestro caso no es finito. Luego demostramos que en el caso de dos jugadores y funciones de utilidad lineal el juego posee un equilibrio en estrategias puras. Finalmente demostramos que el precio de la anarquía, que cuantifica la ineficiencia de los equilibrios con respecto a la solución socialmente óptima es a lo más $2\sqrt{2}-2$, complementando un resultado de Prakash Azad y Musacchio. En el camino demostramos numerosas propiedades estructurales de los equilibrios en nuestro juego.

Un alumno de la Facultad de Derecho ingresa a un aula y observa, con cierta sorpresa, al profesor encargado de la clase desarrollando una serie de fórmulas y un par de bi-matrices en la pizarra. ¿Cuál cree usted que será su primera reacción? Probablemente, el alumno creerá que el aula no es la correcta y, habiéndose asegurado que sí lo es, se cuestionará la necesidad de aprender a desarrollar tales herramientas debido a que, habitualmente, la ciencia jurídica se encarga de determinar las conductas sociales que deben ser promovidas y prohibidas a efectos de fomentar la convivencia armónica entre los ciudadanos sin emplearlas. Sin embargo, sin éstas, los legisladores no pueden estar completamente seguros si las normas legales que emiten fomentan la conducta social que desean promover de manera óptima, los ciudadanos no comprenden por qué deben cumplir determinada norma legal y los abogados no pueden estar seguros que la solución que plantean para un caso específico se mantendrá estable a futuro, entre otros. En tal sentido, la utilización de ciencias puras en el análisis del razonamiento legal de ciudadanos, legisladores y otros operadores podría permitir contar con una mayor certeza respecto de los resultados de sus decisiones. Así, decidí elaborar una tesis basada en teoría de juegos aplicada al Derecho a fin de fomentar el aprendizaje y aplicación de ésta al análisis de la ciencia jurídica entre alumnos y profesores / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / El objetivo principal de este trabajo de memoria de título es estudiar la unicidad del Equilibrio de Nash para el mecanismo de asignación proporcional aplicado a Redes de Congestión, descrito por Johari y Tsitsiklis, donde lo que se busca repartir es la capacidad de los arcos de la red entre varios agentes interesados, cada uno de los cuales cuenta con un conjunto de caminos en la red a través de los que pretende enviar flujo. En dicho trabajo, se muestra que el equilibrio es único para el caso en que la red es en realidad un solo arco, pero se deja como problema abierto la unicidad en una red general. Aportar al conocimiento sobre la unicidad del equilibrio en configuraciones más generales, es la principal motivación del trabajo desarrollado. En esta memoria se aborda el problema estudiando la unicidad desde casos particulares a situaciones más generales, obteniendo como resultado principal que el equilibrio es único para el caso de una red con arcos de distintas capacidades, y donde los jugadores están interesados cada uno en un solo camino (esto último se denomina \emph{Fixed Routing}). Para algunos casos particulares incluso fue posible explicitar las estrategias que definen el único equilibrio. El caso más general -donde cada jugador está interesado en varios caminos en la red- continúa como problema abierto, sin embargo se muestran aquí algunos contraejemplos a otras nociones de unicidad que se pierden en aquel caso. Como objetivo secundario, el trabajo desarrollado en el marco de esta memoria busca dar una nueva demostración de que el Precio de la Anarquía del juego en una red general es $3/4$, aplicando la técnica para el caso de un solo arco descrita por Correa et al. Dicho objetivo se logra, en primer lugar para el caso de \emph{Fixed Routing} y una red con la misma capacidad en todos los arcos, y también para el caso en que los jugadores tienen todos el mismo camino de interés, y las capacidades de los arcos son distintas. Por la experiencia adquirida durante el desarrollo del trabajo, es posible intuir que este es el caso más general en que se puede aplicar la técnica sin modificarla. Por último, se define para el caso de un solo arco, una versión secuencial del mecanismo de asignación proporcional, donde los jugadores no actúan simultáneamente sino que van llegando en orden. Para el caso de dos jugadores, se muestra explícitamente cuál es el único Equilibrio Perfecto en Subjuegos y se obtiene que el Precio de la Anarquía secuencial asociado es $0.875$. Este resultado coincide -tanto en la asignación que entrega el equilibrio, como en la eficiencia del mismo- con el mecanismo \emph{óptimo} para dos jugadores definido por Sanghavi y Hajek. Para el caso de tres jugadores no es posible encontrar analíticamente equilibrios, pero sí se encuentran relaciones implícitas entre las estrategias de los jugadores que permiten hallar numéricamente dos candidatos a equilibrio.

Ingeniero Civil Matemático / El objetivo principal del presente trabajo de memoria de título es el cálculo de cotas para precio de la anarquía de algunos juegos asociados a problemas de scheduling. Se comienza realizando una revisión general de lo que son los problemas de scheduling, un algoritmo de aproximación y la relación que existe entre teoría de juegos y los problemas de scheduling. Ahí se identifica el cuociente de aproximación del algoritmo de Smith para problemas de scheduling, con el precio de la anarquía de un juego asociado. Se realiza también una revisión de los principales resultados conocidos útiles para el presente trabajo. Más adelante se calcula el precio de la anarquía para ciertos juegos de scheduling donde la función objetivo es la suma ponderada de los tiempos de completación. Se demuestra que en el caso de máquinas idénticas, el precio de la anarquía en estrategias mixtas es 3/2. Se demuestra también que en máquinas paralelas con velocidades, el precio de la anarquía es mayor o igual a 2. Por último, se prueba acá que en el caso en que todos los trabajos tienen el mismo tamaño, el precio de la anarquía del juego de scheduling en máquinas paralelas con velocidades y suma ponderada de los tiempos de completación como función objetivo es 1. Para seguir se estudia el juego asociado al problema de scheduling en el cual la función objetivo es la suma de los tiempos de completación, y las máquinas son todas excepto una idénticas entre sí, la máquina restante es de velocidad mayor a las demás, y las máquinas que son más lentas son una cantidad suficientemente grande. Para este juego de scheduling se demuestra que el precio de la anarquía es e/(e-1). Después se estudia el juego mencionado anteriormente en su caso más general, en el cual la cantidad de máquinas lentas no está restringida a ser suficientemente grande. Para este problema se demuestra que el precio de la anarquía está acotado superiormente por 5/3. Se muestra además un problema de programación lineal cuyo óptimo acota superiormente el precio de la anarquía del juego de scheduling de máquinas paralelas con velocidades y suma de los tiempos de completación como función objetivo. Finalmente, se plantea como conjetura que el precio de la anarquía del juego asociado al problema de scheduling más general antes mencionado es efectivamente e/(e-1), y se muestran pruebas computacionales que fueron realizadas, con las cuales se justifica el plantear esta conjetura.

Ingeniero Civil Matemático / El propósito de esta memoria es estudiar un modelo de aprendizaje en juegos repetidos. A diferencia de otros esquemas estudiados en la literatura, en este caso se estudia una situación en que los jugadores disponen de muy poca información, pudiendo observar solamente el pago recibido en cada etapa pero sin observar las estrategias usadas por los demá́s jugadores ni sus correspondientes pagos. En base a la información individual recolectada a medida que se desarrolla el juego, cada jugador genera una percepción del pago esperado de las distintas estrategias puras, y en base a estas percepciones adapta su comportamiento para las siguientes etapas del juego. En el capítulo 1 se presentan los modelos de las principales referencias bibliográficas, junto a los resultados mas relevantes que allí se obtienen. Se definen además las instancias y variantes a los modelos anteriores con las que se trabajará a lo largo de esta memoria. El capítulo 2 contiene todas las herramientas técnicas y conocimientos previos que fueron necesarias para desarrollar los resultados obtenidos. Se comienza con una sección de introducción a la topología diferencial, cuya principal referencia es el texto Topology from the differentiable viewpoint de Milnor, donde el resultado de mayor interés es el conocido Teorema de Poincaré-Hopf. En la siguiente sección se describen resultados referentes a martingalas, diferencias de martingalas y algunos teoremas de convergencia. La última sección está dedicada a estudiar los algoritmos de aproximación estocástica, basado en trabajos de las principales referencias en el tema, como Benaïm, Chen y Kushner. El capítulo 3 está dedicado a estudiar el proceso de aprendizaje propuesto, que consiste en una regla de actualización de las percepciones de los jugadores sobre su espacio de estrategias puras al enfrentarse a un juego repetido, los resultados asintóticos (cuando la iteración n tiende a ∞) guarda estrecha relación con una dinámica continua asociada, cuyos puntos estacionarios corresponden a los equilibrios de Nash de un juego potencial subyacente. Bajo la regla de decisión Logit y algunas condiciones sobre los parámetros del modelo, se obtienen interesantes resultados de convergencia casi segura y con probabilidad positiva a atractores de la dinámica continua. Finalmente en el capítulo 4 se estudia el modelo de Cominetti et al. [7], para unas instancias específicas (caso de 2 y 3 jugadores con 2 rutas) con el objetivo de contar a cantidad de equilibrios del sistema.

Magíster en Economía Aplicada / Teóricamente un duopolio de firmas que compiten en precio obtendrá utilidades iguales a cero si fijan sus precios de manera simultánea, presentan costos marginales y costos medios constantes e iguales entre sí, no tienen costos fijos y ofertan un producto homogéneo. Este resultado variará si el juego puede extenderse por varios períodos, ya que para las firmas proyectar una futura guerra de precios propicia que estas busquen sostener precios altos (mayores al costo marginal) lo que naturalmente implicaría desempeñarse bajo un esquema colusivo. Probablemente esta colusión sea del tipo tácito, debido principalmente a que la mayoría de los mercados están suscritos a leyes anti monopólicas que penalizan a aquellas firmas que cooperativamente se cartelizan para abordar un mercado. La literatura asociada al tema asume y calcula factores de descuento para un esquema colusivo tácito que sólo se da en la variable precio. Sin embargo, en la realidad muchas firmas que compiten en un mercado, no sólo elijen su estrategia de precios, sino que también los distintos niveles de calidad asociados a su oferta. En este sentido, en este trabajo se construye un modelo que se evalúa en dos súper juegos (simultáneo y consecutivo) donde se representan todos los esquemas en las que dos firmas compiten y se coluden tácitamente en las variables precio y calidad, sobre la base de dos bienes diferenciados horizontalmente. Los resultados principales apuntan a que: (i) el timing de los juegos determina distintas conclusiones sobre la sostenibilidad de los acuerdos colusivos y (ii) bajo un juego simultáneo nunca se verá un cartel en precio.

Magíster en Economía Aplicada / En este trabajo son estudiados los problemas de incentivos que enfrentan líderes dentro de una comunidad y sus efectos sobre la cooperación que se puede sostener en equilibrio. Es considerado un modelo de juego repetido en el que una comunidad formada por grupos disjuntos presenta una estructura simple de liderazgo. Cada agente del juego es emparejado en cada etapa con otro jugador de cualquier grupo mediante una función de emparejamiento uniforme, tras lo cual ambos agentes juegan un Dilema del Prisionero. Se ha propuesto en este caso una norma social de dos fases, similar a la planteada por Ellison (1994), la que es implementada a través de las instrucciones entregadas por los líderes de cada grupo a sus constituyentes. A su vez, los líderes resuelven el problema de agencia que se genera entre ellos usando una estrategia de revisión simétrica basada en Radner (1985). La literatura en normas sociales ha estudiado los problemas de incentivos que enfrentan agentes pertenecientes a diferentes grupos al interactuar entre sí en contextos fuera del marco legal (Fearon & Laitin, 1996; Greif, 1993). Además, ha identificado en algunos casos el papel que cumplen estructuras de liderazgo en la implementación de normas sociales que regulan interacciones económicas inter-grupales (Milgrom, North, et al, 1990; Fearon & Laitin, 1996; Geertz, 1973). Sin embargo, dentro de la literatura no había sido modelado explícitamente el problema de incentivos que líderes de distintos grupos enfrentan al implementar una norma social común. Es definido un concepto de equilibrio en estrategias simétricas para un modelo de interacción inter-grupal con líderes locales. Entre las contribuciones del modelo están el mostrar cómo una simple estructura de liderazgo puede sustentar un equilibrio en el cual el comportamiento oportunista por parte de los líderes se mantiene bajo control y las interacciones inter-grupales permanecen cooperativas en el camino del equilibrio. Un resultado significativo es que el equilibrio simétrico para los líderes es robusto. Esto significa que después de un desvío, en un número finito de etapas, es restaurado un perfil de acciones en el que todos los agentes de la comunidad cooperan entre sí. Este resultado permite darle racionalidad a la existencia de líderes, ya que estos permitirían implementar una norma social que le genera a cada agente una utilidad arbitrariamente cercana a la óptima social mientras, al mismo tiempo, se obtiene cierto grado de estabilidad pues la cooperación puede resistir desviaciones ocasionales o errores.