L'ensemble des méthodes statistiques utilisées dans la modélisation de données nécessite la recherche de solutions optimales locales mais aussi l’estimation de la précision (écart-type) liée à ces solutions. Ces méthodes consistent à optimiser, par approximations itératives, la fonction de vraisemblance ou une version approchée. Classiquement, on utilise des versions adaptées de la méthode de Newton-Raphson ou des scores de Fisher. Du fait qu'elles nécessitent des inversions matricielles, ces méthodes peuvent être complexes à mettre en œuvre numériquement en grandes dimensions ou lorsque les matrices impliquées ne sont pas inversibles. Pour contourner ces difficultés, des procédures itératives ne nécessitant pas d’inversion matricielle telles que les algorithmes MM (Minorization-Maximization) ont été proposées et sont considérés comme pertinents pour les problèmes en grandes dimensions et pour certaines distributions discrètes multivariées. Parmi les nouvelles approches proposées dans le cadre de la modélisation en sécurité routière, figure un algorithme nommé algorithme cyclique itératif (CA). Cette thèse a un double objectif. Le premier est d'étudier l'algorithme CA des points de vue algorithmique et stochastique; le second est de généraliser l'algorithme cyclique itératif à des modèles plus complexes intégrant des distributions discrètes multivariées et de comparer la performance de l’algorithme CA généralisé à celle de ses compétiteurs. / Most of the statistical methods used in data modeling require the search for local optimal solutions but also the estimation of standard errors linked to these solutions. These methods consist in maximizing by successive approximations the likelihood function or its approximation. Generally, one uses numerical methods adapted from the Newton-Raphson method or Fisher’s scoring. Because they require matrix inversions, these methods can be complex to implement numerically in large dimensions or when involved matrices are not invertible. To overcome these difficulties, iterative procedures requiring no matrix inversion such as MM (Minorization-Maximization) algorithms have been proposed and are considered to be efficient for problems in large dimensions and some multivariate discrete distributions. Among the new approaches proposed for data modeling in road safety, is an algorithm called iterative cyclic algorithm (CA). This thesis has two main objectives: (a) the first is to study the convergence properties of the cyclic algorithm from both numerical and stochastic viewpoints and (b) the second is to generalize the CA to more general models integrating discrete multivariate distributions and compare the performance of the generalized CA to those of its competitors.

Cette thèse s'inscrit dans le contexte de l'analyse des signaux biomédicaux multicapteurs par des méthodes stochastiques. Les signaux auxquels nous nous intéressons présentent un caractère oscillant transitoire bien représenté par les décompositions dans le plan temps-fréquence c'est pourquoi nous avons choisi de considérer non plus les décours temporels de ces signaux mais les coefficients issus de la décomposition de ces derniers dans le plan temps-fréquence. Dans une première partie, nous décomposons les signaux multicapteurs sur une base de cosinus locaux (appelée base MDCT) et nous modélisons les coefficients à l'aide d'un modèle à états latents. Les coefficients sont considérés comme les réalisations de processus aléatoires gaussiens multivariés dont la distribution est gouvernée par une chaîne de Markov cachée. Nous présentons les algorithmes classiques liés à l'utilisation des modèles de Markov caché et nous proposons une extension dans le cas où les matrices de covariance sont factorisées sous forme d'un produit de Kronecker. Cette modélisation permet de diminuer la complexité des méthodes de calcul numérique utilisées tout en stabilisant les algorithmes associés. Nous appliquons ces modèles à des données électroencéphalographiques et nous montrons que les matrices de covariance représentant les corrélations entre les capteurs et les fréquences apportent des informations pertinentes sur les signaux analysés. Ceci est notamment illustré par un cas d'étude sur la caractérisation de la désynchronisation des ondes alpha dans le contexte de la sclérose en plaques. / This thesis adresses the problem of multichannel biomedical signals analysis using stochastic methods. EEG signals exhibit specific features that are both time and frequency localized, which motivates the use of time-frequency signal representations. In this document the (time-frequency labelled) coefficients are modelled as multivariate random variables. In the first part of this work, multichannel signals are expanded using a local cosine basis (called MDCT basis). The approach we propose models the distribution of time-frequency coefficients (here MDCT coefficients) in terms of latent variables by the use of a hidden Markov model. In the framework of application to EEG signals, the latent variables describe some hidden mental state of the subject. The latter control the covariance matrices of Gaussian vectors of fixed-time vectors of multi-channel, multi-frequency, MDCT coefficients. After presenting classical algorithms to estimate the parameters, we define a new model in which the (space-frequency) covariance matrices are expanded as tensor products (also named Kronecker products) of frequency and channels matrices. Inference for the proposed model is developped and yields estimates for the model parameters, together with maximum likelihood estimates for the sequences of latent variables. The model is applied to electroencephalogram data, and it is shown that variance-covariance matrices labelled by sensor and frequency indices can yield relevant informations on the analyzed signals. This is illustrated with a case study, namely the detection of alpha waves in rest EEG for multiple sclerosis patients and control subjects.