En esta tesis hemos estudiado dos problemas: el primero consiste en encontrar condiciones mínimas para obtener una cierta clase de recubrimientos del plano discreto mediante cuadrados y el segundo corresponde al estudio de redes Booleanas. El problema de recubrimiento por cuadrados nace como una variante del problema de embaldosado. El problema de embaldosado consiste en cubrir el plano discreto, o una parte de éste, sin dejar hoyos y sin superponer baldosas con un número finito de formas distintas. El caso estudiado consiste en cubrir completamente el plano discreto usando sólo cuadrados que pueden superponerse, pero no pueden compartir bordes ni vértices (recubrimiento fuerte). Además, se estudia el caso donde se permite dejar zonas de tamaño acotado sin cubrir y donde todos los cuadrados en el recubrimiento deben estar conectados (recubrimiento débil). Hemos probado que, en el caso donde todos los cuadrados tienen el mismo tamaño e intersectan el mismo número de cuadrados, los recubrimientos fuertes y débiles presentan cotas inferiores para el tamaño y número de cuadrados que los intersectan. Además, para un tamaño de cuadrado dado, mostramos una cota superior de orden lineal para el número de cuadrados que lo intersectan en un recubrimiento sea fuerte o débil, El segundo problema trata de redes Booleanas, las que fueron introducidas por S. Kauffman (1969) con el objeto de modelar las redes de regulación génica. El primer aspecto estudiado son las redes Booleanas cuyo grafo asociado es por capas. Probamos que el comportamiento límite de este tipo de redes queda completamente determinado por el estado inicial de los nodos en la primera capa, y que los atractores de estas redes son de largo potencia de dos. Más aún, en el caso que todas las bucles sean monótonas crecientes todos los atractores son puntos fijos. El segundo aspecto estudiado es la robustez de la dinámica y del comportamiento límite de una red Booleana frente a distintos esquemas de actualización (paralelo, secuencial por bloques o secuencial). Cada esquema de actualización permite definir un grafo con signo, los resultados obtenidos prueban que si dos esquemas de actualización generan el mismo grafo con signo, estas redes tienen exactamente el mismo comportamiento dinámico. Por otro lado, dado que los puntos fijos son invariantes frente a los distintos esquemas de actualización, nos concentramos en estudiar cómo pequeños cambios en el esquema de actualización producen diferencias en el conjunto de ciclos dinámicos asociados a una red Booleana. Uno de los principales resultados es el que muestra que, dado un esquema de actualización es posible encontrar otro con el cual no comparte ciclos dinámicos. Por último, presentamos un algoritmo que opera como un filtro de ciclos dinámicos para redes Booleanas donde todos los circuitos son positivos. Dada una red Booleana, que tiene sólo circuitos positivos, este filtro permite encontrar en tiempo polinomial una nueva red Booleana que tiene exactamente los mismos puntos fijos, pero no tiene ningún ciclo dinámico. Este algoritmo permite, además, encontrar un punto fijo de la red Booleana en tiempo polinomial.

La presente tesis doctoral se centra en la creación de un simulador de análisis causal (Smarta), el cual permite estudiar las tendencias y relaciones causales de sistemas con grandes dimensiones. Para ello, la aplicación automatiza una técnica novedosa creada por el grupo de investigación de "Sistémica, Cibernética y Optimización" (SCO), perteneciente al Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Alicante. Dicha técnica está basada en Teoría General de Sistemas, Teoría de Grafos y Teoría del Caos Discreto. En este sentido, Smarta permite introducir las variables del sistema complejo bajo estudio, y a partir de ellas, solicita al usuario distintos parámetros que son utilizados posteriormente para calcular los pares causa-efecto, representando un grafo dirigido interactivo y determinando las tendencias del sistema, según diversos elementos de la Teoría del Caos Discreto. En cuanto a las características de desarrollo, Smarta ha sido implementado a través del entorno Qt (versión 5, 32-bit, open-source), haciendo uso del lenguaje de programación C++. Cabe destacar que el software puede ser ejecutado en Windows, macOS y GNU/Linux. La estructura del siguiente trabajo se divide en 6 capítulos. En el capítulo 1 se introducen los orígenes, la motivación, los objetivos y la metodología del proyecto de investigación. En el capítulo 2 se analizan los antecedentes de la sistémica general, comenzando por la Teoría General de Sistemas y sus limitaciones, pasando por la Teoría Abstracta de Sistemas y varias definiciones sistémicas relevantes, y finalizando con la Dinámica de Sistemas. En el capítulo 3 se estudian conceptos previos relativos a la Teoría del Caos Discreto, como la noción de sistema complejo, la tipología de las variables y las influencias entre estas, la función estructural, las órbitas, el cubrimiento, la invariabilidad, los atractores y las cuencas de atracción. En el capítulo 4 se procede al diseño de Smarta, partiendo de una explicación general del programa, analizando los distintos módulos que lo componen y realizando diversas pruebas para validar el funcionamiento del mismo. En el capítulo 5 se ahonda en las aplicaciones del simulador. Concretamente, se emplea el software para estudiar 3 escenarios bien diferenciados: (1) el sector industrial español, (2) el ciclo de vida (PLC) del smartphone y (3) el análisis de redes turísticas. Finalmente, en el capítulo 6 se exponen las conclusiones del estudio y se enuncian algunas líneas de trabajo futuras. / Tesis financiada por el Vicerrectorado de Investigación y Transferencia de Conocimiento de la Universidad de Alicante, mediante la ayuda UAFPU2017-005.