Interval minors of binary matrices were introduced by Jacob Fox in the study of Stanley-Wilf limits. We study what can be implied from their relation to the theory of pattern avoidance of submatrices, which is a very popular area of discrete mathematics. We start by characterizing matrices avoiding small interval minors. We then consider classes of matrices closed under interval minors and we find classes of matrices that cannot be described by a finite number of forbidden interval minors. We also define and study a variant of a classical extremal Tur'an- type question studied in the area of combinatorics of permutations and binary matrices and in combinatorial geometry. 1

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la recherche d'“items” et d'“itemsets” d'intérêt via la décomposition de matrice binaire (Binary Matrix Factorization, BMF) et à la recherche d'objets représentatifs. Pour cela, nous étudions l'état de l'art des techniques de décomposition matricielle. Nous établissons, dans le premier Chapitre, un lien entre BMF et le problème de programmation binaire quadratique sans contraintes (Unconstrained Binary Quadratic Programming, UBQP) afin d'utiliser les algorithmes et heuristiques existant dans la littérature pour UBQP et les appliquer à BMF.Nous proposons dans le Chapitre 2 une nouvelle heuristique adaptée au calcul de BMF. Cette technique efficace optimise les solutions de BMF ligne par ligne (ou colonne par colonne) en inversant 1 bit à chaque fois. En utilisant le lien établi dans le Chapitre 2 qui nous permet d'appliquer les algorithmes et heuristiques d'UBQP à BMF, nous comparons la méthode proposée (1-opt-BMF) avec les heuristiques spécialisées pour UBQP (1-opt-UBQP) ainsi que les heuristiques classiques (1-opt-Standard). Nous montrons ensuite, en théorie et en pratique, l'efficacité de 1-opt-BMF sur une large variété de données publiques. Dans le Chapitre 3, nous nous intéressons au problème de la recherche des itemsets représentatifs en utilisant BMF et 1-opt-BMF. Pour cela, nous considérons dans un premier temps le lien entre le problème de “frequent itemset mining” et BMF, et proposons une nouvelle méthode que nous appelons “Decomposition Itemset Miner” (DIM). Une série d'expérience montre la qualité des résultats obtenus et l'efficacité de notre méthode.Enfinf, nous nous intéressons, dans le Chapitre 4, à la recherche d'objets représentatifs (qui donnent une vue globale sur les données) dans des données de grandes dimensions. Nous examinons les méthodes disponibles dans la littérature en donnant les avantages et les inconvénients de chacune. Ensuite, nous défnissons mathématiquement le problème de sélection d'instance (Instance Selection Problem: ISP) et présentons trois variantes à ce problème ainsi que leur solutions. Dans les expériences, nous montrons que, bien qu'ISP puisse surpasser les autres méthodes dans certains cas, il vaut mieux le considérer en général comme une technique complémentaire dans le cadre de la recherche des objets représentatifs. / This thesis focuses on mining representative items and itemsets using Binary Matrix Factorization (BMF) and instance selection. To accomplish this task, we first, in Chapter 1, consider the BMF problem by studying the literature on matrix decomposition techniques and the state-of-the-art algorithms. Then, we establish a connection between BMF problem and Unconstrained Binary Quadratic Programming (UBQP) problem in order to use UBQP's algorithms and heuristics, available in the literature, in case of BMF solutions. Next, in Chapter 2, we propose a new, efficient heuristic which flips 1 bit at the time in order to improve the solutions of BMF. Using the established link discussed in Chapter 2, which enables us to use heuristics of UBQP, we compare the proposed technique, called 1-opt-BMF with that of UBQP, called 1opt-UBQP as well as the standard approach, called 1-opt-Standard. We then show, theoretically and experimentally, the efficiency of 1-opt-BMF on a wide range of publicly available datasets. Next, in Chapter 3, we explore addressing the problem of finding representative itemsets via BMF. To do that, we first consider the theoretical relation between the frequent itemset mining problem and BMF; while established, we propose a new technique called Decomposition Itemset Miner (DIM). We then design a set of experiments to show the efficiency of DIM and the quality of its results.Finally, in Chapter 4, we consider the problem of finding representative objects (instances) in big, high-dimensional datasets. These objects helps us to find objects providing a global, top-view of the data and are very important in data analysis process. We first study the available methods for finding representative objects and discuss the pros and cons of each. We then formally define the Instance Selection Problem (ISP), provide three variants of that and examine their complexities before providing their solutions. In the experimental section, we show that although the ISP solutions can outperform other methods in some cases, in general it should be considered as a complementary technique in the context of finding representative objects.

[pt] Novos métodos de fatoração de matrizes introduzem restrições às matrizes decompostas, permitindo tipos únicos de análise. Uma modificação significativa é a fatoração de matrizes binárias para matrizes binárias. Esta técnica pode revelar subconjuntos comuns e mistura de subconjuntos, tornando-a útil em uma variedade de aplicações, como análise de cesta de mercado, modelagem de tópicos e sistemas de recomendação. Apesar das vantagens, as abordagens atuais enfrentam um trade-off entre precisão, escalabilidade e explicabilidade. Enquanto os métodos baseados em gradiente descendente são escaláveis, eles geram altos erros de reconstrução quando limitados para matrizes binárias. Por outro lado, os métodos heurísticos não são escaláveis. Para superar isso, essa tese propõe um procedimento de pós-processamento para discretizar matrizes obtidas por gradiente descendente. Esta nova abordagem recupera o erro de reconstrução após a limitação e processa com sucesso matrizes maiores dentro de um prazo razoável. Testamos esta técnica a muitas aplicações, incluindo um novo pipeline para descobrir e visualizar padrões em processos petroquímicos em batelada. / [en] Novel methods for matrix factorization introduce constraints to the decomposed matrices, allowing for unique kinds of analysis. One significant modification is the binary matrix factorization for binary matrices. This technique can reveal common subsets and mixing of subsets, making it useful in a variety of applications, such as market basket analysis, topic modeling, and recommendation systems. Despite the advantages, current approaches face a trade-off between accuracy, scalability, and explainability. While gradient descent-based methods are scalable, they yield high reconstruction errors when thresholded for binary matrices. Conversely, heuristic methods are not scalable. To overcome this, this thesis propose a post-processing procedure for discretizing matrices obtained by gradient descent. This novel approach recovers the reconstruction error post-thresholding and successfully processes larger matrices within a reasonable timeframe. We apply this technique to many applications including a novel pipeline for discovering and visualizing patterns in petrochemical batch processes.

Cette thèse aborde le problème de la décomposition booléenne des tableaux multidimensionnels de données binaires par modèle de mélange post non-linéaire. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle approche pour la factorisation booléenne en matrices binaires (FBMB) fondée sur un modèle de mélange post non-linéaire. Contrairement aux autres méthodes de factorisation de matrices binaires existantes, fondées sur le produit matriciel classique, le modèle proposé est équivalent au modèle booléen de factorisation matricielle lorsque les entrées des facteurs sont exactement binaires et donne des résultats plus interprétables dans le cas de sources binaires corrélées, et des rangs d'approximation matricielle plus faibles. Une condition nécessaire et suffisante d'unicité pour la FBMB est également fournie. Deux algorithmes s'appuyant sur une mise à jour multiplicative sont proposés et illustrés dans des simulations numériques ainsi que sur un jeu de données réelles. La généralisation de cette approche au cas de tableaux multidimensionnels (tenseurs) binaires conduit à la factorisation booléenne de tenseurs binaires (FBTB). La démonstration de la condition nécessaire et suffisante d’unicité de la décomposition booléenne de tenseurs binaires repose sur la notion d'indépendance booléenne d'une famille de vecteurs. L'algorithme multiplicatif fondé sur le modèle de mélange post non-linéaire est étendu au cas multidimensionnel. Nous proposons également un nouvel algorithme, plus efficace, s'appuyant sur une stratégie de type AO-ADMM (Alternating Optimization -ADMM). Ces algorithmes sont comparés à ceux de l'état de l'art sur des données simulées et sur un jeu de données réelles / This work is dedicated to the study of boolean decompositions of binary multidimensional arrays using a post nonlinear mixture model. In the first part, we introduce a new approach for the boolean factorization of binary matrices (BFBM) based on a post nonlinear mixture model. Unlike the existing binary matrix factorization methods, the proposed method is equivalent to the boolean factorization model when the matrices are strictly binary and give thus more interpretable results in the case of correlated sources and lower rank matrix approximations compared to other state-of-the-art algorithms. A necessary and suffi-cient condition for the uniqueness of the BFBM is also provided. Two algorithms based on multiplicative update rules are proposed and tested in numerical simulations, as well as on a real dataset. The gener-alization of this approach to the case of binary multidimensional arrays (tensors) leads to the boolean factorisation of binary tensors (BFBT). The proof of the necessary and sufficient condition for the boolean decomposition of binary tensors is based on a notion of boolean independence of binary vectors. The multiplicative algorithm based on the post nonlinear mixture model is extended to the multidimensional case. We also propose a new algorithm based on an AO-ADMM (Alternating Optimization-ADMM) strategy. These algorithms are compared to state-of-the-art algorithms on simulated and on real data