Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnel / Fractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)

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Thèse de doctorat : Mathématiques : Paris Est : 2008. / Titre provenant de l'écran-titre.

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un modèle de marche aléatoire centrifuge. Nous démontrons une loi du logarithme itéré pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de décroissance exponentielle de la probabilité qu'elle se trouve à l'instant n dans un compact fixé en montrant que la probabilité qu'une marche aléatoire centrée classique retourne dans un compact à l'instant n sans quitter un cône ne décroît pas à vitesse exponentielle. Dans la seconde partie, nous étudions le mouvement brownien de dimension quelconque, conditionné à rester dans un cône de révolution pendant une unité de temps, et nous en déduisons un principe d'invariance pour une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône. / In the first part of this thesis, we study a model of centrifugal random walk. We prove a Law of Iterated Logarithm for its norm, and find the asymptotic law of the fluctuations of its direction. We then give upper and lower bounds for the exponential decay of the probability that the centrifugal random walk visits a fixed compact set at time n; this is achieved by proving that the probability that a centered random walk visits a compact set at time n without having left a cone does not decrease exponentially. In the second part, we study the multidimensional Brownian motion conditioned to stay in a circular cone for a unit of time, and derive an Invariance Principle for a random walk conditioned to stay in a circular cone.

Titre de l'écran-titre (visionné le 26 avril 2023) / Ce mémoire vise à étudier le calcul stochastique et certains schémas et applications numériques dans des problèmes réels. Comme nous le savons, au cours des dernières décennies, il y a eu des demandes importantes d'outils et de stratégies de calcul stochastique dans divers domaines. L'un des domaines qui en a le plus besoin est la finance mathématique, où de nombreuses quantités financières, telles que le prix des actifs, sont des variables aléatoires ; Ainsi, les mathématiques algébriques, qui traitent des variables déterministes et non aléatoires, en finance, ont été moins employées à la place dans les équations différentielles stochastiques en tant que branche des mathématiques stochastiques ont reçu une attention significative dans le domaine de la finance. Tout au long de ce travail, en recueillant quelques faits et informations auxiliaires dans la théorie des probabilités, nous étudions le mouvement brownien, qui peut être observé dans des systèmes perturbés dans divers domaines, dont l'électronique, la physique, la biologie, la gestion et l'économie. Comme l'un des principaux objectifs de ce projet , nous introduisons l'intégration par rapport au mouvement brownien et aux processus associés (processus Itô), ce qui nous permettra de définir les équations différentielles stochastiques (EDSs). / This dissertation aims to study stochastic calculus and some numerical schemes and applications in real-life problems. As we know, during the last few decades, there have been significant demands for implements and strategies of stochastic calculus in various fields. One of the fields that has the most need is mathematical finance, where many financial quantities, such as the price of as sets, are random variables; thus, algebraic mathematics, which deals with deterministic and non-random variables, in finance has been employed less and instead in stochastic differential equations as a branch of stochastic mathematics have received significant attention in the field of finance. Throughout this work, by collecting some auxiliary facts and information in the probability theory, we study the Brownian motion, which can be observed in perturbed systems in various fields, including electronics, physics, biology, management, and economics. As one of the main goals of this project, we introduce the integration with respect to the Brownian motion and the related processes (Itô processes), which will enable us to define the stochastic differential equations (SDEs).

Titre de l'écran-titre (visionné le 5 septembre 2023) / Dans cette thèse, nous étudions la perturbation d'ordre critique des processus de diffusion et de type diffusion, tels que le mouvement brownien ou le processus α-stable, par un terme de drift. Notre attention se focalisera principalement sur le point de vue analytique, c'est-à-dire l'existence et les propriétés du processus qui proviennent de la théorie de régularité de l'objet analytique qui lui correspond. Ce point de vue est bien adapté pour traiter des perturbations singulières. Dans un premier temps, en nous appuyant sur les points précédents et en tirant parti du point de vue analytique, nous avons pu prouver que les équations différentielles stochastiques avec un drift dans une large classe de champs vectoriels dépendant du temps ont une solution faible et unique. Deuxièmement, nous avons développé la théorie de la régularité de l'opérateur fractionnaire (non local) de Kolmogorov avec un drift ayant des singularités d'ordre critique, en d'autres termes nous avons établi la régularité des solutions à l'équation parabolique correspondante, et nous avons ensuite prouvé l'existence et l'unicité de la solution à l'équation différentielle associée. Enfin, nous avons étudié le noyau de chaleur de l'équation de diffusion fractionnaire supercritique avec un drift ayant une continuité critique de Hölder. Nous montrons qu'un tel drift peut avoir des irrégularités ponctuelles suffisamment fortes pour que le noyau de chaleur disparaisse en un point pour tout t > 0. / In this thesis we study the critical order perturbation of diffusion and diffusion-like processes, such as Brownian motion or α-stable processes, by a drift term. We will mainly focus on the analytic point of view, i.e. the existence and the properties of the process which come from the theory of regularity of the analytical object which corresponds to it. This point of view is well adapted to deal with singular perturbations. First, based on the previous points and taking advantage of the analytical point of view, we were able to prove that the stochastic differential equations with drift in a large class of time-dependent vector fields have a unique weak solution. Secondly, we have developed the regularity theory of the fractional (non-local) Kolmogorov operator with a drift having critical order singularities, in other words we established the regularity of the solutions to the corresponding parabolic equation, and then proved the existence and uniqueness of the solution to the associated differential equation. Finally, we have studied the heat kernel of the supercritical fractional diffusion equation with drift having critical Hölder continuity. We show that such a drift can have point irregularities strong enough for the heat kernel to vanish at a point for any t > 0.

Le chapitre 1 est principalement consacré au comportement asymptotique des variations à poids du mouvement brownien fractionnaire. Tout d'abord, après avoir motivé l'intérêt d'une telle étude et rappelé la situation ``sans poids'', nous voyons que dans certains cas (en fonction de la valeur de l'indice de Hurst H), la situation ``avec poids'' peut être très différente. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement au cas où H vaut 1/4, et nous faisons le lien avec une conjecture récente par (Burdzy et) Swanson concernant la possibilité d'écrire une formule d'Itô pour la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps. Enfin, nous traitons le cas du mouvement brownien itéré, en faisant apparaître à la limite une version à poids du mouvement brownien en scène aléaoire introduit par Kesten et Spitzer dans les années 70.<br /><br />Le chapitre 2 présente des théorèmes limites abstraits (principalement valables pour une suite (F_n) d'intégrales multiples par rapport à un processus gaussien isonormal X) sous des hypothèses concernant la dérivée de Malliavin de F_n. Nous y exposons notamment une nouvelle méthode donnant (de manière étonnament simple) une estimation de type Berry-Esséen quand la suite (F_n) converge en loi vers une gaussienne. En particulier, cette méthode permet d'estimer la vitesse de convergence dans le classique théorème de Breuer et Major. Notons que les outils présentés dans ce chapitre sont la base des résultats obtenus dans le premier chapitre.<br /><br />Le chapitre 3 est consacré à mes travaux relatifs à la théorie de l'intégration contre des ``chemins rugueux'' (rough paths en anglais). Tout d'abord, nous faisons un lien avec l'intégration par régularisation à la Russo-Vallois. Ensuite, nous étudions un problème de contrôle optimal. Enfin, nous exploitons l'intégration algébrique récemment introduite par Gubinelli pour calculer le développement asymptotique de la ``loi'' de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un brownien fractionnaire d'une part, et pour étudier les équations différentielles avec retard dirigées par un chemin rugueux d'autre part.<br /><br />Enfin, dans le chapitre 4, nous définissons et étudions un nouvel objet, appelé ``dérivée stochastique''. Puis, nous illustrons certains phénomènes généraux en appliquant cette théorie au cas du mouvement brownien fractionnaire avec dérive.

L’exemple paradigmatique d’un processus stochastique multifractionnaire est le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Ce processus gaussien de nature fractale admet des trajectoires continues nulle part dérivables et étend de façon naturelle le célèbre mouvement brownien fractionnaire (mbf). Le mbf a été introduit depuis longtemps par Kolmogorov et il a ensuite été « popularisé » par Mandelbrot ; dans plusieurs travaux remarquables, ce dernier auteur a notamment insisté sur la grande importance de ce modèle dans divers domaines applicatifs. Le mbm, quant à lui, a été introduit, depuis plus de quinze ans, par Benassi, Jaffard, Lévy Véhel, Peltier et Roux. Grossièrement parlant, il est obtenu en remplaçant le paramètre constant de Hurst du mbf, par une fonction H(t) qui dépend de façon régulière du temps t. Ainsi, contrairement au mbf, les accroissements du mbm sont non stationnaires et la rugosité locale de ses trajectoires (mesurée habituellement par l’exposant de Hölder ponctuel) peut évoluer significativement au cours du temps ; en fait, à chaque instant t, l’exposant de Hölder ponctuel du mbm vaut H(t). Notons quecette dernière propriété, rend ce processus plus flexible que le mbf ; grâce à elle, le mbm est maintenant devenu un modèle utile en traitement du signal et de l’image ainsi que dans d’autres domaines tels que la finance. Depuis plus d’une décennie, plusieurs auteurs se sont intéressés à des problèmes d’inférence statistique liés au mbm et à d’autres processus/champs multifractionnaires ; leurs motivations comportent à la fois des aspects applicatifs et théoriques. Parmi les plus importants, figure le problème de l’estimation de H(t), l’exposant de Hölder ponctuel en un instant arbitraire t. Dans ce type de problématique, la méthode des variations quadratiques généralisées, initialement introduite par Istas et Lang dans un cadre de processus à accroissements stationnaires, joue souvent un rôle crucial. Cette méthode permet de construire des estimateurs asymptotiquement normaux à partir de moyennes quadratiques d’accroissements généralisés d’un processus observé sur une grille. A notre connaissance, dans la littérature statistique qui concerne le mbm, jusqu’à présent, il a été supposé que, l’observation sur une grille des valeurs exactes de ce processus est disponible ; cependant une telle hypothèse ne semble pas toujours réaliste. L’objectif principal de la thèse est d’étudierdes problèmes d’inférence statistique liés au mbm, lorsque seulement une version corrompue de ce dernier est observable sur une grille régulière.Cette version corrompue est donnée par une classe de modèles à volatilité stochastique dont la définition s’inspire de certains travaux antérieurs de Gloter et Hoffmann ; signalons enfin que la formule d’Itô permet de ramener ce cadre statistique au cadre classique : « signal+bruit ». / The paradigmatic example of a multifractional stochastic process is multifractional Brownian motion (mBm). This fractal Gaussian process with continuous nowhere differentiable trajectories is a natural extension of the well-known fractional Brownian motion (fBm). FBm was introduced a longtime ago by Kolmogorov and later it has been made « popular» by Mandelbrot; in several outstanding works, the latter author has emphasized the fact that this model is of a great importance in various applied areas. Regarding mBm, it was introduced, more than fifteen years ago, by Benassi, Jaffard, Lévy Véhel, Peltier and Roux. Roughly speaking, it is obtained by replacing the constant Hurst parameter of fBm by a smooth function H(t) which depends on the time variable t. Therefore, in contrast with fBm, theincrements of mBm are non stationary and the local roughness of its trajectories (usually measured through the pointwise Hölder exponent) is allowed to significantly evolve over time; in fact, at each time t, the pointwise Hölder exponent of mBm is equal to H(t). It is worth noticing that the latter property makes this process more flexible than fBm; thanks to it, mBm has now become a useful model in the area of signal and image processing, aswell as in other areas such as finance. Since at least one decade, several authors have been interested in statistical inference problems connected with mBm and other multifractional processes/fields; their motivations have both applied and theoretical aspects. Among those problems, an important one is the estimation of H(t), the pointwise Hölder exponent at an arbitrary time t. In the solutions of such issues, the generalized quadratic variation method, which was first introduced by Istas and Lang in a setting of stationary increments processes, usually plays a crucial role. This method allows to construct asymptotically normal estimators starting from quadratic means of generalized increments of a process observed on a grid. So far, to our knowledge, in the statistical literature concerning mBm, it has been assumed that, the observation of the true values of this process on a grid, is available; yet, such an assumption does not always seem to be realistic. The main goal of the thesis is to study statistical inference problems related to mBm, when only a corrupted version of it, can be observed on a regular grid. This corrupted version is given by a class of stochastic volatility models whose definition is inspired by some Gloter and Hoffmann’s earlier works; last, notice that thanks to Itô formula this statistical setting can be viewed as the classical setting: « signal+noise ».

Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un modèle de marche aléatoire centrifuge. Nous démontrons une loi du logarithme itéré pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de décroissance exponentielle de la probabilité qu'elle se trouve à l'instant n dans un compact fixé en montrant que la probabilité qu'une marche aléatoire centrée classique retourne dans un compact à l'instant n sans quitter un cône ne décroît pas à vitesse exponentielle. Dans la seconde partie, nous étudions le mouvement brownien de dimension quelconque, conditionné à rester dans un cône de révolution pendant une unité de temps, et nous en déduisons un principe d'invariance pour une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône.

Les effets d'une pression hydrostatique non dénaturante (3kbar) sur les mouvements internes du lysozyme sont étudiés selon deux approches conjuguées : la dynamique moléculaire et la diffusion quasiélastique de neutrons qui couvrent les mêmes échelles de temps et de distance. Les simulations montrent une compaction du lysozyme avec la pression et une diminution des fluctuations atomiques surtout aux basses fréquences. La partie quasiélastique de la fonction de diffusion subit un léger abaissement difficilement mis en évidence dans les résultats expérimentaux. Les simulations reproduisent correctement le profil des spectres expérimentaux et le modèle Brownien fractionnaire est pertinent pour rendre compte des multiples temps de relaxation caractérisant la dynamique interne d'une protéine.