We consider the application of multilevel Monte Carlo methods to elliptic partial differential equations with random coefficients. Such equations arise, for example, in stochastic groundwater ow modelling. Models for random coefficients frequently used in these applications, such as log-normal random fields with exponential covariance, lack uniform coercivity and boundedness with respect to the random parameter and have only limited spatial regularity. To give a rigorous bound on the cost of the multilevel Monte Carlo estimator to reach a desired accuracy, one needs to quantify the bias of the estimator. The bias, in this case, is the spatial discretisation error in the numerical solution of the partial differential equation. This thesis is concerned with establishing bounds on this discretisation error in the practically relevant and technically demanding case of coefficients which are not uniformly coercive or bounded with respect to the random parameter. Under mild assumptions on the regularity of the coefficient, we establish new results on the regularity of the solution for a variety of model problems. The most general case is that of a coefficient which is piecewise Hölder continuous with respect to a random partitioning of the domain. The established regularity of the solution is then combined with tools from classical discretisation error analysis to provide a full convergence analysis of the bias of the multilevel estimator for finite element and finite volume spatial discretisations. Our analysis covers as quantities of interest several spatial norms of the solution, as well as point evaluations of the solution and its gradient and any continuously Fréchet differentiable functional. Lastly, we extend the idea of multilevel Monte Carlo estimators to the framework of Markov chain Monte Carlo simulations. We develop a new multilevel version of a Metropolis Hastings algorithm, and provide a full convergence analysis.

Este trabalho apresenta um novo método para o cálculo dos coecientes de sensibilidade, através da união do metodo diferencial e da teoria da perturbação generalizada, que são os dois métodos tradicionalmente utilizados em física de reatores para a obtenção de tais grandezas. Esses dois métodos apresentam algumas deciências tornando os cálculos dos coeficientes de sensibilidade lentos ou computacionalmente exaustivos, mas unindo-os e possível eliminar as deciências apresentadas por ambos e obter uma nova equação para o coe- ciente de sensibilidade. O método proposto neste trabalho foi aplicado em um reator do tipo PWR , onde foi feita análise de sensibilidade da produção e da razão de conversão do 239Pu, para um ciclo de 120 dias de queima. O código utilizado para a análise de queima e análise de sensibilidade, o CINEW, foi desenvolvido durante este trabalho e os resultados obtidos foram comparados com os códigos amplamente utilizados em física de reatores, como o CINDER e o SERPENT. As conclusões obtidas foram que o novo método matemático para a obtenção dos coeficientes de sensibilidade e o CINEW, além de fornecer agilidade numérica também presentam eciência e segurança. Pois o novo método matemático para a obtenção dos coeficientes quando comparados com os métodos tradicionais utilizados para a análise de sensibilidade, mostram resultados satisfatórios, mesmo quando o método utiliza aproximações matemáticas que diferem do método proposto, e com a vantagem de não apresentar as deciências apresentadas pelos métodos diferencial e da teoria da perturbação generalizada. As análises de queima obtidas pelo CINEW foram comparadas com o CINDER, que mostraram uma diferença aceitável, apesar do CINDER apresentar alguns problemas computacionais que advém da época em que foi feito. A originalidade deste trabalho e a aplicação do método proposto em problemas que envolvem dependência temporal e a elaboração do primerio código nacional que faz análise de queima e análise de sensibilidade. / The main target of this study is to introduce a new method for calculating the coefficients of sensibility through the union of differential method and generalized perturbation theory, which are the two methods generally used in reactor physics to obtain such variables. These two methods, separated, have some issues turning the sensibility coefficients calculation slower or computationally exhaustive. However, putting them together, it\'s possible to repair these issues and build a new equation for the coecient of sensibility. The method introduced in this study was applied in a PWR reactor, where it was performed the sensibility analysis for the production and 239Pu conversion rate during 120 days (1 cycle) of burnup. The computational code used for both burnup and sensibility analysis, the CINEW, was developed in this study and all the results were compared with codes widely used in reactor physics, such as CINDER and SERPENT. The new mathematical method for calculating the sensibility coefficients and the code CINEW provide good numerical agility and also good eciency and security, once the new method, when compared with traditional ones, provide satisfactory results, even when the other methods use different mathematical approaches. The burnup analysis, performed using the code CINEW, was compared with the code CINDER, showing an acceptable variation, though CINDER presents some computational issues due to the period it was built. The originality of this study is the application of such method in problems involving temporal dependence and, not least, the elaboration of the first national code for burnup and sensitivity analysis.

Este trabalho apresenta um novo método para o cálculo dos coecientes de sensibilidade, através da união do metodo diferencial e da teoria da perturbação generalizada, que são os dois métodos tradicionalmente utilizados em física de reatores para a obtenção de tais grandezas. Esses dois métodos apresentam algumas deciências tornando os cálculos dos coeficientes de sensibilidade lentos ou computacionalmente exaustivos, mas unindo-os e possível eliminar as deciências apresentadas por ambos e obter uma nova equação para o coe- ciente de sensibilidade. O método proposto neste trabalho foi aplicado em um reator do tipo PWR , onde foi feita análise de sensibilidade da produção e da razão de conversão do 239Pu, para um ciclo de 120 dias de queima. O código utilizado para a análise de queima e análise de sensibilidade, o CINEW, foi desenvolvido durante este trabalho e os resultados obtidos foram comparados com os códigos amplamente utilizados em física de reatores, como o CINDER e o SERPENT. As conclusões obtidas foram que o novo método matemático para a obtenção dos coeficientes de sensibilidade e o CINEW, além de fornecer agilidade numérica também presentam eciência e segurança. Pois o novo método matemático para a obtenção dos coeficientes quando comparados com os métodos tradicionais utilizados para a análise de sensibilidade, mostram resultados satisfatórios, mesmo quando o método utiliza aproximações matemáticas que diferem do método proposto, e com a vantagem de não apresentar as deciências apresentadas pelos métodos diferencial e da teoria da perturbação generalizada. As análises de queima obtidas pelo CINEW foram comparadas com o CINDER, que mostraram uma diferença aceitável, apesar do CINDER apresentar alguns problemas computacionais que advém da época em que foi feito. A originalidade deste trabalho e a aplicação do método proposto em problemas que envolvem dependência temporal e a elaboração do primerio código nacional que faz análise de queima e análise de sensibilidade. / The main target of this study is to introduce a new method for calculating the coefficients of sensibility through the union of differential method and generalized perturbation theory, which are the two methods generally used in reactor physics to obtain such variables. These two methods, separated, have some issues turning the sensibility coefficients calculation slower or computationally exhaustive. However, putting them together, it\'s possible to repair these issues and build a new equation for the coecient of sensibility. The method introduced in this study was applied in a PWR reactor, where it was performed the sensibility analysis for the production and 239Pu conversion rate during 120 days (1 cycle) of burnup. The computational code used for both burnup and sensibility analysis, the CINEW, was developed in this study and all the results were compared with codes widely used in reactor physics, such as CINDER and SERPENT. The new mathematical method for calculating the sensibility coefficients and the code CINEW provide good numerical agility and also good eciency and security, once the new method, when compared with traditional ones, provide satisfactory results, even when the other methods use different mathematical approaches. The burnup analysis, performed using the code CINEW, was compared with the code CINDER, showing an acceptable variation, though CINDER presents some computational issues due to the period it was built. The originality of this study is the application of such method in problems involving temporal dependence and, not least, the elaboration of the first national code for burnup and sensitivity analysis.