Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des représentations des algèbres de Cherednikrationnelles en t=0 et traite en particulier des différents ordres construits sur la partition de Calogero-Moserdes groupes imprimitifs.On commence par généraliser au cas abélien certains résultats obtenus par M. Chlouveraki concernant lesblocs d'algèbres en système de Clifford pour un groupe cyclique, puis on construit un ordre sur les C*-pointsfixes d'une variété complexe quasi-projective normale, en utilisant la décomposition de Bialynicki-Birula.Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la description des partitions de Calogero-Moser de deux groupesde réflexions complexes K et W quand K est un sous-groupe distingué de W et on généralise au cas abélienles résultats obtenus par G. Bellamy dans le cas d'un quotient W/K cyclique.Dans la troisième partie, on présente les différents ordres, construits par I. Gordon, sur la partition deCalogero-Moser des groupes G(l,1,n) pour certains paramètres : les ordres des a et c-fonctions, un ordrecombinatoire et l'ordre géométrique, qui est défini grâce aux C*-points fixes de certaines variétés decarquois, ces points fixes paramétrant les blocs de la partition de Calogero-Moser de G(l,1,n). On donneensuite les relations entre ces ordres, puis on étend ces constructions ainsi que ces liens à l'ensemble desparamètres.Enfin, dans la dernière partie, on tente de généraliser ces propriétés aux groupes G(l,e,n). On cherche alors,pour construire l'ordre géométrique sur la partition de Calogero-Moser de G(l,e,n), une variété dont les C*-points fixes décrivent les blocs de la partition de G(l,e,n). Dans le cas où e ne divise pas n, on construit lavariété qui nous permet de définir l'ordre géométrique et de le relier aux autres ordres. Pour le cas e divise n,on propose une variété qui pourrait décrire par ses points fixes les blocs de Calogero-Moser de G(l,e,n) etnous permettre de construire l'ordre géométrique. / This work is a contribution to the representation theory of Rational Cherednik Algebras for t=0 and deals inparticular with different orders on the Calogero-Moser partition of imprimitive reflection groups.In the first part, we generalize to the abelian case some results about blocs of algebras in Clifford systemobtained by M. Chlouveraki in the cyclic case, and then we build an order on the C*-fixed points of acomplex, quasi-projective and normal variety, using the Bialynicki-Birula decomposition.The second part deals with the Calogero-Moser partition of two groups K and W, when K is a normalsubgroup of W, and generalize to the abelian case the results that G. Bellamy obtained when the quotientW/K is cyclic.In the third part, we present the different orders that I. Gordon built in the Calogero-Moser partition of thegroups G(l,1,n) and for some parameters : the orders of the a and c-functions, a combinatorial order and thegeometric order, defined using the C*-fixed points of some quiver varieties which parametrise the blocs of theCalogero-Moser partition of G(l,1,n). Then we give some relations between these orders and we extendthese constructions and these links for all parameters.Finally, in the last part, we try to generalize these properties for the groups G(l,e,n). We are looking for avariety whose C*-fixed points describe blocs of G(l,e,n) to construct the geometric order on the Calogero-Moser partition of G(l,e,n). When n is not divided by e, we build this variety that enables us to define thegeometric order and to show all the links with the other orders. When e don't divide n, we suggest a varietywhich could describe the blocs of G(l,e,n) and allow us to build the geometric order.

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.

Cette thèse se situe en combinatoire algébrique, et plus particulièrement en théorie combinatoire des représentations linéaires des monoïdes finis.Rappelons qu'un monoïde est un ensemble fini M muni d'une multiplication et d'un élément neutre, et qu'une représentation de M est un morphisme de M dans le monoïde des matrices $M_n(ck)$ où $ck$ est un corps, typiquement $ck =CC$. Les résultats des dernières décennies donnent un contrôle assez fin sur les représentations des monoïdes, permettant souvent de se ramener à de la théorie des représentations des groupes et de la combinatoire sur des préordres.En 1996, Krob et Thibon ont montré que l'induction et la restriction des représentations irréductibles et projectives de la tour des $0$-algèbres de Hecke $H_n(0)$ permet de munir l'ensemble des caractères d'une structure d'algèbre de Hopf, qui est isomorphe a l'algèbre de Hopf $ncsf$ des fonctions symétriques non commutatives. Cela donne une emph{catégorification} de$ncsf$, c'est-à-dire une interprétation de celle-ci en terme de théorie des représentations. Ils prolongent ainsi un résultat dû à Frobenius établissant un lien entre l'anneau des caractères de la tour des groupes symétriques et lesfonctions symétriques. Un problème naturel depuis lors est d'essayer de catégorifier d'autres algèbres de Hopf -- par exemple l'algèbre $pbt$ desarbres binaires de Loday et Ronco -- par des tours d'algèbres.Deviner une telle tour d'algèbres est difficile en général. Dans le cadre de cemanuscrit on restreint le champ de recherche aux tours de monoïdes, afin de mieux contrôler leurs représentations. C'est naturel car ce cadre couvre enfait les deux exemples fondamentaux ci-dessus, tandis qu'il est impossible decatégorifier $ncsf$ avec seulement une tour de groupes.Nous commençons par donner quelques résultats sur les représentations des toursde monoïdes. Ensuite, nous nous intéressons à la catégorification par destours de semi-treillis, et en particulier de quotients du permutoèdre. Avecceux-ci, nous catégorifions la structure de cogèbre de $fqsym$ sur la base$gbasis$ et celle d'algèbre de $fqsym$ sur la base $fbasis$. Cela ne permetcependant pas de catégorifier simultanément toute la structure de Hopf de ces algèbres. Dans un second temps, nous menons une recherche exhaustive des catégorifications de $pbt$. Nous montrons que, sous des hypothèses naturelles,il n'existe pas de catégorification de $pbt$ par une tour de monoïdesapériodiques. Enfin, nous démontrons que, dans un certain sens, la tour des monoïdes $0$-Hecke est la tour de monoïdes la plus simple catégorifiant $ncsf$.La seconde partie porte sur les fonctions de parking, par application des résultats de la première partie. D'une part, nous étudions la théorie des représentations de la tour des fonctions de parking croissantes. D'autre part,dans un travail commun avec Jean-Baptiste Priez nous reprenons une généralisation des fonctions de parking due à Stanley et Pitman. Afin d'obtenir des formules d'énumérations, nous utilisons une variante -- plus efficace dansle cas présent -- de la théorie des espèces. Nous donnons une action de$H_n(0)$ (et non du groupe symétrique) sur les fonctions de parking généralisées, et utilisons le théorème de catégorification de Krob et Thibon,pour relever dans les fonctions symétriques non commutatives le caractère de cette action. / This thesis is focused on combinatorical representation theory of finitemonoids within the field of algebraic combinatorics.A monoid $M$ is a finite set endowed with a multiplication and a neutralelement. A representation of $M$ is a morphism from $M$ into the monoid ofmatrices $M_n(ck)$ where $ck$ is a field; in this work it will typically bereferred to as $ck = CC$.The results obtained in the last decades allows us to use representation theoryof groups, and combinatorics on preorders in order to explore representationtheory of finite monoides.In 1996, Krob and Thibon proved that the induction and restriction rules ofirreducible and projective representations of the tower of $0$-Hecke monoidsendows its ring of caracters with a Hopf algebra structure, isomorph to thenon-commutative symmetric functions Hopf algebra $ncsf$. This gives acategorification of $ncsf$, which is an interpretation of the non-commutativesymmetruc functions in the language of representation theory. This extends atheorem of Frobenius endowing the character ring of symmetric groups to theHopf algebra of symmetric functions. Since then a natural problem is tocategorify other Hopf algebras -- for instance the Planar Binary Tree algebraof Loday and Ronco -- by a tower of algebras.Guessing such a tower of algebra is a difficult problem in general.In this thesis we restrict ourselves to towers of monoids in order to have abetter control on its representations. This is quite natural as on one hand,this setup covers both previous fundamental examples, whereas $ncsf$cannot be categorified in the restricted set of tower of group algebras.In the first part of this work, we start with some results about representationtheory of towers of monoids. We then focus on categorification with towers ofsemilatices, for example the tower of permutohedrons. We categorify thealgebra, and cogebra structure of $fqsym$, but not the full Hopf algebrastructure with its dual. We then make a comprehensive search in order tocategorify $pbt$ with a tower of monoids. We show that under naturalhypothesis, there exists no tower of monoids satisfying the categorificationaxioms. Finally we show that in some sense, the tower of $0$-Hecke monoids isthe simplest tower categorifying $ncsf$.The second part of this work deals with parking functions, applying resultsfrom the first part. We first study the representation theory of non decreasingparking functions. We then present a joint work with Jean-Baptiste Priez on ageneralization of parking functions from Pitman and Stanley. To obtainenumeration formulas, we use a variant of the species theory which was moreefficient in our case.We used an action of $H_n(0)$ instead of the symmetric group and use theKrob-Thibon theorem to lift the character of this action into the Hopf algebraof non-commutative symmetric functions.

Les travaux présentés dans cette thèse de doctorat relèvent de la combinatoire algébrique et de la théorie des groupes. Précisément, ils apportent une contribution au domaine de recherche qui étudie le comportement des profils des groupes oligomorphes.La première partie de ce manuscrit introduit la plupart des outils qui nous seront nécessaires, à commencer par des éléments de combinatoire et combinatoire algébrique.Nous présentons les fonctions de comptage à travers quelques exemples classiques, et nous motivons l'addition d'une structure d'algèbre graduée sur les objets énumérés dans le but d'étudier ces fonctions.Nous évoquons aussi les notions d'ordre et de treillis.Dans un second temps, nous donnons un aperçu des définitions et propriétés de base associées aux groupes de permutations, ainsi que quelques résultats de théorie des invariants. Nous terminons cette partie par une description de la méthode d'énumération de Pólya, qui permet de compter des objets sous une action de groupe.La deuxième partie est consacrée à l'introduction du domaine dans lequel s'inscrit cette thèse, celui de l'étude des profils de structures relationnelles, et en particulier des profils orbitaux. Si G est un groupe de permutations infini, son profil est la fonction de comptage qui envoie chaque entier n > 0 sur le nombre d'orbites de n-sous-ensembles, pour l'action induite de G sur les sous-ensembles finis d'éléments.Cameron a conjecturé que le profil de G est équivalent à un polynôme dès lors qu'il est borné par un polynôme. Une autre conjecture, plus forte, a été plus tard émise par Macpherson : elle implique une certaine structure d'algèbre graduée sur les orbites de sous-ensembles, créée par Cameron et baptisée algèbre des orbites, soutenant que si le profil est borné par un polynôme, alors l'algèbre des orbites est de type fini.Comme amorce de notre étude de ce problème, nous développons quelques exemples et faisons nos premiers pas vers une résolution en examinant les systèmes de blocs des groupes de profil borné par un polynôme --- que nous appelons P-oligomorphes ---,ainsi que la notion de sous-produit direct.La troisième partie démontre une classification des groupes P-oligomorphes, notre résultat le plus important et dont la conjecture de Macpherson se révèle un corollaire.Tout d'abord, nous étudions la combinatoire du treillis des systèmes de blocs,qui conduit à l'identification d'un système généralisé particulier, constituébde blocs ayant de bonnes propriétés. Nous abordons ensuite le cas particulier o`u il se limite à un seul bloc de blocs, pour lequel nous établissons une classification. La preuve emprunte à la notion de sous-produit direct pour gérer les synchronisations internes au groupe, et a requis une part d'exploration informatique afin d'être d'abord conjecturée.Dans le cas général, nous nous appuyons sur les résultats précédents et mettons en évidence la structure de G comme produit semi-direct impliquant son sous-groupe normal d'indice fini minimal et un groupe fini. Ceci permet de formaliser une classification complète des groupes P-oligomorphes,et d'en déduire la forme de l'algèbre des orbites : (à peu de choses près) une algèbre d'invariants explicite d'un groupe fini. Les conjectures de Macpherson et de Cameron en découlent, et plus généralement une compréhension exhaustive de ces groupes.L'annexe contient des extraits du code utilisé pour mener la preuve à bien,ainsi qu'un aperçu de celui qui a été produit en s'appuyant sur la nouvelle classification, qui permet de manipuler les groupes P-oligomorphes en usant d'une algorithmique adaptée. Enfin, nous joignons ici notre première preuve, plus faible, des deux conjectures. / This PhD thesis falls under the fields of algebraic combinatorics and group theory. Precisely,it brings a contribution to the domain that studies profiles of oligomorphic permutation groups and their behaviors.The first part of this manuscript introduces most of the tools that will be needed later on, starting with elements of combinatorics and algebraic combinatorics.We define counting functions through classical examples ; with a view of studying them, we argue the relevance of adding a graded algebra structure on the counted objects.We also bring up the notions of order and lattice.Then, we provide an overview of the basic definitions and properties related to permutation groups and to invariant theory. We end this part with a description of the Pólya enumeration method, which allows to count objects under a group action.The second part is dedicated to introducing the domain this thesis comes withinthe scope of. It dwells on profiles of relational structures,and more specifically orbital profiles.If G is an infinite permutation group, its profile is the counting function which maps any n > 0 to the number of orbits of n-subsets, for the inducedaction of G on the finite subsets of elements.Cameron conjectured that the profile of G is asymptotically equivalent to a polynomial whenever it is bounded by apolynomial.Another, stronger conjecture was later made by Macpherson : it involves a certain structure of graded algebra on the orbits of subsetscreated by Cameron, the orbit algebra, and states that if the profile of G is bounded by a polynomial, then its orbit algebra is finitely generated.As a start in our study of this problem, we develop some examples and get our first hints towards a resolution by examining the block systems ofgroups with profile bounded by a polynomial --- that we call P-oligomorphic ---, as well as the notion of subdirect product.The third part is the proof of a classification of P-oligomorphic groups,with Macpherson's conjecture as a corollary.First, we study the combinatorics of the lattice of block systems,which leads to identifying one special, generalized such system, that consists of blocks of blocks with good properties.We then tackle the elementary case when there is only one such block of blocks, for which we establish a classification. The proof borrows to the subdirect product concept to handle synchronizations within the group, and relied on an experimental approach on computer to first conjecture the classification.In the general case, we evidence the structure of a semi-direct product involving the minimal normal subgroup of finite index and some finite group.This allows to formalize a classification of all P-oligomorphic groups, the main result of this thesis, and to deduce the form of the orbit algebra: (little more than) an explicit algebra of invariants of a finite group. This implies the conjectures of Macpherson and Cameron, and a deep understanding of these groups.The appendix provides parts of the code that was used, and a glimpse at that resulting from the classification afterwards,that allows to manipulate P-oligomorphic groups by apropriate algorithmics. Last, we include our earlier (weaker) proof of the conjectures.

Cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Hecke carquois et de certaines généralisations des algèbres d'Iwahori-Hecke. Dans un premier temps, nous montrons deux résultats concernant les algèbres de Hecke carquois, dans le cas où le carquois possède plusieurs composantes connexes puis lorsqu'il possède un automorphisme d'ordre fini. Ensuite, nous rappelons un isomorphisme de Brundan-Kleshchev et Rouquier entre algèbres d'Ariki-Koike et certaines algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. D'une part nous en déduisons qu'une équivalence de Morita importante bien connue entre algèbres d'Ariki-Koike provient d'un isomorphisme, d'autre part nous donnons une présentation de type Hecke carquois cyclotomique pour l'algèbre de Hecke de G(r,p,n). Nous généralisons aussi l'isomorphisme de Brundan-Kleshchev pour montrer que les algèbres de Yokonuma-Hecke cyclotomiques sont des cas particuliers d'algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. Finalement, nous nous intéressons à un problème de combinatoire algébrique, relié à la théorie des représentations des algèbres d'Ariki-Koike. En utilisant la représentation des partitions sous forme d'abaque et en résolvant, via un théorème d'existence de matrices binaires, un problème d'optimisation convexe sous contraintes à variables entières, nous montrons qu'un multi-ensemble de résidus qui est bégayant provient nécessairement d'une multi-partition bégayante. / This thesis is devoted to the study of quiver Hecke algebras and some generalisations of Iwahori-Hecke algebras. We begin with two results concerning quiver Hecke algebras, first when the quiver has several connected components and second when the quiver has an automorphism of finite order. We then recall an isomorphism of Brundan-Kleshchev and Rouquier between Ariki-Koike algebras and certain cyclotomic quiver Hecke algebras. From this, on the one hand we deduce that a well-known important Morita equivalence between Ariki--Koike algebras comes from an isomorphism, on the other hand we give a cyclotomic quiver Hecke-like presentation for the Hecke algebra of type G(r,p,n). We also generalise the isomorphism of Brundan-Kleshchev to prove that cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras are particular cases of cyclotomic quiver Hecke algebras. Finally, we study a problem of algebraic combinatorics, related to the representation theory of Ariki-Koike algebras. Using the abacus representation of partitions and solving, via an existence theorem for binary matrices, a constrained optimisation problem with integer variables, we prove that a stuttering multiset of residues necessarily comes from a stuttering multipartition.

La combinatoire algébrique est le champ de recherche qui utilise des méthodes combinatoires et des algorithmes pour étudier les problèmes algébriques, et applique ensuite des outils algébriques à ces problèmes combinatoires. L’un des thèmes centraux de la combinatoire algébrique est l’étude des permutations car elles peuvent être interprétées de bien des manières (en tant que bijections, matrices de permutations, mais aussi mots sur des entiers, ordre totaux sur des entiers, sommets du permutaèdre…). Cette riche diversité de perspectives conduit alors aux généralisations suivantes du groupe symétrique. Sur le plan géométrique, le groupe symétrique engendré par les transpositions élémentaires est l’exemple canonique des groupes de réflexions finis, également appelés groupes de Coxeter. Sur le plan monoïdal, ces même transpositions élémentaires deviennent les opérateurs du tri par bulles et engendrent le monoïde de 0-Hecke, dont l’algèbre est la spécialisation à q=0 de la q-déformation du groupe symétrique introduite par Iwahori. Cette thèse se consacre à deux autres généralisations des permutations. Dans la première partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les matrices de permutations partielles, en d’autres termes les placements de tours ne s’attaquant pas deux à deux sur un échiquier carré. Ces placements de tours engendrent le monoïde de placements de tours, une généralisation du groupe symétrique. Dans cette thèse nous introduisons et étudions le 0-monoïde de placements de tours comme une généralisation du monoïde de 0-Hecke. Son algèbre est la dégénérescence à q=0 de la q-déformation du monoïde de placements de tours introduite par Solomon. On étudie par la suite les propriétés monoïdales fondamentales du 0-monoïde de placements de tours (ordres de Green, propriété de treillis du R-ordre, J-trivialité) ce qui nous permet de décrire sa théorie des représentations (modules simples et projectifs, projectivité sur le monoïde de 0-Hecke, restriction et induction le long d’une fonction d’inclusion).Les monoïdes de placements de tours sont en fait l’instance en type A de la famille des monoïdes de Renner, définis comme les complétés des groupes de Weyl (c’est-à-dire les groupes de Coxeter cristallographiques) pour la topologie de Zariski. Dès lors, dans la seconde partie de la thèse nous étendons nos résultats du type A afin de définir les monoïdes de 0-Renner en type B et D et d’en donner une présentation. Ceci nous conduit également à une présentation des monoïdes de Renner en type B et D, corrigeant ainsi une présentation erronée se trouvant dans la littérature depuis une dizaine d’années. Par la suite, nous étudions comme en type A les propriétés monoïdales de ces nouveaux monoïdes de 0-Renner de type B et D : ils restent J-triviaux, mais leur R-ordre n’est plus un treillis. Cela ne nous empêche pas d’étudier leur théorie des représentations, ainsi que la restriction des modules projectifs sur le monoïde de 0-Hecke qui leur est associé. Enfin, la dernière partie de la thèse traite de différentes généralisations des permutations. Dans une récente séries d’articles, Châtel, Pilaud et Pons revisitent la combinatoire algébrique des permutations (ordre faible, algèbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer) en terme de combinatoire sur les ordres partiels sur les entiers. Cette perspective englobe également la combinatoire des quotients de l’ordre faible tels les arbres binaires, les séquences binaires, et de façon plus générale les récents permutarbres de Pilaud et Pons. Nous généralisons alors l’ordre faibles aux éléments des groupes de Weyl. Ceci nous conduit à décrire un ordre sur les sommets des permutaèdres, associaèdres généralisés et cubes dans le même cadre unifié. Ces résultats se basent sur de subtiles propriétés des sommes de racines dans les groupes de Weyl qui s’avèrent ne pas fonctionner pour les groupes de Coxeter qui ne sont pas cristallographiques / Algebraic combinatorics is the research field that uses combinatorial methods and algorithms to study algebraic computation, and applies algebraic tools to combinatorial problems. One of the central topics of algebraic combinatorics is the study of permutations, interpreted in many different ways (as bijections, permutation matrices, words over integers, total orders on integers, vertices of the permutahedron…). This rich diversity of perspectives leads to the following generalizations of the symmetric group. On the geometric side, the symmetric group generated by simple transpositions is the canonical example of finite reflection groups, also called Coxeter groups. On the monoidal side, the simple transpositions become bubble sort operators that generate the 0-Hecke monoid, whose algebra is the specialization at q=0 of Iwahori’s q-deformation of the symmetric group. This thesis deals with two further generalizations of permutations. In the first part of this thesis, we first focus on partial permutations matrices, that is placements of pairwise non attacking rooks on a n by n chessboard, simply called rooks. Rooks generate the rook monoid, a generalization of the symmetric group. In this thesis we introduce and study the 0-Rook monoid, a generalization of the 0-Hecke monoid. Its algebra is a proper degeneracy at q = 0 of the q-deformed rook monoid of Solomon. We study fundamental monoidal properties of the 0-rook monoid (Green orders, lattice property of the R-order, J-triviality) which allow us to describe its representation theory (simple and projective modules, projectivity on the 0-Hecke monoid, restriction and induction along an inclusion map).Rook monoids are actually type A instances of the family of Renner monoids, which are completions of the Weyl groups (crystallographic Coxeter groups) for Zariski’s topology. In the second part of this thesis we extend our type A results to define and give a presentation of 0-Renner monoids in type B and D. This also leads to a presentation of the Renner monoids of type B and D, correcting a misleading presentation that appeared earlier in the litterature. As in type A we study the monoidal properties of the 0-Renner monoids of type B and D : they are still J-trivial but their R-order are not lattices anymore. We study nonetheless their representation theory and the restriction of projective modules over the corresponding 0-Hecke monoids. The third part of this thesis deals with different generalizations of permutations. In a recent series of papers, Châtel, Pilaud and Pons revisit the algebraic combinatorics of permutations (weak order, Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra) in terms of the combinatorics of integer posets. This perspective encompasses as well the combinatorics of quotients of the weak order such as binary trees, binary sequences, and more generally the recent permutrees of Pilaud and Pons. We generalize the weak order on the elements of the Weyl groups. This enables us to describe the order on vertices of the permutahedra, generalized associahedra and cubes in the same unified context. These results are based on subtle properties of sums of roots in Weyl groups, and actually fail for non-crystallographic Coxeter groups.

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage. / This thesis concerns algorithmic approaches to three challenging problems in computational algebraic combinatorics.The firsts parts propose a Gröbner basis free approach for calculating the secondary invariants of a finite permutation group, proceeding by using evaluation at appropriately chosen points. This approach allows for exploiting the symmetries to confine the calculations into a smaller quotient space, which gives a tighter control on the algorithmic complexity, especially for large groups. The theoretical study is illustrated by extensive benchmarks using a fine implementation of algorithms. An important prerequisite is the generation of integer vectors modulo the action of a permutation group, whose algorithmic constitute a preliminary part of the thesis.The fourth part of this thesis is determining for a certain interesting quotient of an affine Hecke algebra exactly which root-of-unity specialization of its parameter lead to non-generic behavior.Finally, the last part presents a conjecture on the structure of certain q-deformed diagonal harmonics in many sets of variables for the infinite family of complex reflection groups.All chapters proceed widely by computer exploration, and most of established algorithms constitute contributions of the software Sage.

La combinatoire a permis de résoudre certains problèmes en Mathématiques, en Physique et en Informatique, en retour celles-ci inspirent des questions nouvelles à la combinatoire. Ce mémoire de thèse intitulé "Combinatoire et algorithme des factorisations tangentes à l'identité" regroupe plusieurs travaux sur la combinatoire des déformations du produit de Shuffle. L'objectif de cette thèse est d'écrire des factorisations dont le terme principal est l'identité à travers l'utilisation d'outils portant principalement sur la combinatoire des mots (ordres, graduation etc.). Dans le cas classique, soit F une algèbre libre. En raison du fait que F est une algèbre enveloppante, on a une factorisation exacte de l'identité de End(F) = F*⨶F comme un produit infini d'exponentielles (End(F) étant muni du produit de Shuffle sur la gauche et de la concaténation sur la droite, une représentation fidèle du produit de convolution). La procédure est la suivante : premièrement on commence avec une base de Poincaré-Birkhoff-Witt, deuxièmement on calcule la famille des formes coordonnées et alors les propriétés (combinatoires) non triviales de ces familles en dualité donne la factorisation. Si on part de l'autre côté, l'écriture pour le même produit ne donne exactement l'identité que sous des conditions très restrictives que nous précisons ici. Dans de nombreux autres cas (déformés), la construction explicite des paires de bases en dualité nécessite une étude combinatoire et algorithmique que nous fournissons dans ce mémoire. / Combinatorics has solved many problems in Mathematics, Physics and Computer Science, in return these domains inspire new questions to combinatorics. This memoir entitled "Combinatorics and algorithmics of factorization tangent to indentity includes several works on the combinatorial deformations of the shuffle product. The aim of this thesis is to write factorizations wich principal term is the identity through the use of tools relating mainly to combinatorics on the words (orderings, grading etc). In the classical case, let F be the free algebra. Due to the fact that F is an enveloping algebra, one has an exact factorization of the identity of End(F) = F⨶F as an infinite product of exponentials (End(F) being endowed with the shuffle product on the left and the concatenation on the right, a faithful representation of the convolution product) as follows : first on begins with a PBW basis, second one computes the family of coordinate forms and then non-trivial (combinatorial) properties of theses families in duality gives the factorization. Starting from the other side and writing the same product does give exactly identity only under very restrictive conditions that we clarify here. In many other (deformed) cases, the explicit construction of pairs of bases in duality requires combinatorial and algorithmic studies that we provide in this memoir.