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Les premiers résultats en analyse convexe ne nécessitant aucune condition de qualification datent à peu près d'une quinzaine d'années et constituent le début de l'analyse convexe séquentielle. Ils concernaient essentiellement: la somme d'un nombre fini de fonctions convexes, la composition avec une application vectorielle convexe, et les problèmes de programmation mathématique convexe. Cette thèse apporte un ensemble de contributions à l'analyse convexe séquentielle. La première partie de la thèse est consacrée à l'obtention sans condition de qualification de règles de calcul sous-differentiel exprimées séquentiellement. On considère les cas suivants:l'enveloppe supérieure d'une famille quelconque de fonctions convexes semi-continues inférieurement définies sur un espace de Banach; une fonctionnelle intégrale convexe générale définie sur un espace de fonctions intégrales;la somme continue (ou intégrale) de fonctions convexes semi-continues inférieurement définies sur un espace de Banach séparable. Dans la deuxième partie on établit sans hypothèse de qualification sur les données du problème, des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité séquentielle pour divers types de problèmes d'optimisation et de contrôle optimal discret ou continu. / The first results in convex analysis without any qualificationcondition have been established fifteen years ago, and one may say thatsequential convex analysis began with those results. They essentially concerned:The finite sum of convex functions, the composition with a vectorvaluedconvex mapping, and convex mathematical programming. The firstpart of this dissertation provides several contibutions to sequential convexanalysis. The following cases are considered: the upper envelop of a familyof lower semicontinuous convex functions; the integral functional overan integral space; the continuous sum of lower semicontinuous convex functions.In the second part, necessary and sufficient optimality conditions areestablished in sequential form for many types of programming problems anddicrete or continuous optimal control problems.

L'objectif de cette thèse est de proposer des solutions aux problèmes liés à la commande optimale de systèmes dynamiques multi-agents en présence de contraintes. Des éléments de la théorie de commande et d'optimisation sont appliqués à différents problèmes impliquant des formations de systèmes multi-agents. La thèse examine le cas d'agents soumis à des contraintes dynamiques. Pour faire face à ces problèmes, les concepts bien établis tels que la théorie des ensembles, la platitude différentielle, la commande prédictive (Model Predictive Control - MPC), la programmation mixte en nombres entiers (Mixed-Integer Programming - MIP) sont adaptés et améliorés. En utilisant ces notions théoriques, ce travail de thèse a porté sur les propriétés géométriques de la formation d'un groupe multi-agents et propose un cadre de synthèse original qui exploite cette structure. En particulier, le problème de conception de formation et les conditions d'évitement des collisions sont formulés comme des problèmes géométriques et d'optimisation pour lesquels il existe des procédures de résolution. En outre, des progrès considérables dans ce sens ont été obtenus en utilisant de façon efficace les techniques MIP (dans le but d'en déduire une description efficace des propriétés de non convexité et de non connexion d'une région de faisabilité résultant d'une collision de type multi-agents avec des contraintes d'évitement d'obstacles) et des propriétés de stabilité (afin d'analyser l'unicité et l'existence de configurations de formation de systèmes multi-agents). Enfin, certains résultats théoriques obtenus ont été appliqués dans un cas pratique très intéressant. On utilise une nouvelle combinaison de la commande prédictive et de platitude différentielle (pour la génération de référence) dans la commande et la navigation de véhicules aériens sans pilote (UAVs). / The goal of this thesis is to propose solutions for the optimal control of multi-agent dynamical systems under constraints. Elements from control theory and optimization are merged together in order to provide useful tools which are further applied to different problems involving multi-agent formations. The thesis considers the challenging case of agents subject to dynamical constraints. To deal with these issues, well established concepts like set-theory, differential flatness, Model Predictive Control (MPC), Mixed-Integer Programming (MIP) are adapted and enhanced. Using these theoretical notions, the thesis concentrates on understanding the geometrical properties of the multi-agent group formation and on providing a novel synthesis framework which exploits the group structure. In particular, the formation design and the collision avoidance conditions are casted as geometrical problems and optimization-based procedures are developed to solve them. Moreover, considerable advances in this direction are obtained by efficiently using MIP techniques (in order to derive an efficient description of the non-convex, non-connected feasible region which results from multi-agent collision and obstacle avoidance constraints) and stability properties (in order to analyze the uniqueness and existence of formation configurations). Lastly, some of the obtained theoretical results are applied on a challenging practical application. A novel combination of MPC and differential flatness (for reference generation) is used for the flight control of Unmanned Aerial Vehicles (UAVs).

Depuis une dizaine d'années, la théorie statistique de l'apprentissage a connu une forte expansion. L'avènement d'algorithmes hautement performants pour la classification de données en grande dimension, tels que le boosting ou les machines à noyaux (SVM) a engendré de nombreuses questions statistiques que la théorie de Vapnik-Chervonenkis (VC) ne permettait pas de résoudre. En effet, le principe de Minimisation du Risque Empirique ne rend pas compte des méthodes d'apprentissage concrètes et le concept de complexité combinatoire de VC dimension ne permet pas d'expliquer les capacités de généralisation d'algorithmes<br />sélectionnant un estimateur au sein d'une classe massive telle que l'enveloppe convexe d'une classe de VC. Dans le premier volet du mémoire, on rappelle les interprétations des algorithmes de boosting comme des implémentations de principes de minimisation<br />de risques convexes et on étudie leurs propriétés sous cet angle. En particulier, on montre l'importance de la<br />régularisation pour obtenir des stratégies consistantes. On développe également une nouvelle classe d'algorithmes de type gradient stochastique appelés algorithmes de descente miroir avec moyennisation et on évalue leur comportement à travers des simulations informatiques. Après avoir présenté les principes fondamentaux du boosting, on s'attache dans le<br />deuxième volet à des questions plus avancées telles que<br />l'élaboration d'inégalités d'oracle. Ainsi, on étudie la<br />calibration précise des pénalités en fonction des critères<br />de coût utilisés. On présente des résultats<br />non-asymptotiques sur la performance des estimateurs du boosting pénalisés, notamment les vitesses rapides sous les conditions de marge de type Mammen-Tsybakov et on décrit les capacités d'approximation du boosting utilisant les "rampes" (stumps) de décision. Le troisième volet du mémoire explore le problème du ranking. Un enjeu important dans des applications<br />telles que la fouille de documents ou le "credit scoring" est d'ordonner les instances plutôt que de les catégoriser. On propose une formulation simple de ce problème qui permet d'interpréter le ranking comme une classification sur des paires d'observations. La différence dans ce cas vient du fait que les<br />critères empiriques sont des U-statistiques et on développe donc la théorie de la classification adaptée à ce contexte. On explore également la question de la généralisation de l'erreur de ranking afin de pouvoir inclure des a priori sur l'ordre des instances, comme dans le cas où on ne s'intéresse qu'aux "meilleures" instances.

Le polytope des m-sous-espaces est défini comme l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques de tous les sous-espaces de dimension m d'un espace affin fini. Le cas particulier du polytope des hyperplans a été étudié par Maurras (1993) et Anglada et Maurras (2003), qui ont obtenu une description complète des facettes. Le polytope général des m-sous-espaces que nous considérons possède une structure plus complexe, notamment concernant les facettes. Néanmoins, nous établissons dans cette thèse plusieurs familles de facettes. Nous caractérisons également complètement le groupe des automorphismes du polytope ainsi que l'adjacence des sommets du polytope des m-sous-espaces. Un tangle est un ensemble d'hyperplans d'un espace affin contenant un hyperplan par classe d'hyperplans parallèles. Anglada et Maurras ont montré que les tangles définissent des facettes du polytope des hyperplans et que toutes les facettes de ce polytope proviennent de tangles. Nous tentons d'établir une généralisation de ce résultat. Nous élaborons une classification des tangles en familles pour de petites dimensions d'espaces affins. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce travail de thèse porte principalement sur deux problématiques différentes mais qui ont pour point commun, la contribution à la modélisation et à la gestion du risque en actuariat. Dans le premier thème de recherche abordé dans cette thèse, on s'intéresse à la modélisation de la dépendance en assurance et en particulier, on propose une extension des modèles à facteurs communs qui sont utilisés en assurance. Dans le deuxième thème de recherche, on considère les distributions discrètes décroissantes et on s'intéresse à l'étude de l'effet de l'ajout de la contrainte de convexité sur les extrema convexes. Des applications en liaison avec la théorie de la ruine motivent notre intérêt pour ce sujet. Dans la première partie de la thèse, on considère un modèle de risque en temps discret dans lequel les variables aléatoires sont dépendantes mais conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun. Dans ce cadre de dépendance on introduit un nouveau concept pour la modélisation de la dépendance temporelle entre les risques d'un portefeuille d'assurance. En effet, notre modélisation inclut des processus de mémoire non bornée. Plus précisément, le conditionnement se fait par rapport à un vecteur aléatoire de longueur variable au cours du temps. Sous des conditions de mélange du facteur et d'une structure de mélange conditionnel, nous avons obtenu des propriétés de mélanges pour les processus non conditionnels. Avec ces résultats on peut obtenir des propriétés asymptotiques intéressantes. On note que dans notre étude asymptotique c'est plutôt le temps qui tend vers l'infini que le nombre de risques. On donne des résultats asymptotiques pour le processus agrégé, ce qui permet de donner une approximation du risque d'une compagnie d'assurance lorsque le temps tend vers l'infini. La deuxième partie de la thèse porte sur l'effet de la contrainte de convexité sur les extrema convexes dans la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité (f.m.p.) sont décroissantes sur un support fini. Les extrema convexes dans cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de souligner comment les contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Deux cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur N et la f.m.p. est convexe seulement à partir d'un point positif donné. Les extrema convexes correspondants sont calculés en utilisant de simples propriétés de croisement entre deux distributions. Plusieurs illustrations en théorie de la ruine sont présentées / In this thesis we focus on two different problems which have as common point the contribution to the modeling and to the risk management in insurance. In the first research theme, we are interested by the modeling of the dependence in insurance. In particular we propose an extension to model with common factor. In the second research theme we consider the class of nonincreasing discrete distributions and we are interested in studying the effect of additional constraint of convexity on the convex extrema. Some applications in ruin theory motivate our interest to this subject. The first part of this thesis is concerned with factor models for the modeling of the dependency in insurance. An interesting property of these models is that the random variables are conditionally independent with respect to a factor. We propose a new model in which the conditioning is with respect to the entire memory of the factor. In this case we give some mixing properties of risk process under conditions related to the mixing properties of the factor process and to the conditional mixing risk process. The law of the sum of random variables has a great interest in actuarial science. Therefore we give some conditions under which the law of the aggregated process converges to a normal distribution. In the second part of the thesis we consider the class of discrete distributions whose probability mass functions (p.m.f.) are nonincreasing on a finite support. Convex extrema in that class of distributions are well-known. Our purpose is to point out how additional shape constraints of convexity type modify these extrema. Two cases are considered : the p.m.f. is globally convex on N or it is convex only from a given positive point. The corresponding convex extrema are derived by using a simple crossing property between two distributions. Several applications to some ruin problems are presented for illustration

Cette thèse concerne quatre thèmes apparemment différents, mais en fait intimement liés : problèmes variationnels sur les algèbres de Jordan euclidiennes, problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques, analyse angulaire entre deux cônes convexes fermés et analyse du chemin central en programmation conique symétrique.Dans la première partie de ce travail, le concept de “commutation au sens opérationnel” dans les algèbres de Jordan euclidiennes est étudié en fournissant un principe de commutation pour problèmes variationnels avec données spectrales.Dans la deuxième partie, nous abordons l’analyse et la résolution numérique d’une large classe de problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques. Les conditions de complémentarité sont exprimées en termes de l’ordre de Loewner ou, plus généralement, en termes d’un cône du type Loewnerien.La troisième partie de ce travail est une tentative de construction d’une théorie générale des angles critiques pour une paire de cônes convexes fermés. L’analyse angulaire pour une paire de cônes spécialement structurés est également considérée. Par-exemple, nous travaillons avec des sous-espaces linéaires, des cônes polyédriques, des cônes de révolution, des cônes “topheavy” et des cônes de matrices.La dernière partie de ce travail étudie la convergence et le comportement asymptotique du chemin central en programmation conique symétrique. Ceci est fait en utilisant des techniques propres aux algèbres de Jordan. / This thesis deals with four different but interrelated topics: variational problems on Euclidean Jordan algebras, complementarity problems on the space of symmetric matrices, angular analysis between two closed convex cones and the central path for symmetric cone linear programming.In the first part of this work we study the concept of “operator commutation” in Euclidean Jordan algebras by providing a commutation principle for variational problems involving spectral data.Our main concern of the second part is the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problems on spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewner ordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones.The third part of this work is an attempt to build a general theory of critical angles for a pair of closed convex cones. The angular analysis for a pair of specially structured cones is also covered. For instance, we work with linear subspaces, polyhedral cones, revolution cones, topheavy cones and cones of matrices.The last part of this work focuses on the convergence and the limiting behavior of the central path in symmetric cone linear programming. This is done by using Jordan-algebra techniques.

Avec le besoin croissant en bande-passante, les technologies dites de radio-cognitive sont de plus en plus étudiées par la communauté scientifique. L’enjeu est d’utiliser au mieux le spectre disponible. L'une de ces technologies, Transform Domain Communication System (TDCS), dont les performances en termes d’efficacité énergétique et spectrale étaient jusqu'à présent méconnues, constitue le sujet d'étude de cette thèse. Après une présentation du contexte scientifique et industriel de la thèse, le système TDCS est introduit, ainsi que ses similarités et différences avec OFDM et MC-CDMA. Le système est ensuite décrit sous le formalisme algébrique des modulations linaires. Cela a permis d’établir une expression de l’efficacité spectrale du système. Plusieurs techniques sont alors proposées pour améliorer celle-ci tout en améliorant, dans certains cas, le taux d’erreur binaire. Étant composé d’un de plusieurs composantes sinusoïdales, le signal TDCS souffre d’un fort Peak-to-Average Power Ratio (PAPR). La théorie ensembliste est alors présentée puis mise à profit en troisième partie de cette thèse pour proposer les algorithmes Douglas-Rachford et ROCS de réduction du PAPR des signaux TDCS. Ces algorithmes convergent plus rapidement et vers des valeurs plus basses que l’algorithme POCS précédemment utilisé dans la littérature / For about ten years, spectrum scarcity and the growing need of bandwidth have pushed the studies on cognitive-radio technologies to counter this waste. Among them: the Transform Domain Communication System (TDCS), on which this thesis focuses. Until now, TDCS’ performance in terms of spectral and power efficiency was largely unknown. After introducing the thesis’ industrial and scientific context, the TDCS is introduced and compared with popular technologies such as OFDM and MC-CDMA. The system is then studied by means of the linear modulations’ algebraic framework. This has led to the TDCS’ spectral efficiency determination and to new design rules to jointly achieve a better spectral efficiency and a lower BER. Several methods are then proposed to further increase the spectral efficiency by means of a dense multidimensional modulation. Since a TDCS signal is made of several sines, it suffers from a strong Peak-to-Average Power Ratio (PAPR). Set theoretic estimation is then introduced in a third part and new PAPR-reduction algorithms such as Douglas-Rachford and Reflection Onto Convex Sets are brought to light and achieve better performance than the usual POCS algorithm regarding to the convergence rate, as well as the achieved PAPR

The minimally invasive approach of arthroscopy means less pain and faster recovery time for patients compared to open surgery. However, it implies a high difficulty of performance. Therefore, surgeon should remain at a high level of technical and professional expertise to perform such operations. Surgeon’s skills are being developed over years of surgical training on animals, cadavers and patients. Nowadays, cadavers and animal specimens present an ethical problem also the practice on real humans is usually risky. For surgeons to reach a high level, new and alternative ways of performing surgical training are required. Virtual reality technology has opened new realms in the practice of medicine. Today, virtual reality simulators have become one of the most important training methods in the medical field. These simulators allow medical students to examine and study organs or any structure of the human body in ways that were not possible few years earlier. Similarly, the surgeon as well as the medical student can gain a valuable experience by performing a particular surgery with an anatomical accuracy and realism as it is actually performed in the real world. Thus, they can practice on virtual operation before they proceed and operate on real patients. In this thesis, a virtual reality training simulator for wrist arthroscopy is introduced. Two main issues are addressed: the 3-D reconstruction process and the 3-D interaction. Based on a sequence of CT images a realistic representation of the wrist joint is obtained suitable for the computer simulation. Two main components of the computer-based system interface are illustrated: the 3-D interaction to guide the surgical instruments and the user interface for haptic feedback. In this context, algorithms that model objects using the convex hull approaches and simulate real time exact collision detection between virtual objects are presented. A force feedback device, coupled with a haptic algorithm, is used as a haptic interface with the computer simulation system. This leads in the development of a low cost system with the same benefits as professional devices. In this regard, the wrist arthroscopy can be simulated and medical students can learn the basic skills required with safety, flexibility and less cost / La chirurgie arthroscopique présente actuellement un essor très important pour le bénéfice du plus grand nombre des patients. Cependant, cette technique possède un certain nombre d’inconvénients et il est donc nécessaire pour le médecin de s’entrainer et répéter ses gestes afin de pouvoir exécuter ce type d’opération d’une façon efficace et certaine. En effet, les méthodes traditionnelles d’enseignement de la chirurgie sont basées sur l’autopsie des cadavres et l’entrainement sur des animaux. Avec l’évolution de notre société, ces deux pratiques deviennent de plus en plus critiquées et font l’objet de réglementations très restrictives. Afin d’atteindre un niveau plus élevé, de nouveaux moyens d’apprentissage sont nécessaires pour les chirurgiens. Récemment, la réalité virtuelle commence d’être de plus en plus utilisée dans la médecine et surtout la chirurgie. Les simulateurs chirurgicaux sont devenus une des matières les plus récentes dans la recherche de la réalité virtuelle. Ils sont également devenus une méthode de formation et un outil d’entrainement valable pour les chirurgiens aussi bien que les étudiants en médecine. Dans ce travail, un simulateur de réalité virtuelle pour l’enseignement de la chirurgie arthroscopique, surtout la chirurgie du poignet, a été préesenté. Deux questions principales sont abordées : la reconstruction et l’interaction 3-D. Une séquence d’images CT a été traitée afin de générer un modèle 3-D du poignet. Les deux principales composantes de l’interface du système sont illustrées : l’interaction 3-D pour guider les instruments chirurgicaux et l’interface de l’utilisateur pour le retour d’effort. Dans ce contexte, les algorithmes qui modélisent les objets en utilisant les approches de “Convex Hull” et qui simulent la détection de collision entre les objets virtuels en temps réel, sont présentés. En outre, un dispositif de retour d’effort est utilisé comme une interface haptique avec le système. Cela conduit au développement d’un système à faible coût, avec les mêmes avantages que les appareils professionnels. A cet égard, l’arthroscopie du poignet peut être simulée et les étudiants en médecine peuvent facilement utiliser le système et peuvent apprendre les compétences de base requises en sécurité, flexibilité et moindre coût

Dans ce mémoire de thèse, on étudie le morphisme de monoïde $mu$du monoïde libre sur l'alphabet des entiers $nb$,`a valeurs dans le groupe modulaire $PSL_2(zb)$,considéré comme monoïde, défini pour tout entier $a$ par $mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.$Les nombres de Catalan apparaissent naturellement dans l'étudede sous-ensembles du noyau de $mu$.Dans un premier temps, on met en évidence deux systèmes de réécriture, l'un sur l'alphabet fini ${0,1}$, l'autresur l'alphabet infini des entiers $nb$ et on montreque ces deux systèmes de réécriture définissent des présentations de monoïde de $PSL_2(zb)$ par générateurs et relations.Par ailleurs, on introduit le morphisme d'indice associé `a l'abélianisé du rev^etement universel de $PSL_2(zb)$,le groupe $B_3$ des tresses `a trois brins. Interprété dans deux contextes différents,le morphisme d'indice est associé au nombre de "demi-tours".Ensuite, dans les quatrième et cinquième parties, on dénombre des sous-ensembles du noyau de $mu_{|{0,1}}$ etdu noyau de $mu$, bigradués par la longueur et l'indice. La suite des nombres de Catalan et d'autres diagonales du triangle de Catalan interviennentsimplement dans les résultats.Enfin, on présente l'origine géométrique de cette étude : on explicite le lien entre l'objectif premier de la thèse qui était l'étudedes polygones convexes entiers d'aire minimale et notre intéret pour le monoïde engendré par ces matrices particulières de $PSL_2(zb)$. / In this thesis, we study a morphism of mono"id $mu$ between the free mono"id on the alphabet of integers $nb$and the modular group $PSL_2(zb)$ considered as a mono"id, defined for all integer $a$by $mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.$ The Catalan Numbers arised naturally in the study ofsubsets of the kernel of the morphism $mu$.Firstly, we introduce two rewriting systems, one on the finite alphabet ${0,1}$, and the other on the infinite alphabet of integers $nb$. We proove that bothof these rewriting systems defines a mono"id presentation of $PSL_2(zb)$ by generators and relations.On another note, we introduce the morphism of loop associated to the abelianised of the universal covering group of $PSL_2(zb)$, the group $B_3$ ofbraid group on $3$ strands. In two different contexts, the morphism of loop is associated to the number of "half-turns".Then, in the fourth and the fifth parts, we numerate subsets of the kernel of $mu_{|{0,1}}$ and of the kernel of $mu$,bi-graduated by the morphism of lengthand the morphism of loop. The sequences of Catalan numbers and other diagonals of the Catalan triangle come into the results.Lastly, we present the geometrical origin of this research : we detail the connection between our first aim,which was the study of convex integer polygones ofminimal area, and our interest for the mono"id generated by these particular matrices of $PSL_2(zb)$.