Assuming a set of variates are independent and normally distributed is commonplace in statistics. In this thesis, we consider the consequences of these assumptions as they pertain to global sensitivity analysis. We begin by illustrating how the notion of sensitivity becomes distorted in the presence of codependent model inputs. This observation motivates us to develop a new methodology which accommodates for input codependencies. Our methodology can be summarized through three points: First, a new form of sensitivity is presented which performs as well as the classical form but can be obtained at a fraction of the computational cost. Second, we define a measure which quantifies the extent of distortion caused by codependent inputs. The third point is regarding the modelling of said codependencies. The multivariate normal distribution is a natural choice for modelling codependent inputs; however, our methodology uses a copula-based approach instead. Copulas are a contemporary strategy for constructing multivariate distributions whereby the marginal and joint behaviours are treated separately. As a result, a practitioner has more flexibility when modelling inputs. / Thesis (Master, Chemical Engineering) -- Queen's University, 2013-12-05 10:16:26.81

No description available.

Disertacijoje tiriamas diskrečių m-priklausomų atsitiktinių dydžių aproksimavimo Puasono tipo matais tikslumas. Silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių sumos yra natūralus nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų apibendrinimas. Vis dėlto atsitiktinių dydžių priklausomybė žymiai pasunkina tokių sumų tyrimą. Disertacijoje pagrindinis dėmesys skiriamas dviparametrėms ir triparametrėms diskrečiosioms aproksimacijoms. Gautus rezultatus galima suskirstyti į keturias dalis. Pirmoje dalyje nagrinėjant dviejų narių serijų statistikos aproksimaciją Puasono ir sudėtiniais Puasono skirstiniais buvo nustatyta, kad dviparametrė sudėtinė Puasono aproksimacija yra tikslesnė už Puasono dėsnio asimptotinį skleidinį su vienu asimptotikos nariu. Aproksimacijos tikslumas įvertintas pilnosios variacijos ir lokalioje metrikoje. Specialiu atveju apskaičiuotos asimptotiškai tikslios konstantos. Taip pat nustatyta, kad gautieji įverčiai iš apačios yra tos pačios eilės, kaip ir įverčiai iš viršaus. Antroje dalyje buvo gauta, kad sveikaskaičiai atsitiktiniai dydžiai, tenkinantys Frankeno sąlygos analogą, gali būti naudojami perėjimui nuo m-priklausomų prie 1-priklausomų atsitiktinių dydžių. Nustatyta, kad ženklą keičiančios sudėtinės Puasono aproksimacijos yra tokios pačios tikslumo eilės, kaip žinomi rezultatai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumoms. Trečioje dalyje nustatyta, kad kai atsitiktiniai dydžiai yra simetriniai, tuomet sudėtinio Puasono aproksimacijos tikslumas yra daug geresnis nei... [toliau žr. visą tekstą] / Our aim is to investigate Poisson type approximations to the sums of dependent integer-valued random variables. In this thesis, only one type of dependence is considered, namely m-dependent random variables. The accuracy of approximation is measured in the total variation, local, uniform (Kolmogorov) and Wasserstein metrics. Results can be divided into four parts. The first part is devoted to 2-runs, when pi=p. We generalize Theorem 5.2 from A.D. Barbour and A. Xia “Poisson perturbations” in two directions: by estimating the second order asymptotic expansion and asymptotic expansion in the exponent. Moreover, lower bound estimates are established, proving the optimality of upper bound estimates. Since, the method of proof does not allow to get small constants, in certain cases, we calculate asymptotically sharp constants. In the second part, we consider sums of 1-dependent random variables, concentrated on nonnegative integers and satisfying analogue of Franken's condition. All results of this part are comparable to the known results for independent summands. In the third part, we consider Poisson type approximations for sums of 1-dependent symmetric three-point distributions. We are unaware about any Poisson-type approximation result for dependent random variables, when symmetry of the distribution is taken into account. In the last part, we consider 1-dependent non-identically distributed Bernoulli random variables. It is shown, that even for this simple... [to full text]

Our aim is to investigate Poisson type approximations to the sums of dependent integer-valued random variables. In this thesis, only one type of dependence is considered, namely m-dependent random variables. The accuracy of approximation is measured in the total variation, local, uniform (Kolmogorov) and Wasserstein metrics. Results can be divided into four parts. The first part is devoted to 2-runs, when pi=p. We generalize Theorem 5.2 from A.D. Barbour and A. Xia “Poisson perturbations” in two directions: by estimating the second order asymptotic expansion and asymptotic expansion in the exponent. Moreover, lower bound estimates are established, proving the optimality of upper bound estimates. Since, the method of proof does not allow to get small constants, in certain cases, we calculate asymptotically sharp constants. In the second part, we consider sums of 1-dependent random variables, concentrated on nonnegative integers and satisfying analogue of Franken's condition. All results of this part are comparable to the known results for independent summands. In the third part, we consider Poisson type approximations for sums of 1-dependent symmetric three-point distributions. We are unaware about any Poisson-type approximation result for dependent random variables, when symmetry of the distribution is taken into account. In the last part, we consider 1-dependent non-identically distributed Bernoulli random variables. It is shown, that even for this simple... [to full text] / Disertacijoje tiriamas diskrečių m-priklausomų atsitiktinių dydžių aproksimavimo Puasono tipo matais tikslumas. Silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių sumos yra natūralus nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų apibendrinimas. Vis dėlto atsitiktinių dydžių priklausomybė žymiai pasunkina tokių sumų tyrimą. Disertacijoje pagrindinis dėmesys skiriamas dviparametrėms ir triparametrėms diskrečiosioms aproksimacijoms. Gautus rezultatus galima suskirstyti į keturias dalis. Pirmoje dalyje nagrinėjant dviejų narių serijų statistikos aproksimaciją Puasono ir sudėtiniais Puasono skirstiniais buvo nustatyta, kad dviparametrė sudėtinė Puasono aproksimacija yra tikslesnė už Puasono dėsnio asimptotinį skleidinį su vienu asimptotikos nariu. Aproksimacijos tikslumas įvertintas pilnosios variacijos ir lokalioje metrikoje. Specialiu atveju apskaičiuotos asimptotiškai tikslios konstantos. Taip pat nustatyta, kad gautieji įverčiai iš apačios yra tos pačios eilės, kaip ir įverčiai iš viršaus. Antroje dalyje buvo gauta, kad sveikaskaičiai atsitiktiniai dydžiai, tenkinantys Frankeno sąlygos analogą, gali būti naudojami perėjimui nuo m-priklausomų prie 1-priklausomų atsitiktinių dydžių. Nustatyta, kad ženklą keičiančios sudėtinės Puasono aproksimacijos yra tokios pačios tikslumo eilės, kaip žinomi rezultatai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumoms. Trečioje dalyje nustatyta, kad kai atsitiktiniai dydžiai yra simetriniai, tuomet sudėtinio Puasono aproksimacijos tikslumas yra daug geresnis nei... [toliau žr. visą tekstą]

Quantifier et mesurer le risque dans un environnement partiellement ou totalement incertain est probablement l'un des enjeux majeurs de la recherche appliquée en mathématiques financières. Cela concerne l'économie, la finance, mais d'autres domaines comme la santé via les assurances par exemple. L'une des difficultés fondamentales de ce processus de gestion des risques est de modéliser les actifs sous-jacents, puis d'approcher le risque à partir des observations ou des simulations. Comme dans ce domaine, l'aléa ou l'incertitude joue un rôle fondamental dans l'évolution des actifs, le recours aux processus stochastiques et aux méthodes statistiques devient crucial. Dans la pratique l'approche paramétrique est largement utilisée. Elle consiste à choisir le modèle dans une famille paramétrique, de quantifier le risque en fonction des paramètres, et d'estimer le risque en remplaçant les paramètres par leurs estimations. Cette approche présente un risque majeur, celui de mal spécifier le modèle, et donc de sous-estimer ou sur-estimer le risque. Partant de ce constat et dans une perspective de minimiser le risque de modèle, nous avons choisi d'aborder la question de la quantification du risque avec une approche non-paramétrique qui s'applique à des modèles aussi généraux que possible. Nous nous sommes concentrés sur deux mesures de risque largement utilisées dans la pratique et qui sont parfois imposées par les réglementations nationales ou internationales. Il s'agit de la Value at Risk (VaR) qui quantifie le niveau de perte maximum avec un niveau de confiance élevé (95% ou 99%). La seconde mesure est l'Expected Shortfall (ES) qui nous renseigne sur la perte moyenne au delà de la VaR. / To quantify and measure the risk in an environment partially or completely uncertain is probably one of the major issues of the applied research in financial mathematics. That relates to the economy, finance, but many other fields like health via the insurances for example. One of the fundamental difficulties of this process of management of risks is to model the under lying credits, then approach the risk from observations or simulations. As in this field, the risk or uncertainty plays a fundamental role in the evolution of the credits; the recourse to the stochastic processes and with the statistical methods becomes crucial. In practice the parametric approach is largely used.It consists in choosing the model in a parametric family, to quantify the risk according to the parameters, and to estimate its risk by replacing the parameters by their estimates. This approach presents a main risk, that badly to specify the model, and thus to underestimate or over-estimate the risk. Based within and with a view to minimizing the risk model, we choose to tackle the question of the quantification of the risk with a nonparametric approach which applies to models as general as possible. We concentrate to two measures of risk largely used in practice and which are sometimes imposed by the national or international regulations. They are the Value at Risk (VaR) which quantifies the maximum level of loss with a high degree of confidence (95% or 99%). The second measure is the Expected Shortfall (ES) which informs about the average loss beyond the VaR.