abstract: In this thesis, we consider the problem of fast and efficient indexing techniques for time sequences which evolve on manifold-valued spaces. Using manifolds is a convenient way to work with complex features that often do not live in Euclidean spaces. However, computing standard notions of geodesic distance, mean etc. can get very involved due to the underlying non-linearity associated with the space. As a result a complex task such as manifold sequence matching would require very large number of computations making it hard to use in practice. We believe that one can device smart approximation algorithms for several classes of such problems which take into account the geometry of the manifold and maintain the favorable properties of the exact approach. This problem has several applications in areas of human activity discovery and recognition, where several features and representations are naturally studied in a non-Euclidean setting. We propose a novel solution to the problem of indexing manifold-valued sequences by proposing an intrinsic approach to map sequences to a symbolic representation. This is shown to enable the deployment of fast and accurate algorithms for activity recognition, motif discovery, and anomaly detection. Toward this end, we present generalizations of key concepts of piece-wise aggregation and symbolic approximation for the case of non-Euclidean manifolds. Experiments show that one can replace expensive geodesic computations with much faster symbolic computations with little loss of accuracy in activity recognition and discovery applications. The proposed methods are ideally suited for real-time systems and resource constrained scenarios. / Dissertation/Thesis / M.S. Electrical Engineering 2012

A principal característica de cabos é a sua capacidadede suportar grande carga na direção longitudinal e são utilizadas em, por exemplo, concreto comprimido, plataformas e pontes. Usualmente, sua estrutura básica é formada por um elemento central (núcleo) e reto juntamente com outros componentes dispostos ao seu redor em forma de hélice. Existe uma variedade de geometrias que podem ser utilizadas, assim como número de camadas. Seguindo a teoria de vigas espaciais e parametrizando a geometria, a linha média de apenas uma dessas hélices foi analisada analiticamente. Essa simplificação é valida visto que o contato e deslizamento não são incluídos nesta teoria, produzindo uma primeira abordagem ao problema da modelagem dessas estruturas. Sendo assim, as equações de equilíbrio foram deduzidas e seu sistema diferencial foi resolvido com o objetivo de representar o comportamento mecânico da estrutura. Utilizando a tríade de Frenet-Serret para definir um sistema de coordenadas local, as condições de contorno foram aplicadas buscando determinar as constantes de integração resultantes da solução analítica das equações diferenciais. Essa solução foi comparadas com resultados numéricos obtidos pelo Método dos Elementos Finitos (FEM) para validação dos casos de carga concentrada e distribuída em duas geometrias, o arco plano e a hélice. Em ambos os casos resultados apresentaram boa concordância para forças, momentos, rotações e deslocamentos. Considerando o caso do arco, o seu raio foi aumentado, de forma que a geometria se aproximasse de uma viga reta. O modelo proposto também foi utilizado para simular uma mola sob compressão. / A high number of structures uses cables due to their ability to bear large load in the longitudinal direction, for example, prestressed concrete, offshore systems and bridges. Its basic structure is formed by a central straight element surrounded by strands laid helically. A variety of geometries can be used, as well as the number of layers. Using the theory of spatial beams and parameterizing the geometry, the center line of only one of these helixes was analyzed analytically, since contact and slip are not included in this theory, obtaining a first approach in order to model these structures and to determine its mechanical behavior. Thus, the equilibrium equations were deduced and the differential system was solved with the objective of representing the mechanical behavior of the structure. Using the Frenet-Serret triad to define a local coordinate system, the boundary conditions were applied aiming the determination of the integration constants. The expressions obtained were compared with results obtained by the Finite Element Method (FEM) for validation applying concentrated and distributed loads. All cases presented good agreement FOR forces, moments, rotations and displacements. Considering the arc case, its radius was increased until a straight beam. The proposed model was also used to simulate a spring under compression.

A principal característica de cabos é a sua capacidadede suportar grande carga na direção longitudinal e são utilizadas em, por exemplo, concreto comprimido, plataformas e pontes. Usualmente, sua estrutura básica é formada por um elemento central (núcleo) e reto juntamente com outros componentes dispostos ao seu redor em forma de hélice. Existe uma variedade de geometrias que podem ser utilizadas, assim como número de camadas. Seguindo a teoria de vigas espaciais e parametrizando a geometria, a linha média de apenas uma dessas hélices foi analisada analiticamente. Essa simplificação é valida visto que o contato e deslizamento não são incluídos nesta teoria, produzindo uma primeira abordagem ao problema da modelagem dessas estruturas. Sendo assim, as equações de equilíbrio foram deduzidas e seu sistema diferencial foi resolvido com o objetivo de representar o comportamento mecânico da estrutura. Utilizando a tríade de Frenet-Serret para definir um sistema de coordenadas local, as condições de contorno foram aplicadas buscando determinar as constantes de integração resultantes da solução analítica das equações diferenciais. Essa solução foi comparadas com resultados numéricos obtidos pelo Método dos Elementos Finitos (FEM) para validação dos casos de carga concentrada e distribuída em duas geometrias, o arco plano e a hélice. Em ambos os casos resultados apresentaram boa concordância para forças, momentos, rotações e deslocamentos. Considerando o caso do arco, o seu raio foi aumentado, de forma que a geometria se aproximasse de uma viga reta. O modelo proposto também foi utilizado para simular uma mola sob compressão. / A high number of structures uses cables due to their ability to bear large load in the longitudinal direction, for example, prestressed concrete, offshore systems and bridges. Its basic structure is formed by a central straight element surrounded by strands laid helically. A variety of geometries can be used, as well as the number of layers. Using the theory of spatial beams and parameterizing the geometry, the center line of only one of these helixes was analyzed analytically, since contact and slip are not included in this theory, obtaining a first approach in order to model these structures and to determine its mechanical behavior. Thus, the equilibrium equations were deduced and the differential system was solved with the objective of representing the mechanical behavior of the structure. Using the Frenet-Serret triad to define a local coordinate system, the boundary conditions were applied aiming the determination of the integration constants. The expressions obtained were compared with results obtained by the Finite Element Method (FEM) for validation applying concentrated and distributed loads. All cases presented good agreement FOR forces, moments, rotations and displacements. Considering the arc case, its radius was increased until a straight beam. The proposed model was also used to simulate a spring under compression.

Orientador: Valerio Ramos Batista / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T08:53:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lubeck_KellyRobertaMazzutti_D.pdf: 1896664 bytes, checksum: 506a84f4e0c03b2fff585bb45b6a9b1f (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Neste trabalho apresentamos o estudo e a construção de superfícies minimas atraves de um metodo exclusivo. Em 1762, Lagrange introduziu a Equacao Diferencial das Superfícies Mnimas atraves do Calculo de Variações, e hoje a teoria de tais superfícies e umaarea de pesquisa ativa e abrangente. A elaboração de novas famílias de superfícies minimas esta baseada no metodo da Construção Reversa, desenvolvido por Hermann Karcher nos meados da década de 80. Salientamos no presente trabalho a maneira diferenciada com que os problemas de periodos foram resolvidos. Para isso, utilizaram-se as equações de uma superfície mínima limite, para a qual ja era conhecido que o problema de períodos tinha solução transversal. Tal método, que neste trabalho sera denominado "método limite", simplica de maneira consideravel o esforco em solucionar os problemas de período da família original / Abstract: In this work we present the study and construction of minimal surfaces through an exclusive method. In 1762, Lagrange introduced the Minimal Surfaces Diferential Equation through the Calculus of Variations, and today the theory of such surfaces builds up an active and broad research area. We obtain new families of minimal surfaces based upon the Reverse Construction Method, developed by Hermann Karcher during the eighties. In our work we stress the original fashion with which period problems are solved: One makes use of a limit minimal surface, of which the periods are known to have transversal solution. Because of that we named our technique as "limit-method", which simplies considerably the effort of solving period problems for the sought after family of minimal surfaces / Doutorado / Geometria Diferencial / Mestre em Matemática

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-16T11:14:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Melo_FabioSilva_M.pdf: 3864560 bytes, checksum: 704d21404c48a187914a0238b121d30e (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: A teoria local de curvas da Geometria Diferencial no plano e no espaço euclidiano é bem conhecida (vide referências como [4] e [13]). Este trabalho consiste de uma generalização desta teoria usando métricas arbitrárias. Tal generalização é feita substituindo a matriz identidade que define o produto interno usual por outra matriz quadrada, simétrica e positiva definida. Com este novo produto interno, são estudados conceitos como vetor tangente, vetor normal, vetor binormal, fórmulas de Frenet, curvatura e torção / Abstract: The local theory of curves of the Differential Geometry in the Euclidean plane and euclidean space is well known (see references as [4] and [13]). This work consists of a generalization of this theory using arbitrary metrics. Such generalization is made replacing the identity matrix which defines the usual inner product with another square matrix, symmetrical and positive defined. With this new inner product, concepts like tangent vector, normal vector, binormal vector, Frenet's formulas, curvature and torsion are studied / Mestrado / Geometria Diferencial / Mestre em Matemática

Orientador: Carlos Eduardo Durán Fernández / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T19:52:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Peixoto_CintiaRodriguesdeAraujo_D.pdf: 2016009 bytes, checksum: 51b7c0e37f8a49e57e6bdb92841cc4de (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho estudamos a geometria de curvas de n-subespaços em Rkn, onde k é um natural qualquer, usando a mesma abordagem introduzida por J. C. Álvarez e C. Durán. Para isso generalizamos o endomorfismo fundamental e o descrevemos como um mergulho equivariante dos (k-1)-jets de curvas na Grassmanniana na álgebra de Lie de Gl(kn). Para descrição da geometria das curvas, analisamos as invariantes lineares obtidos do endomorfismo fundamental, comparados com os invariantes obtidos dos sistemas de equações diferenciais ordinárias de ordem k associados à curva. Como conseqüências, obtemos ainda uma solução para o problema de congruência de curvas na Grassmanniana e alguns casos especiais de curvas. / Abstract: In this work we study the geometry of curves of n-subspaces in Rkn, where k is any natural number. We use the same approach introduced by J. C. Álvarez e C. Durán. In order to this, we generalize the fundamental endomorphism and we describe it as a equivariant embedding of (k-1)-jets of curves in Grassmannian manifold to the Lie Algebra of Gl(kn). We describe the curve geometry analyzing the linear invariants that we obtain from the fundamental endomorphism and from the ordinary differential systems of equations with order k associated with the curve. We obtain in consequence the solution of the congruence problem for curves in the Grassmannian and some special cases of curves. / Doutorado / Geometria Diferencial / Doutor em Matemática

Orientadores: Francesco Mercuri, Stefano Montaldo / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-04T19:19:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Onnis_IreneIgnazia_D.pdf: 2069054 bytes, checksum: 1e17d831ed9d0ddf66676ec47d7161f4 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Neste trabalho estudamos superfícies em variedades Riemannianas homogêneas tridimensionais com condições sobre a geometria intrínseca e/ou extrínseca. Em particular: 1. Resolvemos o Problema de Bjõrling para superfícies mínimas que contêm uma dada faixa analítica em grupos de Lie munidos de uma métrica invariante à esquerda. 2. Classificamos as superfícies de curvatura média constante no produto do plano hiperbólico com a reta real, que são invariantes pela ação de um subgrupo a umparâmetro do grupo das isometrias do espaço ambiente. 3. Classificamos as superfícies de curvatura Gaussiana constante em variedades Riemannianas homogêneas de dimensão três, com particular atenção ao caso do grupo de Heisenberg e do espaço dado pelo produto do plano hiperbólico com a reta real / Abstract: In this work we study surfaces in homogeneous Riemannian manifolds of dimension three with conditions on the intrinsic and/or the extrinsic geometry. En particular: 1. We solve the Bjõrling Problem for minimal surfaces which contain an analytical strip in Lie groups with a left invariant metric. 2. We classify constant mean curvature surfaces in the product of the hyperbolic plane with the realline, which are invariant under the action of a one-parameter subgroup of the isometries group of the ambient space. 3. We classify constant Gaussian curvature surfaces of homogeneous Riemannian manifolds of dimension three, with particular attention for the case of the Heisenberg group and for the product of the hyperbolic plane and the realline / Doutorado / Geometria Diferencial / Doutor em Matemática

Orientadores: Rui Loja Fernandes, Luiz Antonio Barrera San Martin / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:18:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Struchiner_Ivan_D.pdf: 1576350 bytes, checksum: 7c87189c22a89931d1a38ac563188723 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: O objetivo desta tese é mostrar como utilizar algebróides de Lie e grupóides de Lie para compreender aspectos das teorias de invariantes, simetrias e espaços de moduli de estruturas geométricas de tipo finito. De uma forma geral, podemos descrever tais estruturas como sendo objetos, definidos em uma variedade, que podem ser caracterizados por correferenciais (possivelmente em outra variedade). Exemplos incluem G-estruturas de tipo finito e geometrias de Cartan. Para uma classe de estruturas geométricas de tipo finito cujo espaço de moduli (dos germes) de seus elementos tem dimensão finita, construímos um algebróide de Lie A X, chamado de algebróide de Lie classificante, que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Para cada ponto na base X corresponde um germe de uma estrutura geométrica pertencente à classe. 2. Dois destes germes são isomorfos se e somente se eles correspondem ao mesmo ponto de X. 3. A álgebra de Lie de isotropia de A num ponto x é a álgebra de Lie das simetrias infinitesimais da estrutura geométrica correspondente. 4. Se dois germes de estruturas geométricas pertencem à mesma estrutura geométrica global numa variedade conexa, então eles correspondem a pontos na mesma órbita de A em X. Além do mais, quando o algebróide de Lie classificante é integrável, o seu grupóide de Lie pode ser utilizado para construir modelos explícitos das geometrias na classe sendo descrita. Estes modelos são universais, ou seja, qualquer outra estrutura geométrica da classe é localmente isomorfa a um destes modelos, e globalmente equivalentes, a menos de recobrimento, a um subconjunto aberto de um desses modelos. No caso em que a estrutura geométrica é uma G-estrutura de tipo finito, damos uma descrição detalhada dessa correspondência. Uma das conseqüências da nossa construção é que o algebróide de Lie classificante pode ser usado para obter invariantes das estruturas geométricas correspondentes. Para ilustrar, apresentamos dois exemplos de invariantes que são induzidos pela cohomologia do algebróide de Lie. Para demonstrar os resultados mencionados acima, definimos as noções de forma de Maurer-Cartan em grupóides de Lie e de equação de Maurer-Cartan para um formas diferenciais com valores num algebróide de Lie. A seguir, provamos que a forma de Maurer-Cartan em um grupóide de Lie satisfaz uma propriedade universal análoga à propriedade satisfeita pela forma de Maurer-Cartan em um grupo de Lie. Para concluir esta tese, descrevemos diversos exemplos relacionados as conexões sem torção em G-estruturas. Nossa classe principal de exemplos são as conexões simpléticas especiais para as quais incluímos uma discussão detalhada. / Abstract: The purpose of this thesis is to show how to use Lie algebroids and Lie groupoids to get a better understanding of problems concerning symmetries, invariants and moduli spaces of geometric structures of finite type. In general terms, these structures are objects defined on manifolds which can be characterized by a coframe (on a possibly different manifold). Examples include G-structures of finite type and Cartan geometries. For a given class of such structures whose moduli space (of germs) of elements is finite dimensional, we are able to construct a Lie algebroid A ! X, called the classifying Lie algebroid, which has the following properties: 1. To each point on the base X there corresponds a germ of a geometric structure which belongs to the class. 2. Two such germs are isomorphic if and only if they correspond to the same point in X. 3. The isotropy Lie algebra of A at a point x is the symmetry Lie algebra of the corresponding geometric structure. 4. If two germs of the geometric structure belong to the same connected manifold, then they correspond to points on the same orbit of A in X. Moreover, when the classifying Lie algebroid is integrable, its Lie groupoid can be used to construct explicit models of the geometries in the class being described. These models turn out to be universal in the sense that every other geometric structure in the class is locally isomorphic to one of these models, and globally equivalent up to covering to an open set of one of these models. We describe this throughly when the geometric structure in consideration is a finite type G-structure. One of the consequences of our construction is that the classifying Lie algebroid can be used to obtain invariants of the corresponding geometric structures. We present two examples of invariants that are induced by the cohomology of the Lie algebroid. The method that we use to prove the statements above is to define the notion of a Maurer-Cartan form on a Lie groupoid, as well as a Maurer-Cartan equation for Lie algebroid valued differential one forms. We then prove a universal property for the Maurer-Cartan form of a Lie groupoid. We believe that these results are of independent interest. To conclude this thesis, we give a description of several examples related to torsionfree connections on G-structures. Our main class of examples are the special symplectic connections for which we include a detailed discussion. / Doutorado / Geometria Diferencial / Doutor em Matemática

Orientadores: Francesco Mercuri, Irene Ignazia Onnis / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-08T21:16:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Gneri_PaulaOlga_M.pdf: 2971673 bytes, checksum: 11d75f0bfec160a95d70d4152cccfecb (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: o objetivo deste trabalho é o estudo dos gráficos mínimos no grupo de Heisenberg de dimensão três. Primeiramente fizemos uma descrição deste grupo como grupo de Lie e sua álgebra de Lie. Verificamos que a aplicação exponencial é um difeomorfismo global entre a álgebra de Lie e o grupo de Heisenberg. Seguindo o ciclo natural, passamos a estudar a geometria Riemanniana do grupo de Heisenberg com métrica invariante à esquerda, calculando os campos invariantes à esquerda, as curvaturas, as geodésicas, os campos de Killing e o grupo de isometrias deste espaço. Subseqüentemente, estudamos a aplicação normal de Gauss para gráficos no grupo de Heisenberg, concluindo, entre outras propriedades, a não existência de superfícies totalmente umbílicas neste grupo. Classificamos todas as superfícies mínimas cujo posto da aplicação de Gauss é zero ou um e concluindo que tais superfície são regradas. Finalizando, analisamos alguns exemplos de gráficos mínimos completos cuja aplicação de Gauss tem posto dois. A classificação de gráficos mínimos com aplicação de Gauss de posto dois é ainda um problema em aberto / Abstract: The purpose of this work is study minimal surfaces in tri-dimensional Heisenberg group. Firstly, we made a description of Heisenberg group as Lie group and its Lie algebra. We examined that the exponential application is a global difeomorfism between Lie algebra and Heisenberg group. Thereafter, we investigate Riemann Geometry of left invariant metric Heisenberg group, weconsider left invariant fields, curvatures, geodesics, Killing fields and isometry group of this space. Subsequently, we examined the Gauss normal application to surfaces in Heisenberg group and weconclude a series of peculiarity as, for example, the not existence of umbilic surfaces in this group. We classified all minimal surfaces with rank-zero Gauss application ar rank-one Gauss application and we conclude that these surfaces are ruled. To put an end, we analyzed some examples of complete minimal surfaces with rank-two Gauss application. The classification of minimal surfaces with rank-two Gauss application is a open problem / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T21:55:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_RonaldoSavioliSume_M.pdf: 1240816 bytes, checksum: e8e9b8fff63d6b5f41f1556f2c3e8e57 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho fazemos um estudo de métricas lorentzianas e da teoria de conexões lineares em variedades diferenciáveis, focando em variedades de Weyl com métricas lorentzianas e conexões de Weyl. Também analisamos algumas teorias físicas baseadas nessa geometria, estendendo a essas teorias o modelo de Kuzmin para um disco fino de matéria. A partir desse estudo e do limite newtoniano das teorias, investigamos se esses resultados suprem a necessidade da presença de matéria escura em galáxias espirais para explicar as curvas de rotação observadas / Abstract: In this work we study Lorentzian metrics and the theory of linear connections on smooth manifolds, focusing on Weyl manifolds with lorentzian metrics and Weyl connections. We also analyze some physical theories based on this geometry, extending to these theories the Kuzmin model for a thin disk of matter. From this study and from the newtonian limit of the theories, we examine if these results supply the necessity of the presence of dark matter in spiral galaxies to explain the observed rotation curves / Mestrado / Geometria Diferencial/Gravitação / Mestre em Matemática