L’enjeu de la simulation de la dynamique atmosphérique et océanographique a pris ces dernières années une importance accrue avec la question du réchauffement climatique. Le modèle à simuler est complexe. Il combine les équations de la mécanique des fluides avec celles de la thermodynamique. Au 19ème siècle, le mathématicien Adhémar Barré de Saint-Venant formule un système d’équations aux dérivées partielles décrivant les mouvements d’un fluide soumis à la gravité et de faible épaisseur. Il s’agit des équations Shallow Water. L’objectif de cette thèse est de développer et d’analyser un algorithme de résolution des équations Shallow Water sur une sphère en rotation. Dans un premier temps, j’étudie différents aspects mathématiques des opérateurs aux différences finis utilisés par la suite en géométrie sphérique. Les schémas aux différences obtenus sont utilisés pour résoudre l’équation de transport, l’équation des ondes et l’équation de Burgers. Les propriétés de stabilité précision et conservation sont analysées. Dans un second temps, la grille Cubed-Sphere est introduite et analysée. La structure de ce maillage est analogue à celle d’un cube. L'interprétation de la Cubed-Sphere à l’aide de grands cercles permet de construire des opérateurs sphériques discrets gradient, divergence et vorticité d'ordre au moins égal à 3 (en pratique d'ordre 4). La troisième partie de la thèse est dédiée à différents tests pour le système d’équations Shallow Water ainsi que pour l’équation d’advection. Les résultats démontrent une précision proche de celle obtenue par les algorithmes conservatifs d'ordre 4 les plus récents / The problem to obtain accurate simulations of the atmospheric and oceanic equations has become essential in recent years for a proper understanding of the climate change. The full mathematical model to simulate is rather complex. It consists of the coupling of several equations involving fluid dynamics and thermodynamics. In the 19th century, Adhémar Barré de Saint-Venant first formulated the equations describing the dynamic of a fluid subject to gravity and bottom topography. This system is Shallow Water equations. The goal of this thesis is to develop and analyze a numerical scheme to solve the shallow water equation on a rotating sphere. First, a mathematical analsysis of finite difference operators that will be used on the sphere is presented. These schemes are then used to solve various equations in a spehreical setting, in particular the advection equation, the wave equation and the Burgers equation. Stability, accuracy and conservation properties are studied. In a second part, I consider in detail the Cubed-Sphere grid. This particular spherical grid has the mesh topology of a cube. Another interpretation makes use of great circles, this allows to obtain spherical discret operators gradient, divergence and curl of a preved third order. These operators are numercially of 4th order. Numerial results are show in particular for the SW equations an acurracy similar to the one of conservative schemes of 4th order published recently

Cette thèse est constituée de deux parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie on s'intéresse à la modélisation mathématique du risque de liquidité. L'aspect étudié ici est la contrainte sur les dates des transactions, c'est-à-dire que contrairement aux modèles classiques où les investisseurs peuvent échanger les actifs en continu, on suppose que les transactions sont uniquement possibles à des dates aléatoires discrètes. On utilise alors des techniques de contrôle optimal (programmation dynamique, équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman) pour identifier les fonctions valeur et les stratégies d'investissement optimales sous ces contraintes. Le premier chapitre étudie un problème de maximisation d'utilité en horizon fini, dans un cadre inspiré des marchés de l'énergie. Dans le deuxième chapitre on considère un marché illiquide à changements de régime, et enfin dans le troisième chapitre on étudie un marché où l'agent a la possibilité d'investir à la fois dans un actif liquide et un actif illiquide, ces derniers étant corrélés. Dans la deuxième partie on présente des méthodes probabilistes de quantification pour résoudre numériquement un problème de switching optimal. On considère d'abord une approximation en temps discret du problème et on prouve un taux de convergence. Ensuite on propose deux méthodes numériques de quantification : une approche markovienne où on quantifie la loi normale dans le schéma d'Euler, et dans le cas où la diffusion n'est pas contrôlée, une approche de quantification marginale inspirée de méthodes numériques pour le problème d'arrêt optimal.

Nous considérons dans cette thèse la discrétisation par la méthode spectrale et la simulation numérique de l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible occupant le domaine ? modélisé par les équations de Navier-Stokes. Nous avons choisi de les coupler avec l'équation de la chaleur dans le cas ou la viscosité dépend de la température avec des conditions aux limites portant sur la vitesse et la température.La méthode s'avère optimale en ce sens que l'erreur obtenue n'est limitée que par la régularité de la solution. Elle est de type spectrale. Nous donnons des estimations d'erreur a priori optimales et nous confirmons l'étude théorique par des résultats numériques. Nous considérons aussi les équations de Navier-Stokes/chaleur instationnaires dont nous proposons une discrétisation en temps et en espace en utilisant le schéma d'Euler implicite et les méthodes spectrale. Quelques expériences numériques confirment l'intérêt de la discrétisation. / In this thesis we consider the discretization by spectral method and the numerical simulation of a viscous incompressible fluid in the domain ?, the model being the Navier-Stokes equations. We have chosen to couple them with the heat equation where the viscosity of the fluid depends on the temperature, with boundary conditions which involve the velocity and the temperature. The method is proved to be optimal in the sense that the order of convergence is only limited by the regularity of the solution. The numerical analysis of the discrete problem is performed and numerical experiments are presented, they turn out to be in good coherence with the theoretical results. Finally, we consider the unsteady Navier-Stokes/heat equations which models the time-dependent flow. We propose a discretization of this problem that relies on a backward Euler's scheme in time and spectral methods in space and present some numerical experiments which confirm the interest of the discretization.

L'objectif de cette thèse est de modéliser et de développer des outils numériques adaptés à l'étude de l'écoulement des eaux souterraines ainsi que la propagation des polluants en milieux poreux. La motivation de ce travail est un benchmark du GDR Momas et de l'Andra pour la simulation de la propagations 3-D des radionucléides autour d'un stockage profond de déchets nucléaires. Premièrement on a construit une nouvelle méthode d'éléments finis mixtes sur un maillage formé d'hexaèdres généraux. La convergence de la méthode est prouvée et confirmée par des tests numériques. Deuxièment, nous présentons une méthode de discrétisation en temps pour une équation d'advection telle que des pas de temps différents sont utilisés dans différents sous-domaines afin de prendre en compte les hétérogèneités.<br />Enfin une méthode numérique pour le calcul de transport de contaminants est proposée. Les techniques précédentes sont implémentées en 3-D et des résultats numériques sont présentés sur le benchmark 3-D champ lointain du GDR Momas et de l'Andra.

Ce travail de thèse a pour but d'étudier des écoulements non stationnaires de fluides incompressibles Newtoniens et non isothermes. Le problème est décrit par les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Nous nous intéressons au couplage entre le système de Navier-Stokes et l’équation de la chaleur hyperbolique (le résultat de la combinaison entre la loi de conservation d'énergie et la loi de Cattaneo). Cette dernière est une modification de la loi de Fourier utilisée habituellement, elle permet de surmonter « le paradoxe de la chaleur » et d'obtenir une description plus précise de la propagation de la chaleur. Le système couplé est un problème hyperbolique-parabolique dont la viscosité dépend de la température, alors que la capacité thermique et le terme de dissipation dépendent de la vitesse. Afin d’obtenir un résultat d'existence de solutions du problème couplé, nous démontrons d'abord l'existence et l'unicité de la solution du problème hyperbolique puis nous introduisons une discrétisation en temps et nous étudions la convergence des solutions approchées vers celles du problème original. Dans un deuxième temps nous étudions l'existence et l'unicité de la solution du système de Navier-Stokes muni des conditions aux limites de type Tresca puis de type Coulomb en dimension 2 et 3. Dans le chapitre 3, nous proposons une discrétisation en temps du problème d'écoulement dans le cas de la condition au limite de type Tresca et nous établissons la convergence des solutions approchées. Le dernier chapitre de ce mémoire est consacré à l'étude du problème couplé dans le cas de conditions aux limites de type Tresca. L'existence d'une solution est obtenue par un argument théorique de point fixe en dimension 2 et également par une méthode de discrétisation en temps qui conduit à résoudre sur chaque sous intervalle de temps un problème découplé pour la vitesse et la pression d'une part et la température d'autre part / The main objective of this thesis is to study nonstationary flows of incompressible Newtonian and non isothermal fluids. The problem is described by the laws of conservation of mass, momentum and energy. We consider the coupling between the Navier-Stokes system and the hyperbolic heat equation (the result of combination between the law of conservation of energy and the Cattaneo’s law). This one is a modification of the commonly used Fourier's law, it overcomes "the heat paradox" and gives a more accurate description of heat propagation. The coupled system is an hyperbolic-parabolic problem where the viscosity depends on the temperature but the thermal capacity and the dissipative term depend on the velocity. To obtain an existence result for the coupled system, we first prove the existence and uniqueness of the solution of the hyperbolic problem then we introduce a time discretization and we study the convergence of the approximate solutions to those of the original problem. In the second chapter, we study the existence and uniqueness of the solution of Navier-Stokes system with Tresca or Coulomb boundary conditions in dimension 2 and 3. In the third chapter, we propose a time discretization of the flow problem in the case of Tresca boundary conditions and we establish the convergence of the approximate solutions. The last chapter is devoted to the study of the coupled problem in the case of Tresca free boundary conditions. The existence of a solution is obtained by a theoretical argument (fixed-point theorem) in dimension 2 and also by a method of time discretization leading, on each time subinterval, to a decoupled problem for the velocity and pressure of a hand and the temperature of the other hand