Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales.<br /><br />La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion.<br />Ce chapitre est la version augmentée d'un article à paraître dans la revue Annals of Applied Probability.<br /><br />Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux.<br />Ce chapitre est basé sur un travail en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa.<br /><br />La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, basé sur un travail en collaboration avec Faouzi Chaâbane, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.

Le but de cette thèse est la construction de schémas numériques pour la simulation de phénomènes de propagation d'ondes acoustiques et électromagnétiques basés sur des discrétisations en espace par éléments finis conformes, ces schémas ayant pour vocation à être d'ordre arbitrairement élevé et aussi efficaces que possible. Dans le cadre de l'équation des ondes scalaire nous reprenons le problème de la condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de Lagrange (cf. Cohen-Joly-Tordjmann) pour en décrire un algorithme de construction général. Cet algorithme nous a permis de déterminer un nouvel élément fini avec condensation de masse de type $P_6$. Nous présentons aussi une nouvelle approche permettant une condensation partielle de la matrice de masse. Dans le cadre de la propagation d'ondes électromagnétiques modélisée par les équations de Maxwell, nous présentons une méthode de couplage conforme d'éléments finis d'arête rectangulaires (avec condensation de la matrice de masse) et triangulaires, permettant d'optimiser le profil de la matrice de masse (et donc d'en optimiser l'inversion) pour les simulations dans des domaines à géométrie complexe. Nous présentons aussi une discrétisation en temps d'ordre arbitrairement élevé, basée sur une procédure de type Cauchy-Kowalewski, que l'on a stabilisée. Toutes les discrétisations présentées ont été implémentées, testées de manière exhaustive et leur efficacité a été comparée, dans une série de tests numériques, à celle des discrétisations couramment utilisées pour ce type d'applications telles que les discrétisations en espace par éléments finis de Lagrange standards, et les discrétisations symplectiques ou de Runge-Kutta en temps

Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales.<br /><br />La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion.<br />Ce chapitre est la version augmentée d'un article à paraître dans la revue Annals of Applied Probability.<br /><br />Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux.<br />Ce chapitre est basé sur un travail en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa.<br /><br />La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, basé sur un travail en collaboration avec Faouzi Chaâbane, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.

Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de fluxcompressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre desdétails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régionsd'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant letemps de calcul).Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, maisles grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencilsnumériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures.Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant unschéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cetteapproche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin faciled'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différentstypes de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentantla complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité.L'opérateur de Laplace est un élément essentiel des équations de Navier-Stokes,un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit égalementdans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènesphysiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agitdonc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ontété effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence.Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et devolumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchsde grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant desmaillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul.Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques.Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants:1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis,partitionnement des domaines, approximation de la solution;2) récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façondiscrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focussur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier estune bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille,l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la secondeest l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours;3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entreles maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant lesintercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquéeà la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenantcompte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement;4) la présentation de certains résultats; conclusions, références.Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework deprogrammation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour lescommunications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolutiondu système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue.Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile àapprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pourl'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, sespackages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour desarchitectures spécifiques. / Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels,allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time).There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due totheir simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances.Such performance and simplicity are in general obtained applying afinite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path.In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids,more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on thestencils and getting a greater flexibility.The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very importantdifferential operator, and all the studies carried out on it, prove itsrelevance.In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where amore fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain.These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes.Specifically, the topics covered will be:1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domainpartitioning, solution approximation;2) overview of different types of meshes to represent in a discrete way thegeometry involved in a problem, with a focuson the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is anexternal library used to manage each single grid’s creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API ofthat library written ad hoc for the current project;3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (beingall of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the finalmatrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks;4) presentation of some results; conclusions, references.It is important to underline that everything is done under Python as programmingframework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution partsof the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects.The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.

Cette thèse porte sur la modélisation et la discrétisation d’écoulements Darcy dans les milieux poreux fracturés. Nous suivons l’approche des modèles, dits à dimensions hybrides, qui représentent les réseaux de fractures comme des surfaces de codimension 1 immergées dans la matrice. Les modèles considérés prennent en compte les interactions entre matrice et fractures et permettent de traiter des fractures agissant comme conduites ou comme barrières, ce que nécessite de prendre en compte les sauts de pression aux interfaces matrice-fracture. Dans le cas des écoulements diphasiques, nous proposons des modèles, qui prennent en compte les sauts de saturations aux interfaces matrice-fracture, dû à la capillarité. L’analyse numérique est menée dans le cadre général de la méthode de discrétisations gradients, qui est étendue aux modèles considérés. Deux familles de schémas numériques, le schéma Vertex Approximate Gradient et le schéma Volumes Finis Hybrides sont adaptées aux modèles à dimensions hybrides. On prouve via des résultats de densité que ce sont des schémas gradients, pour lesquels la convergence est établie. En diphasique, l’existence d’une solution est obtenue en passant. Plusieurs cas tests sont présentés. En monophasique, on observe la convergence sur des différents types de mailles pour une famille de solutions dans un milieux fracturé hétérogène et anisotrope. En diphasique, nous présentons une série de cas tests afin de comparer les modèles à dimensions hybrides au modèle de référence, dans lequel les fractures ont la même dimension que la matrice. A part quantifier le gain en performance de calcul, ces tests montrent la qualité des différents modèles réduits. / This thesis investigates the modelling of Darcy flow through fractured porous media and its discretization on general polyhedral meshes. We follow the approach of hybrid dimensional models, invoking a complex network of planar fractures. The models account for matrix-fracture interactions and fractures acting either as drains or as barriers, i.e. we have to deal with pressure discontinuities at matrix-fracture interfaces. In the case of two phase flow, we present two models, which permit to treat gravity dominated flow as well as discontinuous capillary pressure at the material interfaces. The numerical analysis is performed in the general framework of the Gradient Discretisation Method, which is extended to the models under consideration. Two families of schemes namely the Vertex Approximate Gradient scheme (VAG) and the Hybrid Finite Volume scheme (HFV) are detailed and shown to fit in the gradient scheme framework, which yields, in particular, convergence. For single phase flow, we obtain convergence of order 1 via density results. For two phase flow, the existence of a solution is obtained as a byproduct of the convergence analysis. Several test cases are presented. For single phase flow, we study the convergence on different types of meshes for a family of solutions. For two phase flow, we compare the hybrid-dimensional models to the reference equidimensional model, in which fractures have the same dimension as the matrix. This does not only provide quantitative evidence about computational gain, but also leads to deep insight about the quality of the proposed reduced models.