La tomographie des temps de première arrivée cherche à estimer un modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée pointés sur les sismogrammes. Le modèle de vitesse obtenu peut alors permettre une interprétation structurale du milieu ou bien servir de modèle initial pour d'autres traitements de l'imagerie sismique. Les domaines d'application de cette méthode s'étendent, à des échelles différentes, de la géotechnique à la sismologie en passant par la géophysique pétrolière. Le savoir-faire du géophysicien joue un rôle important dans la difficile résolution du problème tomographique non-linéaire et mal posé. De nombreuses recherches ont entrepris de faciliter et d'améliorer cette résolution par des approches mathématique ou physique. Dans le cadre de ce travail, nous souhaitons développer une approche pragmatique, c'est-à-dire que nous considérons que le problème tomographique doit être résolu par un algorithme interactif dont les paramètres de réglage sont clairement définis. L'aspect interactif de l'algorithme facilite l'acquisition du savoir-faire tomographique car il permet de réaliser, dans un temps raisonnable, de nombreuses simulations pour des paramétrisations différentes. Le but poursuivi dans cette thèse est de définir, pour le cas spécifique de la tomographie des temps de première arrivée, un algorithme qui réponde au mieux à ces critères. Les algorithmes de tomographie des temps de première arrivée classiquement mis en oeuvre aujourd'hui ne répondent pas à nos critères d'une approche pragmatique. En effet, leur implémentation ne permet pas d'exploiter l'architecture parallèle des supercalculateurs actuels pour réduire les temps de calcul. De plus, leur mise en oeuvre nécessite une paramétrisation rendue complexe du fait de la résolution du système linéaire tomographique. Toutes ces limitations pratiques sont liées à la formulation même de l'algorithme à partir de la méthode de Gauss- Newton. Cette thèse repose sur l'idée de formuler la résolution du problème tomographique à partir de la méthode de plus grande descente pour s'affranchir de ces limitations. L'étape clé de cette formulation réside dans le calcul du gradient de la fonction coût par rapport aux paramètres du modèle. Nous utilisons la méthode de l'état adjoint et une méthode définie à partir d'un tracé de rais a posteriori pour calculer ce gradient. Ces deux méthodes se distinguent par leur formulation, respectivement non-linéaire et linéarisée, et par leur mise en oeuvre pratique. Nous définissons ensuite clairement la paramétrisation du nouvel algorithme de tomographie et validons sur un supercalculateur ses propriétés pratiques : une parallélisation directe et efficace, une occupation mémoire indépendante du nombre de données observées et une mise en œuvre simple. Finalement, nous présentons des résultats de tomographie pour des acquisitions de type sismique réfraction, 2-D et 3-D, synthétiques et réelles, marines et terrestres, qui valident le bon comportement de l'algorithme, en termes de résultats obtenus et de stabilité. La réalisation d'un grand nombre de simulations a été rendue possible par la rapidité d'exécution de l'algorithme, de l'ordre de quelques minutes en 2-D.

La tomographie des temps de première arrivée cherche à estimer un modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée pointés sur les sismogrammes. Le modèle de vitesse obtenu peut alors permettre une interprétation structurale du milieu ou bien servir de modèle initial pour d'autres traitements de l'imagerie sismique. Les domaines d'application de cette méthode s'étendent, à des échelles différentes, de la géotechnique à la sismologie en passant par la géophysique pétrolière. Le savoir-faire du géophysicien joue un rôle important dans la difficile résolution du problème tomographique non-linéaire et mal posé. De nombreuses recherches ont entrepris de faciliter et d'améliorer cette résolution par des approches mathématique ou physique. Dans le cadre de ce travail, nous souhaitons développer une approche pragmatique, c'est-à-dire que nous considérons que le problème tomographique doit être résolu par un algorithme interactif dont les paramètres de réglage sont clairement définis. L'aspect interactif de l'algorithme facilite l'acquisition du savoir-faire tomographique car il permet de réaliser, dans un temps raisonnable, de nombreuses simulations pour des paramétrisations différentes. Le but poursuivi dans cette thèse est de définir, pour le cas spécifique de la tomographie des temps de première arrivée, un algorithme qui réponde au mieux à ces critères. Les algorithmes de tomographie des temps de première arrivée classiquement mis en oeuvre aujourd'hui ne répondent pas à nos critères d'une approche pragmatique. En effet, leur implémentation ne permet pas d'exploiter l'architecture parallèle des supercalculateurs actuels pour réduire les temps de calcul. De plus, leur mise en oeuvre nécessite une paramétrisation rendue complexe du fait de la résolution du système linéaire tomographique. Toutes ces limitations pratiques sont liées à la formulation même de l'algorithme à partir de la méthode de Gauss-Newton. Cette thèse repose sur l'idée de formuler la résolution du problème tomographique à partir de la méthode de plus grande descente pour s'affranchir de ces limitations. L'étape clé de cette formulation réside dans le calcul du gradient de la fonction coût par rapport aux paramètres du modèle. Nous utilisons la méthode de l'état adjoint et une méthode définie à partir d'un tracé de rais a posteriori pour calculer ce gradient. Ces deux méthodes se distinguent par leur formulation, respectivement non-linéaire et linéarisée, et par leur mise en oeuvre pratique. Nous définissons ensuite clairement la paramétrisation du nouvel algorithme de tomographie et validons sur un supercalculateur ses propriétés pratiques : une parallélisation directe et efficace, une occupation mémoire indépendante du nombre de données observées et une mise en oeuvre simple. Finalement, nous présentons des résultats de tomographie pour des acquisitions de type sismique réfraction, 2-D et 3-D, synthétiques et réelles, marines et terrestres, qui valident le bon comportement de l'algorithme, en termes de résultats obtenus et de stabilité. La réalisation d'un grand nombre de simulations a été rendue possible par la rapidité d'exécution de l'algorithme, de l'ordre de quelques minutes en 2-D.

Depuis les années 80 la cartographie optique est devenu un outil important pour l'étude et la compréhension des arythmies cardiaques. Cette expérience permet la visualisation de flux de fluorescence à la surface du tissu ; fluorescence qui est directement liée au potentiel transmembranaire. Dans les observations en surface se cachent des informations sur la distribution en trois dimensions de ce potentiel. Nous souhaitons exploiter ces informations surfaciques afin de reconstruire le front de dépolarisation dans l'épaisseur. Pour cela nous avons développé une méthode basée sur la résolution d'un problème inverse. Le modèle direct est composée de deux équations de diffusion et d'une paramétrisation du front de dépolarisation. La résolution du problème inverse permet l'identification des caractéristiques du front. La méthode a été testée sur des données in silico avec différentes manières de caractériser le front (sphère qui croît au cours du temps, équation eikonale). Les résultats obtenus sont très satisfaisants et comparés à une méthode développée par Khait et al. [1]. Le passage à l'étude sur données expérimentales a mis en évidence un problème au niveau du modèle. Nous détaillons ici les pistes explorées pour améliorer le modèle : illumination constante, paramètres optiques, précision de l'approximation de diffusion. Plusieurs problèmes inverses sont considérés dans ce manuscrit, ce qui implique plusieurs fonctionnelles à minimiser et plusieurs gradients associés. Pour chaque cas, le calcul du gradient est explicité, le plus souvent par la méthode de l'adjoint. La méthode développée a aussi été appliquée à des données autres que la cartographie optique cardiaque. / Since the 80's optical mapping has become an important tool for the study and the understanding of cardiac arythmias. This experiment allows the visualization of fluorescence fluxes through tissue surface. The fluorescence is directly related to the transmembrane potential. Information about its three-dimension distribution is hidden in the data on the surfaces. Our aim is to exploit this surface measurements to reconstruct the depolarization front in the thickness. For that purpose we developed a method based on the resolution of an inverse problem. The forward problem is made of two diffusion equations and the parametrization of the wavefront. The inverse problem resolution enables the identification of the front characteristics. The method has been tested on in silico data with different ways to parameter the front (expanding sphere, eikonal equation). The obtained results are very satisfying, and compared to a method derived by Khait et al. [1]. Moving to experimental data put in light an incoherence in the model. We detail the possible causes we explored to improve the model : constant illumination, optical parameters, accuracy of the diffusion approximation. Several inverse problems are considered in this manuscript, that involves several cost functions and associated gradients. For each case, the calculation of the gradient is explicit, often with the gradient method. The presented method was also applied on data other than cardiac optical mapping.

Cette thèse s'intéresse aux traitements d'images et de données non uniformes en utilisant le formalisme des équations aux différences partielles définies sur des graphes pondérés. Nous exploitons ce formalisme afin de transcrire et d'adapter des modèles définis dans le domaine continu vers des formulations discrètes. Les modèles continus considérés dans ce manuscrit proviennent du domaine du traitement des images et sont définis comme des modèles variationnels ou des approches basées sur des équations aux dérivées partielles. Nous nous sommes intéressés à des modèles de régularisation, à la morphologie mathématique et à l'équation eikonale. Afin de transcrire ces modèles définis dans le domaine continu vers des formulations discrètes, nous avons introduit une large famille de nouveaux opérateurs différentiels discrets définis sur des graphes pondérés: différences pondérées, gradients discrets, p-Laplacien. Ces opérateurs permettent de redéfinir les modèles continus considérés dans un cadre discret mais également de proposer un formalisme général permettant de considérer de nombreux problèmes liées aux traitements des images et, plus généralement, de données arbitraires. A partir des modèles discrets de régularisation, de morphologie mathématique et de l'équation eikonale, nous montrons dans ce manuscrit les potentialités de notre formalisme pour des applications telles que le filtrage, la simplification, la segmentation, le regroupement et la classification d'images et de données. Notre formalisme unifie également les traitements locaux et non locaux basés sur des patchs. Nous avons généralisé l'utilisation de ce type de configuration dans les problématiques considérées et montré la supériorité de ces schémas dans le contexte du traitement des images. Notre formalisme est basé sur des graphes pondérés. Cela nous permet d'étendre les modèles définis dans le domaine continu aux traitements de n'importe quel type de donnée pouvant être représenté par cette structure (par exemple des images, des collections d'images, des nuages de points, des variétés, des bases de données, etc.). Finalement, ces travaux de thèse permettent d'envisager de nombreuses pistes de recherche tant dans le domaine du traitement des images que dans des domaines tels que celui de l'apprentissage ou de la fouille de données.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.<br /><br />Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.<br /><br />Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.<br /><br />Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.