Sejam M uma variedade de Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 < 0 e ∂ M sua fronteira assintótica. Dizemos que M satisfaz a condição de convexidade estrita se, dados x ∈ ∂∞M e W ⊂ ∂∞M aberto relativo contendo x, existe um aberto Ω ⊂ M de classe C2 tais que x ∈ Int (∂ Ω) ⊂ W e M \ Ω ´e convexo. Provamos que a condição de convexidade estrita implica que M éregular no infinito com relação ao operador Q[u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u definido no espa¸co de Sobolev W 1,p(M ), onde a ∈ C1([0, +∞)) satisfaz a(0) = 0, at(s) > 0 para todo s > 0, a(s) ≤ C (sp−1 + 1), ∀s ≥ 0, onde C > 0 é uma constante, e a(s) ≥ sq para algum q > 0 e para s ≈ 0 e supomos que é possível resolver problemas de Dirichlet em bolas (compactas) de M com dados contínuos no bordo. Segue disto que sob a condição de convexidade estrita, os problemas de Dirichlet para equação de hipersuperfície mínima e para o p-laplaciano, p > 1, são solúveis para qualquer dado contínuo prescrito no bordo assintótico. Também provamos que se M é rotacionalmente simétrica ou se inf BR+1 KM ≥ −e 2kR /R2+2 , R ≥ R∗, para certos R∗ e E > 0, então M satisfaz a condição de convexidade estrita. / Let M be Hadamard manifold with sectional curvature KM ≤ −k2, k > 0 and ∂∞M its asymptotic boundary. We say that M satisfies the strict convexity condition if, given x ∈ ∂∞M and a relatively open subset W ⊂ 2 ∂∞M containing x, there exists a C open subset Ω ⊂ M such that x ∈ Int (∂∞Ω) ⊂ W and M \ Ω is convex. We prove that the strict convexity condition implies that M is regular at infinity relative to the operator Q [u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u , defined on the Sobolev space W 1,p(M ), where a ∈ C 1 ([0, ∞)) satisfies a(0) = 0, at(s) > 0 for all s > 0, a(s) ≤ C (s p−1 + 1), ∀s ≥ 0, where C > 0 is a constant, and a(s) ≥ sq , for some q > 0 and for s ≈ 0 and we suppose that it is possible to solve Dirichlet problems on (compact) balls of M with continuous boundary data. It follows that under the strict convexity condition, the Dirichlet problems for the minimal hypersurface and the p-Laplacian, p > 1, equations are solvable for any prescribed continuous asymptotic boundary data. We also prove that if M is rotationally symmetric or if inf BR+1 KM ≥ −e2kR/R2+2 , R ≥ R∗, for some R∗ and E > 0, then M satisfies the SC condition.

Sejam M uma variedade de Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 < 0 e ∂ M sua fronteira assintótica. Dizemos que M satisfaz a condição de convexidade estrita se, dados x ∈ ∂∞M e W ⊂ ∂∞M aberto relativo contendo x, existe um aberto Ω ⊂ M de classe C2 tais que x ∈ Int (∂ Ω) ⊂ W e M \ Ω ´e convexo. Provamos que a condição de convexidade estrita implica que M éregular no infinito com relação ao operador Q[u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u definido no espa¸co de Sobolev W 1,p(M ), onde a ∈ C1([0, +∞)) satisfaz a(0) = 0, at(s) > 0 para todo s > 0, a(s) ≤ C (sp−1 + 1), ∀s ≥ 0, onde C > 0 é uma constante, e a(s) ≥ sq para algum q > 0 e para s ≈ 0 e supomos que é possível resolver problemas de Dirichlet em bolas (compactas) de M com dados contínuos no bordo. Segue disto que sob a condição de convexidade estrita, os problemas de Dirichlet para equação de hipersuperfície mínima e para o p-laplaciano, p > 1, são solúveis para qualquer dado contínuo prescrito no bordo assintótico. Também provamos que se M é rotacionalmente simétrica ou se inf BR+1 KM ≥ −e 2kR /R2+2 , R ≥ R∗, para certos R∗ e E > 0, então M satisfaz a condição de convexidade estrita. / Let M be Hadamard manifold with sectional curvature KM ≤ −k2, k > 0 and ∂∞M its asymptotic boundary. We say that M satisfies the strict convexity condition if, given x ∈ ∂∞M and a relatively open subset W ⊂ 2 ∂∞M containing x, there exists a C open subset Ω ⊂ M such that x ∈ Int (∂∞Ω) ⊂ W and M \ Ω is convex. We prove that the strict convexity condition implies that M is regular at infinity relative to the operator Q [u] := div a(|∇u|) \ |∇u| ∇u , defined on the Sobolev space W 1,p(M ), where a ∈ C 1 ([0, ∞)) satisfies a(0) = 0, at(s) > 0 for all s > 0, a(s) ≤ C (s p−1 + 1), ∀s ≥ 0, where C > 0 is a constant, and a(s) ≥ sq , for some q > 0 and for s ≈ 0 and we suppose that it is possible to solve Dirichlet problems on (compact) balls of M with continuous boundary data. It follows that under the strict convexity condition, the Dirichlet problems for the minimal hypersurface and the p-Laplacian, p > 1, equations are solvable for any prescribed continuous asymptotic boundary data. We also prove that if M is rotationally symmetric or if inf BR+1 KM ≥ −e2kR/R2+2 , R ≥ R∗, for some R∗ and E > 0, then M satisfies the SC condition.

Orientador: Jose Luiz Boldrini / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T18:45:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Fortunato_Meire_M.pdf: 2133008 bytes, checksum: 765913ccca70e83fff69f576fc664d3d (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Nesta dissertação detalhamos a análise matemática feita no artigo de X. Chen, A. Friedman, A free boundary problem for an elliptic-hyperbolic system: an application to tumor growth, SIAM J. Math. Anal. 35, 2003, pp. 974-986, o qual considera um problema de fronteira livre para um sistema de equações diferenciais parciais de caráter elíptico-hiperbólico relacionado com o chamado problema de Hele-Shaw. O problema modela o crescimento de um tumor e leva em conta as seguintes possibilidades de estado para suas células: proliferantes, quiescentes ou necróticas; leva-se também em conta a concentração de nutrientes disponível. Estas equações valem em um domínio que varia com o tempo de uma forma em que a velocidade da fronteira depende das outras variáveis do problema. Como resultado da análise tem-se a existência local no tempo e a unicidade de soluções clássicas do sistema / Abstract: In this dissertation we detail the analysis done in the article by X. Chen, A. Friedman, A free boundary problem for an elliptic-hyperbolic system,: an application to tumor growth, SIAM J. Math. Anal. 35, 2003, which considers a free boundary value problem for an elliptic-hyperbolic system of partial differential equations related to the Hele-Shaw problem. The present problem models the growth of a tumor and takes in consideration the following possibilities for the state of a tumor cell: proliferating, quiescent or necrotic; the model also takes in consideration the available nutrient concentration. The equations hold in a time varying domain in such way that the boundary velocity depends on the other variables of the problem. As a result of the analysis, we obtain the local in time existence, as well as uniqueness, of classical solutions for the system / Mestrado / Analise Aplicada / Mestre em Matemática

Orientador: Sônia Maria Gomes, Philippe Remy Bernard Devloo, Igor Mozolevski / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T03:23:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Goncalves_JoaoLuis_D.pdf: 15054031 bytes, checksum: 23ef9ef75ca5a7ae7455135fc552a678 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Neste trabalho, estudamos indicadores a posteriori para o erro na aproximação de funcionais das soluções das equações biharmônica e de Poisson obtidas pelo método de Galerkin descontínuo. A metodologia usada na obtenção dos indicadores é baseada no problema dual associado ao funcional, que é conhecida por gerar os indicadores mais eficazes. Os dois principais indicadores de erro com base no problema dual já obtidos, apresentados para problemas de segunda ordem, são estendidos neste trabalho para problemas de quarta ordem. Também propomos um terceiro indicador para problemas de segunda e quarta ordem. Estudamos as características dos diferentes indicadores na localização dos elementos com as maiores contribuições do erro, na caracterização da regularidade das soluções, bem como suas consequências na eficiência dos indicadores. Estabelecemos uma estratégia hp-adaptativa específica para os indicadores de erro em funcionais. Os experimentos numéricos realizados mostram que a estratégia hp-adaptativa funciona adequadamente e que o uso de espaços de aproximação hp-adaptados resulta ser eficiente para a redução do erro em funcionais com menor úmero de graus de liberdade. Além disso, nos exemplos estudados, a qualidade dos resultados varia entre os indicadores, dependendo do tipo de singularidade e da equação tratada, mostrando a importância de dispormos de uma maior diversidade de indicadores / Abstract: In this work we study goal-oriented a posteriori error indicators for approximations by the discontinuous Galerkin method for the biharmonic and Poisson equations. The methodology used for the indicators is based on the dual problem associated with the functional, which is known to generate the most effective indicators. The two main error indicators based on the dual problem, obtained for second order problems, are extended to fourth order problems. We also propose a third indicator for second and fourth order problems. The characteristics of the different indicators are studied for the localization of the elements with the greatest contributions of the error, and for the characterization of the regularity of the solutions, as well as their consequences on indicators efficiency. We propose an hp-adaptive strategy specific for goal-oriented error indicators. The performed numerical experiments show that the hp-adaptive strategy works properly, and that the use of hp-adapted approximation spaces turns out to be efficient to reduce the error with a lower number of degrees of freedom. Moreover, in the examples studied, a comparison of the quality of results for the different indicators shows that it may depend on the type of singularity and of the equation treated, showing the importance of having a wider range of indicators / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Orientadores: Francisco Odair Vieira de Paiva, Augusto César Ponce / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T10:14:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Presoto_AdilsonEduardo_D.pdf: 2067267 bytes, checksum: 79c3ffe06a88b7cba190920dcf512036 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: No trabalho precursor de Brezis, Marcus e Ponce [15], estudou-se problemas semilineares elípticos com uma não linearidade não decrescente, contínua e dependendo apenas da variável dependente e com medidas como dados. Os autores estavam particularmente interessados no caso em que a equação não possuía solução. Numa das técnicas estudadas, eles aproximaram a medida por funções suaves através da convolução e, sob a condição adicional de convexidade da não linearidade, mostraram que as soluções correspondentes convergiam para a solução do mesmo problema com a maior medida menor do que ou igual a medida inicial tal que o problema tinha solução. O nosso objetivo é explorar profundamente este método. Ao invés de lidar com a convolução, consideramos sequências de medidas de Radon que convergem na topologia fraca-estrela e tais que o problema tem solução para cada termo. A pergunta que se põe é: as soluções convergem? Se sim, temos que o limite satisfaz a mesma equação com uma medida, em geral, distinta do limite-fraco, logo desejamos também determinar esta medida. Quando temos uma não linearidade, como descrita no parágrafo acima, as respostas têm um alto grau de variação, conforme os exemplos dados nos trabalhos de Ponce, e são inconclusivas. A proposta da tese é estudar a convergência dessas soluções para equações e sistemas semilineares elípticos com a não linearidade sendo do tipo exponencial. No caso em que temos a equação semilinear no plano, as soluções convergem para a solução do mesmo problema com uma medida que depende apenas do limite-fraco da sequência. Também, vemos que em dimensões superiores essas asserções não se verificam mais. Por fim, o sistema que aplicamos a técnica acima é o Sistema de Chern-Simons, surgido na física teórica e que representa o modelo de Chern-Simons Abeliano relativístico envolvendo duas partículas Higgs e dois campos calibrados / Abstract: In the pioneering work of Brezis, Marcus and Ponce [15], the authors studied elliptic semilinear problems with a continuous nondecreasing nonlinearity which vanishes at origin and depends only on dependent variable, and with measures as inicial data. They were particularly interested in the case which the equation does not have a solution. One of the techniques discussed was the approach of the measure by smooth functions via convolution. Under the additional condition of convexity, they showed that the corresponding solutions converge to the solution for the same problem with the largest measure less than inicial datum such that the problem admits a solution. Our aim is to explore deeply this method. Instead of dealing with the convolution, we consider sequences of Radon measures which converge in weak-star topology and such that the problem has solution for each term. The question posted is: the solutions converge? If yes, the limit solves the same problem with, in general distinct from the weak limit, another measure, thus, we also wish to determine this measure. The purpose of the thesis is to study the convergence of solutions for equations and systems with exponential nonlinearity. If we have the equation semilinear on the plane, the solutions converge to a solution for the same problem with a measure which depends only on weak limit of the sequence. We also see that in upper dimensions the results are no longer assured. In the end, the system concerned is the Chern-Simons System that comes from theoretical physics and it represents a relativistic Abelian Chern- Simons model with two Higgs particles and two gauge fields / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Olivâine Santana de Queiroz / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T15:36:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Almeida_FernandaPereiradaSilva_M.pdf: 1905299 bytes, checksum: 26428236d161990046f1d1f982482fe1 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Na dissertação foi estudado um problema elíptico em um domínio limitado com bordo Lipschitz. Parte da fronteira deste domínio está em movimento e oscila rapidamente na variável que representa o espaço, caracterizando-se assim como um problema de fronteira livre com multi escala. Este problema tem aplicações, por exemplo, na construção de filmes semicondutores, levando-se em consideração que a superfície do filme se altera pela deposição de vapor químico. O estudo de tal modelo nos remete a questões de existência e unicidade para um sistema elíptico com condições de bordo do tipo misto acoplado à uma equação hiperbólica através de uma condição de fronteira livre. Além disso, um resultado de aproximação por homogeneização é demonstrado. De fato, provamos uma estimativa na norma H1 para o erro que se comete ao aproximar a fronteira livre real por uma fronteira livre homogeneizada / Abstract: In this dissertation we study an elliptic problem in a bounded Lipschitz domain. Part of the boundary is moving and oscillates rapidly in the variable representing the space. Thus, we have a multi-scale free boundary problem. This problem has applications, for instance, in the construction of semiconductor films taking into account that the surface of the film is changing by chemical vapor deposition. The study of such a model leads us to questions of existence and uniqueness for a system involving an elliptic equation with mixed boundary conditions coupled to a hyperbolic equation by means of a free boundary condition. Furthermore, a result on approximation by homogenization is shown. In fact, an estimate in terms of the H1-norm of the error committed by to approximate the real free boundary problem by the homogenized one is proved / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientador: Lucas Catão de Freitas Ferreira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T06:33:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mesquita_ClaudiaAlineAzevedodosSantos_D.pdf: 1141685 bytes, checksum: a65a24d1917c5f998314d01970bb86e3 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Nesta tese, estudamos dois tipos de EDPs com potenciais singulares críticos, a saber, uma equação elíptica com operador poliharmônico e a equação do calor linear. Para a primeira, pesquisamos existência e propriedades qualitativas das soluções no espaço $\mathcal{H}_{k,\vec{\alpha}}$ que é uma soma de espaços $L^{\infty}$ com peso, o qual parece ser um espaço mínimo para o tipo de potencial singular considerado. Investigamos um conceito de simetria para soluções que estende o de simetria radial e satisfaz uma ideia de invariância em torno das singularidades. Para a segunda, uma estratégia baseada na transformada de Fourier é empregada para obter resultados de boa-colocação global e comportamento assintótico de soluções, sem hipóteses de pequenez e sem utilizar a desigualdade de Hardy. Em particular, obtemos boa-colocação de soluções para o caso do potencial monopolar $V(x)=\frac{\lambda}{\left\vert x\right\vert ^{2}}$ com $\left\vert \lambda\right\vert <\lambda_{\ast}=\frac{(n-2)^{2}}{4}$. Este valor limiar é o mesmo obtido em resultados de boa-colocação global em $L^2$ que utilizam desigualdades de Hardy e estimativas de energia. Desde que não existe uma relação de inclusão entre $L^{2}$ e $PM^{k}$, nossos resultados indicam que $\lambda_{\ast}$ é intrínseco da EDP e independe de uma particular abordagem. Palavras-chave: Equações elípticas, equação do calor, potencial singular, existência, simetria, autossimilaridade, comportamento assintótico / Abstract: In this thesis, we study two types of PDEs with critical singular potentials, namely, an elliptic equation with polyharmonic operator and the linear heat equation. For the first, we obtain existence and qualitative properties of solutions in $\mathcal{H}_{k,\vec{\alpha}}$-spaces which are a sum of weighted $L^{\infty}$-spaces, and seem to be a minimal framework for the potential profile of interest. We investigate a concept of symmetry for solutions which extends radial symmetry and carries out an idea of invariance around singularities. For the second, a strategy based on the Fourier transform is employed to obtain results of global well-posedness and asymptotic behavior of solutions, without smallness hypotheses and without using Hardy inequality. In particular, well-posedness of solutions is obtained for the case of the monopolar potential $V(x)=\frac{\lambda}{\left\vert x\right\vert ^{2}}$ with $\left\vert \lambda\right\vert <\lambda_{\ast}=\frac{(n-2)^{2}}{4}$. This threshold value is the same one obtained for the global well-posedness of $L^{2}$-solutions by means of Hardy inequalities and energy estimates. Since there is no inclusion relation between $L^{2}$ and $PM^{k}$, our results indicate that $\lambda_{\ast}$ is intrinsic of the PDE and independent of a particular approach. Keywords: Elliptic equation, heat equation, singular potential, existence, symmetry, self-similarity, asymptotic behavior / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

[pt] O objetivo principal desta dissertação é estudar a desigualdade de Harnack e as estimativas de Holder, para um operador elíptico de segunda ordem, na forma não divergente e na forma divergente, respectivamente, sendo os coeficientes funções mensuráveis e limitadas em um domínio ômega contido em Rn. / [en] The main objective of this dissertation is to study Harnack s inequality and Holder s estimates for a second-order elliptic operator, written in the non-divergent form and in the divergent form, respectively, where the coefficient functions are measurable and bounded functions in a domain omega contained in Rn.

[pt] Esta dissertação versa sobre a teoria das soluções de viscosidadepara equações diferenciais parciais elípticas completamente não-lineares com ingredientes mensuráveis. Nosso principal objetivo é demonstrar o Princípio do Máximo de Aleksandrov-Bakelman-Pucci neste contexto. / [en] This dissertation deals with the theory of viscosity solutions for fully nonlinear elliptic partial differential equations with measurable ingredients. Our main objective is to demonstrate the Aleksandrov-Bakelman-Pucci Maximum Principle in this context.

[pt] Como motivação, apresentaremos alguns problemas que ilustram a conexão entre a teoria da probabilidade e algumas equações diferenciais parciais. Suas soluções mesclam os dois assuntos e provocam a suspeita de que alguns processos estocásticos e operadores diferenciais caminham juntos. Em seguida, exibiremos a teoria das difusões de Itô. Mostraremos algumas de suas características, como a propriedade de Markov e cada um destes processos possuirá o que chamaremos de gerador infinitesimal da difusão. Este será um operador diferencial de segunda ordem cujo estudo detalhado revela características do processo. Apresentaremos também a fórmula de Dynkin. Com essas ferramentas probabilísticas, encontraremos uma representação estocástica para a solução do problema de Dirichlet para operadores diferenciais elípticos, generalizando as soluções dos problemas inicialmente propostos. / [en] Firstly, for motivation purposes, we briefly present a few problems mixing notions of probability theory and of partial differential equations (PDE). In discussing the solution to such problems it will become apparent that some stochastic process and differential equations walk together. Next, we introduce a class of stochastic processes called the Ito diffusions, and some of its features such as the Markov property. Each such process has an associated linear operator the, so called, infinitesimal generator. This operator acts as a second-order differential operator on smooth functions, and controls the LOCAL behavior of these diffusions. We discuss these features together with Dynkin s formula a convenient relation derived from the infinitesimal generator, which informs us about the AVERAGE behavior of the diffusion. Finally, we apply these probabilistic tools to find a formula for the solution of the Dirichlet problem for a somewhat general linear elliptic second order PDE. This formula connects the solution of the PDE to the aggregated/average behavior and associated (Ito) diffusion. This type of stochastic representation generalizes the solution method of the problems firstly discussed.