Cette thèse traite de la résolution théorique et constructive de problèmes inverses pour des équations de diffusion isotropes dans des domaines plan simplement et doublement connexes. A partir de données de Cauchy (potentiel, flux) disponibles sur une partie de la frontière du domaine, il s'agit de retrouver ces quantités sur la partie du bord où l'on ne dispose pas d'information, ainsi qu'à l'intérieur du domaine. L'approche mise au point consiste à considérer les solutions de l'équation de diffusion comme les parties réelles des solutions complexes d'une équation de Beltrami conjuguée. Ces fonctions analytiques généralisées d'un type particulier permettent de définir des classes de Hardy, dans lesquelles le problème inverse est régularisé en étant reformulé comme un problème de meilleure approximation sous contrainte (ou encore problème extrémal borné, d'adéquation aux données). Le caractère bien posé de celui-ci est assuré par des résultats d'existence et de régularité auxquels s'ajoutent des propriétés de densité à la frontière. Une application au calcul de la frontière libre d'un plasma sous confinement magnétique dans le tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Cadarache) est proposée. La résolution du problème extrémal à partir d'une base de fonctions adaptées (harmoniques toroïdales) fournit un critère permettant de qualifier les estimations de la frontière plasma. Un algorithme de descente permet de le faire décroître, en améliorant l'estimation de la frontière. Cette méthode, qui ne requiert pas d'intégration de l'équation dans le domaine, fournit de très bons résultats et semble appelée à connaître des extensions pour d'autres tokamaks tels que JET et ITER.

Ce document synthétise un ensemble de travaux portant sur le développement et l'analyse de méthodes de volumes finis utilisées pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la physique. Le mémoire aborde dans sa première partie des schémas colocalisés de type Godunov d'une part pour les équations de l'électromagnétisme, et d'autre part pour l'équation des ondes acoustiques, avec une étude portant sur la perte de précision de ce schéma à bas nombre de Mach. La deuxième partie est consacrée à la construction d'opérateurs différentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier très déformés ou encore non-conformes, et à leur utilisation pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diffusion, d'électrostatique et de magnétostatique et d'électromagnétisme par des schémas de type volumes finis en dualité discrète (DDFV) sur maillages décalés. La troisième partie aborde ensuite l'analyse numérique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associées à la discrétisation par le schéma DDFV de l'équation de Laplace. La quatrième et dernière partie est consacrée à la question de l'ordre de convergence en norme $L^2$ de la solution numérique du problème de Laplace, issue d'une discrétisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages présentant des propriétés d'orthogonalité. L'étude met en évidence des conditions nécessaires et suffisantes relatives à la géométrie des maillages et à la régularité des données du problème afin d'obtenir la convergence à l'ordre deux de la méthode.

Les galaxies à coquilles sont des galaxies qui paraissent normales à tous égards, mais qui sont entourées par de faibles ''rides'' de lumière en forme d'arcs: les coquilles. Ce n'est qu'au début des années 1980 que l'importance du phénomène est apparue, avec la publication par Malin et Carter d'une liste de 140 galaxies à coquilles, elliptiques et lenticulaires pour la plupart. Les premières observations ont montré que ces coquilles étaient de nature stellaire. Deux types de modèles ont été proposés: d'après certains, les coquilles se seraient formées à partir du gaz intra-galactique comprimé par une onde de choc provoquée par un sursaut d'activité du noyau de la galaxie (origine interne); d'après d'autres, ce seraient des ondes de densité d'étoiles provenant d'une galaxie-compagnon qui aurait été absorbée par la galaxie-hôte (formation par fusion). Pour trouver la réponse à ce problème astrophysique nouveau, l'auteur a entrepris un vaste programme d'observation de toutes les galaxies du catalogue de Malin et Carter en collaboration avec des chercheurs australiens et britanniques, en spectroscopie et imagerie CCD. Ce travail de thèse qui comporte une partie observationnelle, une étude des propriétés statistiques de ces objets, et une étude approfondie de quelques galaxies typiques, a conduit à un grand nombre de résultats nouveaux parmi lesquels on peut noter: 1. Une étude détaillée d'un échantillon d'une vingtaine d'objets a montré que la morphologie des coquilles (distribution radiale, ellipticités, angles caractéristiques), et leur photométrie (étude des profils, luminosité intégrée, et indices de couleurs) sont en accord avec les prédictions des modèles de formation par fusion. 2. Les observations spectroscopiques de 100 galaxies à coquilles ont mis en évidence une formation stellaire massive et récente pour 20% des objets, ce qui était complètement inattendu pour des galaxies elliptiques et lenticulaires. Les spectres de certains objets sont du même type que ceux des galaxies actives ''E+A'' qui ont été découvertes dans les amas lointains et qui sont associées à l'effet "Butcher-Oemler". Nos observations suggèrent donc que l'accrétion d'un compagnon est un processus efficace pour réactiver la formation stellaire dans les galaxies elliptiques et que les interactions entre galaxies peuvent expliquer le taux anormalement élevé de galaxies actives dans les amas lointains. 3. La photométrie des coquilles (délicate, car ces structures sont très faibles) a montré qu'elles peuvent être plus rouges, mais qu'elles sont généralement plus bleues que le reste de la galaxie, ce qui est compatible avec l'absorption d'un compagnon de population stellaire plus jeune. Des gradients de couleur importants existent parfois même le long d'une même coquille. Ce dernier résultat qui semblait à priori difficile à comprendre, s'est éclairé par quelques unes de nos simulations de collisions, en suivant les orbites des étoiles des différentes composantes du compagnon (bulbe-disque). 4. Une étude approfondie de NGC~3923, le système le plus riche (avec plus de 20 coquilles), a permis d'établir que pour cet objet, les coquilles sont vraisemblablement le résultat d'une collision radiale avec un compagnon elliptique de masse environ 1/10 de celle de la galaxie. Après avoir perdu la plus grande partie de ses étoiles lors du premier passage dans les régions centrales, le compagnon s'est ensuite progressivement dépouillé des étoiles restantes, tout en subissant un freinage par friction dynamique, ce qui l'a entrainé dans les régions les plus internes de la galaxie. 5. Une corrélation est apparue entre la morphologie des systèmes de coquilles et l'ellipticité apparente de la galaxie-hôte. Les systèmes alignés ne sont visibles qu'autour de galaxies allongées, et les systèmes ''en pétales'' qu'autour de galaxies d'apparence circulaire. Cette corrélation traduit l'influence du potentiel total de la galaxie (y compris celui de l'éventuel halo de matière noire), sur la géométrie des coquilles. 6. A partir du taux d'observation de galaxies à coquilles, et de la durée de vie des systèmes, il est possible d'en déduire une estimation de la fréquence des collisions entre galaxies, et une limite supérieure à la masse de matière invisible contenue à l'intérieur des systèmes de coquilles. Avec un taux de 10%, et une durée de vie de l'ordre de 2 à 3 milliards d'années, les galaxies elliptiques auraient ainsi fusionné en moyenne avec un ou deux compagnons. La limite supérieure de la masse de la matière invisible contenue à l'intérieur des systèmes serait ainsi de l'ordre de 50 fois la masse de la composante visible. En conclusion, cette étude permet d'établir à peu près définitivement que le modèle de formation par fusion est le seul à rendre compte des propriétés observationnelles des coquilles. De part leur comportement de particules-test, les étoiles des coquilles offrent une occasion unique de sonder le potentiel total des galaxies, y compris celui des halos massifs invisibles. L'importance des interactions gravitationnelles pour la formation et l'évolution des galaxies semble désormais bien établie, et les galaxies à coquilles, résultats de collisions entre galaxies, permettent donc d'étudier une phase cruciale dans l'évolution des galaxies.

Les travaux de la thèse portent sur la résolution des équations de Stokes, d'abord avec des conditions au bord portant sur la composante normale du champ de vitesse et la composante tangentielle du tourbillon, ensuite avec des conditions au bord portant sur la pression et la composante tangentielle du champ de vitesse. Dans chaque cas nous démontrons l'existence, l'unicité et la régularité de la solution. Nous traitons aussi le cas de solutions très faibles, par dualité. Le cadre fonctionnel que nous avons choisi est celui des espaces de Banach du type H(div) et H(rot) ou l'intersection des deux, basés sur l'espace Lp , avec 1 < p < ∞. En particulier, on se place dans des domaines non simplement connexes, avec des frontières non connexes. Nous nous intéressons en premier lieu à l'obtention d'inégalités de Sobolev pour des champs de vecteurs u ∈ Lp (Ω). Dans un second temps, nous établissons des résultats d'existence pour les potentiels vecteurs avec diverses conditions aux limites. Ceci nous permet d'abord d'effectuer des décompositions de type Helmholtz et ensuite de démontrer des conditions Inf − Sup lorsque la forme bilinéaire est un produit de rotationnels. Ces conditions aux limites font que l'équation de la pression est indépendante des autres variables. C'est la raison pour laquelle nous sommes naturellement conduit à étudier les problèmes elliptiques qui se traduisent par les systèmes de Stokes sans la pression. La résolution de ces problèmes se fait au moyen des Conditions Inf − Sup qui jouent un rôle clef pour établir l'existence et l'unicité de solutions. Nous donnons une applications aux systèmes de Navier-Stokes, où on obtient l'existence d'une solution en effectuant un point fi xe autour du problème d'Oseen. Enfi n, deux méthodes numériques sont proposées pour approcher le problème de Stokes. Nous analysons d'abord une méthode de Nitsche et puis une méthode de Galerkin discontinu. Quelques résultats numériques de convergence sont décrits qui sont parfaitement cohérents avec l'analyse.

La gravitation est le principal moteur de formation et d'évolution des amas de galaxies. Cependant, de nombreux processus non-gravitationnels sont à l'oeuvre au sein de la composante baryonique des amas et affectent leurs propriétés globales. L'objet de cette thèse est l'étude statistique de deux de ces processus et de leur impact sur la formation et l'évolution des amas de galaxies. Nous nous sommes intéressés à l'effet de la présence de poussière dans le milieu intra-amas, ainsi qu'à l'origine de l'émission radio observée dans la direction des amas. Un refroidissement du gaz intra-amas dû à la poussière a tout d'abord été implémenté dans des simulations numériques de formation des structures. Nous avons ensuite quantifié l'impact de la poussière sur les propriétés d'échelle et structurelles des amas de galaxies générés dans ces simulations. Notre analyse a montré que la normalisation des relations d'échelle et la distribution de matière au centre des amas sont significativement modifiées par l'inclusion de poussière. Cette dernière peut donc affecter l'évolution des propriétés du milieu intra-amas. Nous avons aussi montré que le refroidissement est intimement lié aux propriétés physiques de la poussière, c'est-à-dire à son abondance et à la distribution en taille de ses grains. L'émission radio des amas de galaxies est quant à elle due aux sources ponctuelles (noyaux actifs de galaxies, galaxies à flambée d'étoile) et aux sources étendues et diffuses (halos, reliques). À partir du relevé radio NVSS et du méta-catalogue MCXC, nous avons statistiquement étudié les relations d'échelle entre les propriétés des galaxies actives en radio (fraction, luminosité radio, masse du trou noir supermassif des noyaux actifs) et celles des halos qui les hébergent (masse totale, luminosité X). Nous avons montré que les propriétés de ces deux populations sont corrélées. Finalement, en s'appuyant sur la caractérisation de l'émission des sources ponctuelles et sur les données NVSS, nous avons recherché la signature statistique d'une émission radio étendue et diffuse dans les amas. Cependant, cette investigation a rapidement été entravée par la contamination due aux sources radio ponctuelles non-résolues. Notre étude nous a également renvoyés à la question de la fraction d'amas hébergeant des sources radio étendues et diffuses, et donc à leur lien avec l'état dynamique des amas.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension $2m$, $\omega $ étant la forme de Kähler, $\Omega $ une forme volume donnée dans $[\omega ]^m$ et $k$ un entier $1

Les protocoles de cryptographie asymétrique nécessitent des calculs arithmétiques dans différentes structures mathématiques. Un grand nombre de ces protocoles requièrent en particulier des calculs dans des structures finies, rendant indispensable une arithmétique modulaire efficace. Ces opérations modulaires sont composées d'opérations multiprécision entre opérandes de tailles suffisamment grandes pour garantir le niveau de sécurité requis (de plusieurs centaines à plusieurs milliers de bits). Enfin, certains protocoles nécessitent des opérations arithmétiques dans le groupe des points d'une courbe elliptique, opérations elles-mêmes composées d'opérations dans le corps de définition de la courbe. Les tailles de clés utilisées par les protocoles rendent ainsi les opérations arithmétiques coûteuses en temps de calcul. Par ailleurs, les architectures grand public actuelles embarquent plusieurs unités de calcul, réparties sur les processeurs et éventuellement sur les cartes graphiques. Ces ressources sont aujourd'hui facilement exploitables grâce à des interfaces de programmation parallèle comme OpenMP ou CUDA. Cette thèse s'articule autour de la définition d'opérateurs arithmétiques parallèles permettant de tirer parti de l'ensemble des ressources de calcul, en particulier sur des architectures multicœur à mémoire partagée. La parallélisation au niveau arithmétique le plus bas permet des gains modérés en termes temps de calcul, car les tailles des opérandes ne sont pas suffisamment importantes pour que l'intensité arithmétique des calculs masque les latences dues au parallélisme. Nous proposons donc des algorithmes permettant une parallélisation aux niveaux arithmétiques supérieurs : algorithmes parallèles pour la multiplication modulaire et pour la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques. Pour la multiplication modulaire, nous étudions en particulier plusieurs ordonnancements des calculs au niveau de l'arithmétique modulaire et proposons également une parallélisation à deux niveaux : modulaire et multiprécision. Ce parallélisme à plus gros grain permet en pratique des gains plus conséquents en temps de calcul. Nous proposons également une parallélisation sur processeur graphique d'opérations modulaires et d'opérations dans le groupe des points d'une courbe elliptique. Enfin, nous présentons une méthode pour optimiser la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques pour de petits scalaires.

Nous nous intéressons à l'utilisation d'approximations de rang faible pour réduire le coût des solveurs creux directs multifrontaux. Parmi les différents formats matriciels qui ont été proposés pour exploiter la propriété de rang faible dans les solveurs multifrontaux, nous nous concentrons sur le format Block Low-Rank (BLR) dont la simplicité et la flexibilité permettent de l'utiliser facilement dans un solveur multifrontal algébrique et généraliste. Nous présentons différentes variantes de la factorisation BLR, selon comment les mises à jour de rang faible sont effectuées, et comment le pivotage numérique est géré. D'abord, nous étudions la complexité théorique du format BLR qui, contrairement à d'autres formats comme les formats hiérarchiques, était inconnue jusqu'à présent. Nous prouvons que la complexité théorique de la factorisation multifrontale BLR est asymptotiquement inférieure à celle du solveur de rang plein. Nous montrons ensuite comment les variantes BLR peuvent encore réduire cette complexité. Nous étayons nos bornes de complexité par une étude expérimentale. Après avoir montré que les solveurs multifrontaux BLR peuvent atteindre une faible complexité, nous nous intéressons au problème de la convertir en gains de performance réels sur les architectures modernes. Nous présentons d'abord une factorisation BLR multithreadée, et analysons sa performance dans des environnements multicœurs à mémoire partagée. Nous montrons que les variantes BLR sont cruciales pour exploiter efficacement les machines multicœurs en améliorant l'intensité arithmétique et la scalabilité de la factorisation. Nous considérons ensuite à la factorisation BLR sur des architectures à mémoire distribuée. Les algorithmes présentés dans cette thèse ont été implémentés dans le solveur MUMPS. Nous illustrons l'utilisation de notre approche dans trois applications industrielles provenant des géosciences et de la mécanique des structures. Nous comparons également notre solveur avec STRUMPACK, basé sur des approximations Hierarchically Semi-Separable. Nous concluons cette thèse en rapportant un résultat sur un problème de très grande taille (130 millions d'inconnues) qui illustre les futurs défis posés par le passage à l'échelle des solveurs multifrontaux BLR. / We investigate the use of low-rank approximations to reduce the cost of sparse direct multifrontal solvers. Among the different matrix representations that have been proposed to exploit the low-rank property within multifrontal solvers, we focus on the Block Low-Rank (BLR) format whose simplicity and flexibility make it easy to use in a general purpose, algebraic multifrontal solver. We present different variants of the BLR factorization, depending on how the low-rank updates are performed and on the constraints to handle numerical pivoting. We first investigate the theoretical complexity of the BLR format which, unlike other formats such as hierarchical ones, was previously unknown. We prove that the theoretical complexity of the BLR multifrontal factorization is asymptotically lower than that of the full-rank solver. We then show how the BLR variants can further reduce that complexity. We provide an experimental study with numerical results to support our complexity bounds. After proving that BLR multifrontal solvers can achieve a low complexity, we turn to the problem of translating that low complexity in actual performance gains on modern architectures. We first present a multithreaded BLR factorization, and analyze its performance in shared-memory multicore environments on a large set of real-life problems. We put forward several algorithmic properties of the BLR variants necessary to efficiently exploit multicore systems by improving the arithmetic intensity and the scalability of the BLR factorization. We then move on to the distributed-memory BLR factorization, for which additional challenges are identified and addressed. The algorithms presented throughout this thesis have been implemented within the MUMPS solver. We illustrate the use of our approach in three industrial applications coming from geosciences and structural mechanics. We also compare our solver with the STRUMPACK package, based on Hierarchically Semi-Separable approximations. We conclude this thesis by reporting results on a very large problem (130 millions of unknowns) which illustrates future challenges posed by BLR multifrontal solvers at scale.

Cette thèse porte sur l'étude des points entiers et rationnels de certaines courbes et variétés modulaires. Après une brève introduction décrivant les motivations et le cadre de ce genre d'études ainsi que les résultats principaux de la thèse, le manuscrit se divise en trois parties. Le premier chapitre s'intéresse aux Q-courbes, et aux morphismes Gal(Q/Q) -> PGL2(Fp) qu'on peut leur associer pour tout p premier. Nous montrons que sous de bonnes hypothèses, pour p assez grand par rapport au discriminant du corps de définition de la Q-courbe, ce morphisme est surjectif, ce qui résout un cas particulier du problème d'uniformité de Serre (toujours ouvert en général). Les outils principaux du chapitre sont la méthode de Mazur (basée ici sur des résultats d'Ellenberg), la méthode de Runge et des théorèmes d'isogénie, suivant la structure de preuve de Bilu et Parent. Le second chapitre consiste en des estimations analytiques de sommes pondérées de valeurs de fonctions L de formes modulaires, dans l'esprit de techniques développées par Duke et Ellenberg. La motivation de départ d'un tel résultat est l'application de la méthode de Mazur dans le premier chapitre. Le troisième chapitre est consacré à la recherche de généralisations de la méthode de Runge pour des variétés de dimension supérieure. Nous y redémontrons un résultat de Levin inspiré de cette méthode, avant d'en prouver une forme assouplie dite "de Runge tubulaire", plus largement applicable. Dans l'optique de recherche de points entiers de variétés modulaires, nous en donnons enfin un exemple d'utilisation à la réduction d'une surface abélienne en produit de courbes elliptiques. / This thesis concerns the study of integral and rational points on some modular curves and varieties. After a brief introduction which describes the motivation and the setting of this topic as well as the main results of this thesis, the manuscript follows a threefold development. The first chapter focuses on Q-curves, and on the morphisms Gal(Q/Q) -> PGL2(Fp) that we can build with a Q-curve for every prime p. We prove that, under good hypotheses, for p large enough with respect to the discriminant of the definition field of the Q-curve, such a morphism is surjective, which solves a particular case of Serre's uniformity problem (still open in general). The main tools of the chapter are Mazur's method (based here on results of Ellenberg), Runge's method, and isogeny theorems, following the strategy of Bilu and Parent. The second chapter covers analytic estimates of weighted sums of L-function values of modular forms, in the fashion of techniques designed by Duke and Ellenberg. The initial goal of such a result is the application of Mazur's method in the first chapter. The third chapter is devoted to the search for generalisations of Runge's method for higherdimensional varieties. Here we prove anew a result of Levin inspired by this method, before proving an enhanced version called "tubular Runge", more generally applicable. In the perspective of studying integral points of modular varieties, we finally give an example of application of this theorem to the reduction of an abelian surface in a product of elliptic curves.

Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev. / In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.