We calculate tree-level scattering amplitudes in φ^3 theory and Yang-Mills theory by means of the perturbiner expansion. This involves solving the Euler-Lagrange equations of motion perturbatively via a multi-particle ansatz, and using Berends-Giele recursion relations to extract the solution from simple on-shell data. The results are Berends-Giele currents which are then used to calculate the scattering amplitudes. The theoretical calculations are implemented into a Mathematica script which effectively handles recursive calculations and allows us to calculate amplitudes for an arbitrary number of particles.

Feynman path integrals introduced heuristically in the 1940s are a powerful tool used in many areas of physics, but also an intriguing mathematical challenge. In this work we used techniques of infinite dimensional integration (i.e. the infinite dimensional oscillatory integrals) in two different, but strictly connected, directions. On the one hand we construct a functional integral representation for solutions of a general high-order heat-type equations exploiting a recent generalization of infinite dimensional Fresnel integrals; in this framework we prove a a Girsanov-type formula, which is related, in the case of Schrödinger equation, to the Feynman path integral representation for the solution in presence of a magnetic field; eventually a new phase space path integral solution for higher-order heat-type equations is also presented. On the other hand for the three dimensional Schrödinger equation with magnetic field we provide a rigorous mathematical Feynman path integral formula still in the context of infinite dimensional oscillatory integrals; moreover, the requirement of independence of the integral on the approximation procedure forces the introduction of a counterterm, which has to be added to the classical action functional (this is done by the example of a linear vector potential). Thanks to that, it is possible to give a natural explanation for the appearance of the Stratonovich integral in the path integral formula for both the Schrödinger and the heat equation with magnetic field.

Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zéro-coupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U. Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.

Les calculs de précision dans les théories de jauge jouent un rôle très important pour l'étude de la physique du Modèle Standard et au-delà dans les super-collisionneurs de particules comme le LHC, TeVatron et ILC. Par conséquent, il est extrêmement important de fournir des outils du calcul d'amplitudes à une boucle stables, rapides, efficaces et hautement automatisés. Cette thèse a pour but de développer la bibliothèque d'intégrales Golem95. Cette bibliothèque est un programme écrit en Fortran95, qui contient tous les ingrédients nécessaires pour calculer une intégrale scalaire ou tensorielle à une boucle avec jusqu'à six pattes externes. Golem95 utilise une méthode traditionnelle de réduction (réduction à la Golem) qui réduit les facteurs de forme en des intégrales de base redondantes qui peuvent être scalaires (sans paramètres de Feynman au numérateur) ou tensorielles (avec des paramètres de Feynman au numérateur); ce formalisme permet d'éviter les problèmes de l'instabilité numérique engendrés par des singularités factices dues à l'annulation des déterminants de Gram. En plus, cette bibliothèque peut être interfacée avec des programmes du calcul automatique basés sur les méthodes d'unitarité comme GoSam par exemple. Les versions antérieures de Golem95 ont été conçues pour le calcul des amplitudes sans masses internes. Le but de ce travail de thèse est de généraliser cette bibliothèque pour les configurations les plus générales (les masses complexes sont incluses), et de fournir un calcul numériquement stable dans les régions problématique en donnant une représentation intégrale unidimensionnelle stable pour chaque intégrale de base de Golem95.

Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit theoretischen Aspekten der Wellenleiterelektrodynamik (WQED), also mit der Wechselwirkung von Materie und Licht, welches nur in einer Dimension propagieren kann. Dieses Forschungsfeld erfreut sich seit seiner Entstehung in den 1990er Jahren wachsender Beliebtheit, der Grund hierfür sind die mannigfaltigen Anwendungsmöglichkeiten, beispielsweise bei der Konstruktion von Quantencomputern als auch von klassischen Computern. Auch Vorschläge für sogenannte Pump-Probe-Experimente auf der Basis der WQED sind Gegenstand der aktuellen Forschung.\\ All diese Gebiete sind darauf angewiesen, die zugrunde liegenden Prinzipien zu verstehen, diese Arbeit soll einen Beitrag dazu leisten. Hierzu haben wir einen Formalismus entwickelt, der auf Feynman-Diagrammen fußt. Das erste physikalische Modellsystem, welches hiermit untersucht wurde, besteht aus einem 1D-Wellenleiter und einem daran gekoppelten Zwei-Nievau-Atom (ZNA). Dies erlaubte uns, bekannte Rechnungen physikalisch transparenter und mathematisch kompakter zu reproduzieren und auf beliebige Disperisonsrelationen zu erweitern. Wir nachweisen, dass die Näherung einer linearen Dispersion in vielen Fällen unzureichend ist, um bestimmte interessante Effekte (beispielsweise gebundene Atom-Photon-Zustände) zu verstehen. Im zweiten Teil der Arbeit wurde das System um ein zweites ZNA erweitert, was zum Auftreten von Fluktuationskräften führt. Diese wurden anhand des Beispiels der Förster Energie untersucht, welche den strahlungsfreien Anteil des Energietransfers beschreibt. Es wurde nachgewiesen, dass dies für unser Modellsystem im Rahmen der RWA der einzig relevante Anteil ist und ausserdem nur für beschränkte Dispersionsrelationen existiert. Wir konnten zeigen, dass sowohl die Stärke als auch die Form der zugehörigen Potentiale stark vom Anfangszustand des Systems abhängt. Dies eröffnet interessante Perspektiven für die Erzeugung maßgeschneiderter Kraftprofile zwischen beiden Atomen. / This PhD Thesis deals with the theoretical aspects of the so called waveguide quantum electrodynamics (WQED). This part of physics deals with the interaction of matter and light which is confined to just one spatial dimension. This area of science experiences growing importance since its formation in the 1990s. The main reason for this are the diverse application possibilities such as the construction of quantum computers as well as classical computers on an optical basis. Furthermore pump-probe experiments using WQED are a promising direction of current research. All this topics are relying on a exact understanding of the underlying physical processes and this thesis shall make a contribution to this. For this purpose we developed a formalism, which relies on Feynman diagrams. The first model system which was investigated in this context consists of a 1D optical waveguide coupled to a two level system (TLS). We where able to reproduce many known results in a physically more transparent and mathematically more compact fashion. Furthermore we generalized this results to arbitrary dispersion relation and showed that the approximation of a linear dispersion is insufficient to describe many physical effects, like atom-photon bound states for example.\\ In the second part of this work we generalized the model system by adding an additional TLS, which supports the occurrence of fluctuation forces. Those where investigated in great detail at the example of the Förster energy, which describes the radiationless part of energy fluctuations. It was shown that this is the only relevant contribution as long as the RWA is valid and only occurs for bounded dispersion relations. We proved that the strength as well as the shape of the corresponding potential strongly depends on the initial state of the system, which opens interesting perspectives for the creation of tailored force profiles between both atoms. All calculations where done analytically as well as numerically.

Die Berechnung von Tensorintegralen ist eines der komplizierteren Probleme bei der Berechnung von Einschleifen-Feynmandiagrammen. In dieser Arbeit wird die Computerprogrammbibliothek PJFry entwickelt, mit der Tensorintegrale mit bis zu fünf äusseren Beinen und unter Zugrundelegung beliebiger Kinematik numerisch ausgewertet werden können. Im Programm PJFry sind Algorithmen implementiert, mit denen bei der Reduktion von Pentagon-Tensoren inverse Potenzen der Gramdeterminanten vermieden werden können. Gramdeterminanten der Boxdiagramme werden unter Verwendung von Rekursionsrelationen mit variabler Raum-Zeit-Dimension in einem Satz neuer Basisintegrale isoliert. Die neuen Basisintegrale werden ebenfalls durch Rekursionsrelationen mit variabler Raum-Zeit-Dimension oder durch Entwicklung in kleinen Gramdeterminanten ausgewertet. Die Konvergenz letzterer wird durch Padé-Extrapolation erheblich beschleunigt. Ein Cache-System erlaubt die mehrfache Verwendung von numerischen Bausteinen und erhöht zusätzlich die Effizienz des Programmpakets. Ausser ausführlichen Tests von Struktur und Genauigkeit der Algorithmen wird eine nichtriviale Beispielanwendung ausgearbeitet und mit dem Programm NGluon verglichen: die Berechnung von fünf-Gluon-Helizitätsamplituden. Schließlich werden die virtuellen Einschleifenkorrekturen zur Myonpaarproduktion mit Emission energiereicher ("harter") Photonen berechnet. Die Methode wird erläutert, wie auch Renormierung und Behandlung der Polstruktur in dimensionaler Regularisierung. Numerische Vorhersagen für differentielle Wirkungsquerschnitte werden berechnet, unter Zugrundelegung der kinematischen Situationen, wie sie bei den Detektoren KLOE (DAFNE, Frascati) und BaBar (SLAC) typisch sind. / In this thesis we discuss the problem of evaluation of tensor integrals appearing in a typical one-loop Feynman diagram calculation. We present a computer library for the numerical evaluation of tensor integrals with up to 5 legs and arbitrary kinematics. The code implements algorithms based on the formalism which avoids the appearance of inverse Gram determinants in the reduction of pentagon diagrams. The Gram determinants of box integrals are isolated in the set of new basis integrals by using dimensional recurrence relations. These integrals are then evaluated by dimensional recurrence or expansion in small Gram determinant, which is improved by Padé extrapolation. A cache system allows reuse of identical building blocks and increases the efficiency. After describing the cross checks and accuracy tests, we show a sample application to the evaluation of five gluon helicity amplitudes, which is compared with the output of the program NGluon. In the last part the program is applied to the calculation of the one-loop virtual corrections to the muon pair production with hard photon emission. The computation method is explained, followed by a discussion of renormalization and pole structure. Finally, we present numerical results for differential cross sections with kinematics of the KLOE and BaBar detectors.

Le filtrage non-linéaire des mesures ponctuelles d'un fluide turbulent était un sujet vierge, nous donnons ici des modélisations stochastiques et des filtres pertinents. Nous avons défini et étudié le processus d'acquisition d'un champ vectoriel le long d'un chemin aléatoire. Nous avons proposé des algorithmes de filtrage non-linéaire pour les processus à champ moyen et démontré la convergence des approximations particulaires. Nous avons remanié les modèles Lagrangiens du fluide proposés par les physiciens en fermant ces équations par un conditionnement en les couplant à l'observation et au processus d'acquisition. Nos algorithmes permettent alors de filtrer les mesures de vitesses d'un fluide turbulent simulées ou réelles en écoulement 1D à 3D.

La détection directe des ondes gravitationnelles par de grands détecteurs interférométriques<br />fait l'objet d'un effort international très intense. Au delà des signaux recherchés par ces détecteurs, l'existence<br />de fonds d'ondes gravitationnelles s'étalant sur une large plage de fréquences est prédite par les modèles<br />astrophysiques et cosmologiques décrivant l'Univers. Ces fonds d'ondes gravitationnelles sont un élément important<br />de notre environnement gravitationnel. Dans cette thèse, on étudie leur effet sur les propriétés de cohérence des<br />systèmes physiques. Cette interaction est à l'origine d'une décohérence que l'on étudie théoriquement à l'aide de<br />la fonctionnelle d'influence de Feynman-Vernon. L'effet est petit pour des systèmes microscopiques comme des atomes<br />ou des photons circulant dans des interféromètres, mais il devient dominant pour les systèmes macroscopiques comme<br />par exemple le mouvement du centre de masse de la Lune. Au vu de ces résultats, il est important de se demander si<br />cette décohérence gravitationnelle pourrait être mise en évidence expérimentalement à l'aide par exemple d'un<br />système mésoscopique dont on pourrait suivre la perte de cohérence. Cette question correspond à un modèle<br />complètement calculable de transition classique-quantique induite par les fluctuations intrinsèques de<br />l'espace-temps.

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus<br />/X/ à coefficients discontinus. Un premier schéma pour le cas<br />unidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiques<br />avec Temps Local. En effet en dimension un les processus /X/ sont<br />solutions de telles équations. On construit une grille sur la droite<br />réelle, qu'une bijection adéquate transforme en une grille uniforme<br />de pas /h/. Cette bijection permet de transformer /X/ en /Y/ qui se<br />comporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel on<br />connaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et le<br />temps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marche<br />aléatoire peut alors être construite, qui converge vers /X/ en racine<br />de /h/. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxième<br />schéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur la<br />droite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à<br />/h/. On montre qu'on peut relier les probabilités de transition de<br />/X/ sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par /X/ sur<br />chacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d'EDP<br />elliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace est<br />ainsi construite, qui permet d'approcher /X/ à nouveau en racine de<br />/h/. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernière<br />approche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève.<br />Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés.