La théorie présentée ici est issue d'années d'enseignement de l'analyse au niveau pré-universitaire en utilisant d'abord le concept d'infiniment petit, tel que défini dans l'analyse nonstandard de Robinson, puis ensuite d'ultrapetit, tel que défini dans notre travail en collaboration avec Hrbacek et Lessmann et présenté en annexe. A la suite de ces recherches, s'est posée la question : Si l'on a à disposition des quantités finies mais ultragrandes, est-il possible de se passer de quantités dites infinies ? La théorie alternative des ensembles de Vopěnka est une théorie avec des ensembles finis et des classes qui, elles, peuvent être infinies. La théorie des objets est le résultat d'un mélange de certains axiomes de Vopěnka avec des axiomes déterminant des niveaux de visibilité tels que dans l'analyse relative. On s'est donné comme premier principe : $x\subseteq y\Rightarrow x\sqsubseteq y$ qui spécifie que si l'objet $x$ est inclus dans l'objet $y$, alors $x$ "paraît" au niveau de $y$. Cette affirmation serait fausse avec des quantités infinies ; elle est néanmoins une caractérisation des ensembles finis : cela est bien connu en analyse nonstandard. L'introduction de ce principe comme point de départ est donc une affirmation forte que les objets devront être finis au sens habituel de ce terme. L'autre axiome fondateur ici est le schéma d'axiomes d'induction de Gordon et Andreev : Si $\Phi$ est une formule, et si $\Phi(\emptyset)$ est vrai et que $\Phi(x)$ et $\Phi(y)$ impliquent $\Phi(x\cup\{y\})$, alors $\Phi(x)$ est vrai pour tout $x$. Un accent particulier est mis sur le concept de formules dites contextuelles. Ce concept est une de nos contributions à l'analyse relative de Hrbacek et détermine les formules bien formées. On montre que le système qui en résulte est relativement cohérent avec la théorie FRIST de Hrbacek et la théorie RIST de Péraire qui sont elles-mêmes des extensions conservatives de ZFC. La théorie des objets est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel sans axiome du choix et négation de l'axiome de l'infini. Les nombres entiers et rationnels sont définis et ces derniers sont munis de relations d'ultraproximité. Une ébauche d'une construction de "grains numériques" est présentée : ces nombres pourraient avoir des propriétés suffisamment semblables aux nombres réels pour permettre de faire de l'analyse. / The theory presented here stemmed from years of teaching analysis at pre-university level first using the concept of infinitesimal as defined in nonstandard analysis by Robinson, then the concept of ultrasmall as defined in our joint work with Hrbacek and Lessmann presented in the appendix. This research led to the question : If one has finite yet ultralarge quantities, is it possible to avoid infinite quantities ? The alternative set theory of Vopěnka is a theory of finite sets including classes that can be infinite. The theory of objects is a merger of certain axioms of Vopěnka with axioms that determine levels of visibility as in relative analysis. We took as first principle : $x\subseteq y\Rightarrow x\sqsubseteq y$, which specifies that if object $x$ is included in object $y$, then $x$ "appears" at the level of $y$. This statement would be false with infinite quantities and is in fact a characterisation of finite sets : this is a well-known theorem of nonstandard analysis. The introduction of this principle as starting point is making a strong point that all objects will be finite - in the usual sense of the word. The other founding axiom is Gordon and Andreev's axiom schema : If $\Phi$ is a formula, and if $\Phi(\emptyset)$ is true and that $\Phi(x)$ and $\Phi(y)$ imply $\Phi(x\cup\{y\})$, then $\Phi(x)$ is true for all $x$. An emphasis is made on the concept of contextual formulae. This concept is one of our contributions to relative analysis of Hrbacek and determines an equivalence to well-formed formulae. We show that the resulting system is relatively consistent with Hrbacek's FRIST and Péraire's RIST which are conservative extensions of ZFC. The theory of objects extends set theory of Zermelo and Fraenkel without choice and with negation of the infinity axiom. Integers and rationals are defined and endowed with an ultraproximity relation. A draft of a construction of "numeric grains" is presented : these numbers could prove to have properties sufficiently similar to real numbers to allow to perform analysis.

Afin de comprendre les mécanismes d’usure et de frottement des composites carbone/carbone (C/C) utilisés en freinage aéronautique, un modèle numérique est utilisé pour dissocier les effets mécaniques des effets physico-chimiques et thermiques. Le modèle repose sur l’utilisation d’une approche par éléments finis et de techniques d’homogénéisation appliquées à un volume élémentaire représentatif (VER) du matériau à l’échelle mésoscopique frottant sur une surface rigide ou déformable. A cette échelle, le matériau est décrit par une matrice en carbone et des paquets de fibres de carbone appelés torons, perpendiculaires à la surface frottante. Pour assurer la représentativité de la structure du matériau, plusieurs modèles hétérogènes sont étudiés. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec le modèle homogène équivalent qui découle de l’homogénéisation. L’influence des conditions de contact (la rigidité), ainsi que l’influence de la distribution des torons proches de la surface frottante sur les régimes de vibrations des différents modèles sont mises en évidence. L’extension du modèle numérique à un contact entre deux composites a mis en évidence une forte augmentation des contraintes maximales localisées principales dans les torons présents à la surface frottante. Ces fortes localisations de contraintes peuvent avoir pour conséquence l’endommagement des torons ce qui induit la dégradation de la surface frottante jusqu’aux détachements de particules. / To understand the mechanisms of wear and friction of carbon 1 carbon composites (C/C} used in aeronautical braking, a numerical model is used to separate the mechanical effects of the physico-chemical and thermal effects. The model is based on the use of an approach by finite elements (FE} and techniques of homogenization applied to a representative elementary volume (RVE} of the material in the mesoscopic scale rubbing on a rigid or deformable surface. In this scale, the material is described by a matrix in carbon and packages of carbon fiber called strands, perpendicular on the contact surface. To insure the representativeness of the structure of the material, several heterogeneous models are studied. The results are compared with those obtained with the equivalent homogeneous model which ensues from the homogenization. The influence of the conditions of contact (the rigidity), as well as the influence of the distribution of strands at the contact surface on the regimes of vibrations of the various models are revealing. The extension of the numerical model in a contact between two composites underline a strong increase of maximal constraints mainly localized in the strands present on the contact surface. These strong localizations of constraints can have for consequence the damage of strands what leads the degradation of the contact surface until the detachments of particles.

Nous présentons une étude de la cohomologie à coefficients tordus de la réalisation géométrique des systèmes de liaison. Plus précisément, si (S, Ƒ, ℒ) est un groupe fini p-local, nous travaillons sur la cohomologie H*(\ℒ\, M) de la réalisation géométrique de ℒ, avec un Z(p)[π₁(\ℒ\)]-module M en coefficients, et ses liens avec les éléments Fᶜ-stables H* (Ƒᶜ, M) ⊆ H*(S, M) à travers l’inclusion de BS dans \ℒ\. Après avoir donné la définition des éléments Ƒᶜ-stables, nous étudions l’endomorphisme de H*(S, M) induit par un (S, S)-bi-ensemble Ƒᶜ-caractéristique et nous montrons que sous certaine hypothèse et si l’action est nilpotent, alors on a un isomorphisme naturel H*(\ℒ\, M) ≌ H* (Ƒᶜ,M). Ensuite, nous regardons les actions p-résolubles à travers la notion de sous-groupe p-local d’index premier à p ou une puissance de p. Nous montrons que si l’action de π₁(\ℒ\) sur M se factorise par un p'-groupe alors on a aussi un isomorphisme naturel. Pour une action p-résoluble plus général, nous obtenons un résultat dans le cas des systèmes réalisables. Ces résultats nous conduisent à la conjecture qu’on a un isomorphisme naturel pour tout groupe fini p-local et toute action p-résoluble. Nous donnons quelque outils pour étudier cette conjecture. Nous travaillons sur les produits de groupes finis p-locaux avec la formule de Kunneth et les systèmes de liaison que se décomposent bien vis-à-vis de la suite exacte longue de Mayer-Vietoris. Finalement, nous étudions les sous-groupes essentiels d’un produit couronné par Cp. Nous finissons par des exemples qui soulignent, qu’en général, on ne peut espérer un isomorphisme entre H*(\ℒ\, M) et H*(Ƒᶜ, M). / The aim of this work is to study the cohomology with twisted coefficients of the geometric realization of linking systems. More precisely, if (S, Ƒ, ℒ) is a p-local finite group, we work on the cohomology H*(\ℒ\, M) of the geometric realization of ℒ with coefficients in a Z(p)[π₁(\ℒ\)]-module M and its links with the Ƒᶜ-stables H*(Ƒᶜ, M) ⊆ H*(S, M) trough the inclusion of BS in \ℒ\. After we give the definition of Ƒᶜ-stable elements , we study the endomorphism of H*(S, M) induced by an Fc-characteristic (S, S)-biset and we show that, if the action is nilpotent- and we assume an hypothesis, we have a natural isomorphism H*(\ℒ\, M) ≌ H* (Fᶜ;M). Secondly, we look at p-solvable actions of π₁(\ℒ\) on M through the notion of p-local subgroups of index a power of p or prime to p. If the action factors through a p'-group, we show that there si also a natural isomorphism. We then work on extending this to any-p-solvable action and we get some positive answer then the p-local finite groupis realizable. Theses leads to the conjecture that it is true for any-p-local finite group and any-p-solvable actions. We also give some tools to study this conjecture on examples. We look at products of p-local finite groups with Kunneth Formula and linking system which can be decomposed in a way which behaves well with Mayer-Vietoris long exact sequence. Finally, we study essential subgroups of wreath productsby Cp. We finish with some examples which illustrate that, in general, we cannot hope an isomorphism between H*(\ℒ\, M) and H*(Ƒᶜ, M).

Le polytope des m-sous-espaces est défini comme l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques de tous les sous-espaces de dimension m d'un espace affin fini. Le cas particulier du polytope des hyperplans a été étudié par Maurras (1993) et Anglada et Maurras (2003), qui ont obtenu une description complète des facettes. Le polytope général des m-sous-espaces que nous considérons possède une structure plus complexe, notamment concernant les facettes. Néanmoins, nous établissons dans cette thèse plusieurs familles de facettes. Nous caractérisons également complètement le groupe des automorphismes du polytope ainsi que l'adjacence des sommets du polytope des m-sous-espaces. Un tangle est un ensemble d'hyperplans d'un espace affin contenant un hyperplan par classe d'hyperplans parallèles. Anglada et Maurras ont montré que les tangles définissent des facettes du polytope des hyperplans et que toutes les facettes de ce polytope proviennent de tangles. Nous tentons d'établir une généralisation de ce résultat. Nous élaborons une classification des tangles en familles pour de petites dimensions d'espaces affins. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

On s'intéresse, dans cette thèse, à des questions concernant le nombre maximum de points rationnels d'une courbe singulière définie sur un corps fini, sujet qui, depuis Weil, a été amplement abordé dans le cas lisse. Cette étude se déroule en deux temps. Tout d'abord on présente une construction de courbes singulières de genres et corps de base donnés, possédant un grand nombre de points rationnels : cette construction, qui repose sur des notions et outils de géométrie algébrique et d'algèbre commutative, permet de construire, en partant d'une courbe lisse X, une courbe à singularités X', de telle sorte que X soit la normalisée de X', et que les singularités ajoutées soient rationnelles sur le corps de base et de degré de singularité prescrit. Ensuite, en utilisant une approche euclidienne, on prouve une nouvelle borne sur le nombre de points fermés de degré deux d'une courbe lisse définie sur un corps fini.La combinaison de ces résultats, à priori indépendants, permet notamment d'étudier le problème de savoir quand la borne d'Aubry-Perret, analogue de la borne de Weil dans le cas singulier, est atteinte. Cela nous amène de façon naturelle à l'étude des propriétés des courbes maximales et, lorsque la cardinalité du corps de base est un carré, à l'analyse du spectre des genres de ces dernières. / In this PhD thesis, we focus on some issues about the maximum number of rational points on a singular curve defined over a finite field. This topic has been extensively discussed in the smooth case since Weil's works. We have split our study into two stages. First, we provide a construction of singular curves of prescribed genera and base field and with many rational points: such a construction, based on some notions and tools from algebraic geometry and commutative algebra, yields a method for constructing, given a smooth curve X, another curve X' with singularities, such that X is the normalization of X', and the added singularities are rational on the base field and with the prescribed singularity degree. Then, using a Euclidian approach, we prove a new bound for the number of closed points of degree two on a smooth curve defined over a finite field.Combining these two a priori independent results, we can study the following question: when is the Aubry-Perret bound (the analogue of the Weil bound in the singular case) reached? This leads naturally to the study of the properties of maximal curves and, when the cardinality of the base field is a square, to the analysis of the spectrum of their genera.

Les modèles de recherche d'emploi sont aujourd'hui très largement utilisés en économie pour modéliser le marché du travail et évaluer les effets de certaines politiques publiques sur ce marché. Dans cette thèse, nous introduisons l'âge des travailleurs, dans ses deux dimensions, celle de l'expérience et celle de l'horizon social (âge de départ à la retraite), au sein d'un modèle de recherche d'emploi modélisant en même temps la distribution des salaires et les flux sur le marché du travail. Nous montrons que cette hétérogénéité affecte tous les comportements sur le marché du travail : la fixation de salaire, l'intensité de la recherche d'emploi et la productivité des appariements. Un tel modèle nous permet de décomposer la trajectoire salariale des travailleurs au cours de leur cycle de vie, en trois grands canaux : le jeu de salaire, l'accumulation du capital humain, et la présence d'institutions. Ce dernier canal explique notamment, par le biais des allocations chômage indexées sur le dernier salaire, la forte progression salariale associée à un faible taux de mobilité des travailleurs observé en France. Mais l'horizon peut aussi être technologique : la technologie d'une firme devient avec le temps obsolète. Dans ce cadre, nous montrons que la présence d'allocation chômage croissante avec l'ancienneté crée une distorsion croissante qui vient accélérer cette obsolescence. En vue d'atteindre l'optimum social, nous montrons qu'il est alors nécessaire d'introduire une taxe sur les licenciements, elle-même croissante. / In economics, it is today usual to use search models to modelize labor market, and assess public policy on this market. In this thesis, we introduce the age heterogeneity of workers in a search model which takes into account both labor market flows and endogenous wage distribution. We show that this heterogeneity affects greatly agents' economic behaviors in terms of wage setting, search intensity, and matches' productivity, by its two dimensions, the workers' experience and the workers' horizon. This model allows us to decompose the wage trajectory of workers over their life cycle into three main channels : the wage game, the human capital accumulation and the presence of institutions. Besides, we show that this last channel, as composed of unemployment benefits indexed on workers' last wage, accounts for the simultaneous strong wage progression and weak workers' mobility observed in the French data. Yet, the horizon can also be technological : firms' embodied technology becomes obsolete with time. Given this technological horizon, the presence of tenure-growing unemployement benefits yields a distorsion which fastens obsolescence. In this context, only a tenure-growing firing tax allows the economy to reach its social optimum.

Dans ce travail nous étudions les propriétés arithmétiques et statistiques d'une nouvelle classe de fonctions de comptage des chiffres appelées fonctions digitales restreintes. Nous présentons tout d'abord les principales propriétés des suites engendrées par une substitution ou un $q$-automate ainsi que la suite célèbre de Thue-Morse et ses généralisations, puis nous comparons ces notions avec celle de fonction digitale restreinte.Nous étudions ensuite les sommes d'exponentielles associées à ces fonctions digitales restreintes ainsi que leur application d'une part à l'étude de la répartition modulo 1 des fonctions digitales restreintes et d'autre part à l'étude des propriétés statistiques des suites arithmétiques définies par des fonctions digitales restreintes.Dans la dernière partie de ce travail on étudie la représentation géométrique de ces sommes d'exponentielle à la lumière des travaux antérieurs de Dekking et Mendès-France ce qui nous conduit à énoncer plusieurs problèmes ouverts. / In this work we study the arithmetic and statistic properties of a new class of digital counting functions called restricted digital functions. We first present the main properties of sequences generated by a substitution or a $q$-automate followed by presenting the famous Thue-Morse sequence and its generalizations, then we compare these notions with the one of the restricted digital function.We then study the exponential sums associated with these restricted digital function and their implementation on the one hand to the study of uniform distribution modulo 1 of these restricted digital functions and on the other, to the study of the statistical properties of the arithmetic sequences defined by restricted digital functions.In the last part of this work we study the geometric representation of these exponential sums in the light of previous works of Dekking and Mendès-France which leads us to announce several open problems.

La compréhension du comportement des structures en maçonneries exposées au feu et la prédiction de leur résistance au feu, sont des besoins majeurs, exprimes par les industriels de la terre cuite, à cause du manque d’études disponibles. L’objectif de ce travail est de construire des outils numériques qui sont capables de prédire le comportement et la tenue au feu des murs de briques alvéolaires en terre cuite, porteurs ou non porteurs, montes avec joints épais en mortier traditionnel ou avec joints minces en mortier colle. Pour cela, des investigations expérimentales à l’échelle de matériau et à l’échelle structurale sont menées permettant de comprendre les phénomènes thermo-hygro-mécaniques contrôlant la tenue au feu. Ces phénomènes majeurs sont par la suite pris en compte dans la construction de modèles de comportement, dont la mise en oeuvre numérique permet de disposer d’un outil de simulation de la tenue au feu des maçonneries. Pour le problème thermique, les trois modes de transferts : conduction, convection et rayonnement, avec l’ajustement de l’effet hydrique dans la capacité thermique, permettent de simuler la réponse thermo-hydrique dans la structure alvéolaire en terre cuite. Sur le plan mécanique, la tenue au feu des murs en maçonnerie est abordée du point de vue du risque d’écaillage. Cette rupture, localisée ou diffuse, des parois peut conduire à une perte d’étanchéité du mur ou à celle de son intégrité mécanique. Pour évaluer ce risque, une modélisation thermo-élastique tridimensionnelle est proposée avec la prise en compte de l’évolution des propriétés avec la température. Cette modélisation simplifiée est complétée à un critère d’écaillage de type détachement-voilement. En parallèle avec des calculs de validations, des études paramétriques sont menées afin d’identifier les influences des paramètres thermiques, mécaniques sur le comportement thermo-mécanique des murs / Understanding the behaviour of masonry structures exposed to fire and prediction of their fire resistance, are nowadays one of the major needs, expressed by manufacturers of fire-clay, because of the lack of available studies. The objective of this work is to build numerical tools that are able to predict the behaviour and resistance to fire of walls made with hollow fire-clay brick. The walls may be loadbearing or unloadbearing, joined with thick traditional mortar or thin adhesive mortar. For this purpose, experimental investigations at material scale and structural scale are carried out to understand the thermo-hygro-mechanical phenomena controlling the fire resistance rate. These major phenomena are then taken into account for the construction of behaviour models, which allow to dispose a tool of simulation of fire behaviour of masonry. For the thermal problem, the three transfer modes : conduction, convection and radiation, with the adjustment of the water effect in the heat capacity, can simulate the thermo-hygric response of alveolar structure in the fire-clay. On the mechanical problem, the fire resistance of masonry walls is approached from the point of view of the risk of spalling. This rupture, local or diffuse, of the brick partitions can lead to a loss of integrity or of loadbearing capacity. To evaluate this risk, a three-dimensional thermoelastic modeling is proposed with the taking into account of the evolution of the properties with the temperature. This simplified modeling is completed with a criterion of spalling of type detachment-buckling. In parallel with the validated calculations, parametrical studies are conducted to identify the influence of thermal, mechanical on the thermo-mechanical behaviour of the walls

Ce travail de thèse, composé de quatre parties, est consacré à l’étude de la géométrie algébrique en caractéristiques mixte et positive. Dans la première partie, motivés par une théorie conjecturale de la ramification pour les torseurs inséparables, nous étudions les modèles maximaux des torseurs sur un corps local, qui sont une généralisation des anneaux des entiers dans la théorie classique de la ramification. Nous prouvons la maximalité et la fonctorialité des modèles maximaux et nous les calculons explicitement pour les schémas en groupes finis plats d'ordre p. La deuxième partie est un travail en commun avec Giulio Orecchia et Matthieu Romagny. Nous étudions la perfection des algèbres et la coperfection des espaces et champs algébriques. Nous prouvons que l’espace des composantes connexes fournit la coperfection d’un espace algébrique et il représente la colimite du système de Frobenius relatifs. Dans le cas des champs algébriques, nous construisons le pro-groupoïde fondamental étale, nous prouvons qu'il fournit la coperfection, et il représente la colimite du système de Frobenius relatifs dans le cas de Deligne-Mumford. Dans la troisième partie, nous prouvons quelques résultats de platitude et de représentabilité des espaces de modules de torseurs sous certains schémas en groupes, qui découlent naturellement de l’espace de modules propre des p-revêtements galoisiens. Nous discutons également de la relation avec les jacobiennes généralisées des courbes ouvertes. Dans la dernière partie, nous nous intéressons à un nouveau type de géométrie analytique non-archimédienne, avec des valuations à valeurs dans des monoïdes commutatifs totalement ordonnés. Nous étudions quelques exemples de schémas et d’espaces adiques. / This thesis work, consisting of four parts, is devoted to the study of algebraic geometry in mixed and positive characteristics. In the first part, motivated by a conjectural ramification theory for inseparable torsors, we study the maximal model of a torsor over a local field, which is a generalization of integer rings in classical ramification theory. We prove the maximality and functoriality of maximal models, and calculate them explicitly for some finite flat group schemes of order p. The second part is a joint work with Giulio Orecchia and Matthieu Romagny. We study perfection of algebras and coperfection of algebraic spaces and stacks. We prove that the space of connected components provides the coperfection of an algebraic space, and it represents the colimit of relative Frobenii. In the case of algebraic stacks, we construct the étale fundamental pro-groupoid, and prove that it provides the coperfection, and it represents the colimit of relative Frobenii in Deligne-Mumford case. In the third part, we prove some results on flatness and representability of moduli spaces of torsors under certain group schemes, which naturally arise from the proper moduli space of Galois p-covers (stable p-torsors). We also discuss the relation with generalized Jacobians of open curves. In the last part, we are interested in a new kind of nonarchimedean analytic geometry, with valuations on totally ordered commutative monoids. We study some examples from schemes and adic spaces.

Dans la premier partie de cette thèse, nous étudions la structure des sous-groupes approximatifs dans les groupes metabéliens (groupes résolubles de classe de résolubilité 2) et montrons que si A est un tel sous-groupe K approximatif, il est K^⁰(r) contrôlée (au sens du Tao) par un groupe nilpotent où $ r désigne le rang de $ G=Fit (G) et Fit (G) $ est le sous-groupe de fitting de G. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la croissance des ensembles dans GLn(Fq) où Fq est un corps fini. Nous montrons une borne sur le diamètre (par rapport à n'importe quel système des générateurs) pour tous sous-groupes simples finis de ce groupe. Si G est un groupe fini simple de type Lie de rang n, et son corps de base est de taille borné, le diamètre du graphe du Cayley Gamma (G;S) serait borné par exp (O (n (log n) ^ 3)) . Si la taille du corps fini Fq n'est pas borné, notre méthode donne une borne de q ^ {O (n ( log nq) ^ 3) pour le diamètre.Dans la troisième partie nous nous sommes intéressés à la croissance des ensembles dans les boucles de Moufang commutatifs. Ceux-ci sont les boucles commutatifs respectant les identités de Moufang mais sans être (nécessairement) associatifs. Nous montrons que, si les tailles des ensembles des associateurs sont bornées alors la croissance des sous-structures approximatifs dans ces boucles est similaire à celle des groupes ordinaires. De cette façon dans le cadre des boucles de moufang commutatifs finiment engendré on a un théorème de structure pour ses sous-boucles approximatifs.Mots-clefs -sous-groupes approximatifs, groupes résolubles, diamètres des groupes, boucles de moufang commutatifs. / In the first part of this thesis, we study the structure of approximate subgroups inside metabelian groups (solvable groups of derived length 2) and show that if A is such a K-approximate subgroup, then it is K^(O(r)) controlled (in the sense of Tao) by a nilpotent group where r denotes the rank of G=Fit(G) and Fit(G) is the fitting subgroup of G.The second part is devoted to the study of growth of sets inside GLn(Fq) , where we show a bound on the diameter (with respect to any set of generators) for all finite simple subgroups of this group. What we have is - if G is a finite simple group of Lie type with rank n, and its base field has bounded size, then the diameter of the Cayley graph C(G; S) would be bounded by exp(O(n(logn)^3)). If the size of the base field Fq is not bounded then our method gives a bound of q^(O(n(log nq)3)) for the diameter.In the third part we are interested in the growth of sets inside commutative Moufang loops which are commutative loops respecting the moufang identities but without (necessarily)being associative. For them we show that if the sizes of the associator sets are bounded then the growth of approximate substructures inside these loops is similar to those in ordinary groups. In this way for the subclass of finitely generated commutative moufang loops we have a classification theorem of its approximate subloops.