En 1971, Gilbert Labelle a introduit la fonction chapeau qui est une traduction entre deux représentations de fonctions booléennes. Cette fonction intimement liée au calcul propositionnel possède de remarquables propriétés et permet de trouver le polynôme associé à une table de vérité et réciproquement. La fonction chapeau est involutive et nous en fournissons une démonstration car l'article original de Gilbert Labelle n'en présentait pas. Pour une base de numération fixée p où p est premier, un nombre entier est identifié par une suite de chiffres appelés «pits» par analogie aux bien connus bits. Toute fonction définie sur N est exprimable par une fonction définie sur les pits. Une telle fonction est décomposable en une suite de sous-fonctions qui expriment individuellement chaque chiffre de sortie de la fonction originelle à partir des chiffres en entrée. Différentes décompositions de fonctions en pits sont présentées. Les calculs liés à ces décompositions sont difficiles et des algorithmes astucieux sont développés en Maple pour obtenir quelques résultats qui suggèrent des formules générales que nous prouvons par la suite. Un bit est un cas particulier des pits et il y a une bijection entre les opérateurs d'addition/produit et les portes logiques. Il est alors possible pour un concepteur en électronique de réaliser une implémentation parallèle de fonctions logiques/arithmétiques à partir des décompositions. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Représentations de fonctions, Calcul propositionnel, Décompositions de fonctions, Programmation Maple, Calcul parallèle.

Dans le cadre du présent travail, nous avons pour but d'évaluer le niveau de compréhension des étudiants issus du renouveau pédagogique à l'égard du concept de fonction. Pour ce faire, nous avons construit un questionnaire basé sur la théorie des représentations de Duval; les registres de représentation, les trois activités cognitives et la coordination de registres de représentation. Nous avons également utilisé les travaux de Guzmán, Hitt et Páez pour choisir les différentes tâches de notre questionnaire. Nous l'avons soumis à 183 étudiants du collégial inscrits en première année du profil Sciences de la nature. Nous avons ensuite utilisé la grille de classification en cinq niveaux, issue des travaux de Guzmán, Hitt et Páez. Par l'analyse des réponses des étudiants à chaque tâche, et à l'aide de la grille de classification, nous avons réussi à dresser un portrait global de la compréhension de ces étudiants. De plus, nous avons construit un programme Excel qui permet de visualiser l'ensemble des données du projet et ce, pour chaque participant. Cependant, nous avons apporté certaines modifications à la grille de classification de Guzmán, Hitt et Páez, après avoir évalué que les résultats n'étaient pas vraiment représentatifs de la compréhension des étudiants. De ce fait, nous avons décidé de modifier les critères en conservant une grille à cinq classes. Nous avons tenu compte du nombre d'activités réussies, du nombre de liens du réseau interne et du nombre de coordinations pour classer chaque participant. Nous constatons que la majorité des participants de l'échantillon n'a pas une « bonne » compréhension du concept de fonction, c'est-à-dire que ceux-ci ne maîtrisent pas tout à fait les trois activités cognitives de la théorie de Duval pour certains types de fonctions, entre autres les fonctions trigonométriques et les fonctions définies par partie. De plus, ils n'ont pas un réseau interne très élaboré. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : didactique des mathématiques, arrimage secondaire-collégial, compréhension des fonctions, programme de formation en mathématiques de 2003, représentations.