Geodetic adjustment models are often set up in a way that the model parameters need to fulfil certain constraints. The normalized Lagrange multipliers have been used as a measure of the strength of constraint in such a way that if one of them exceeds in magnitude a certain threshold then the corresponding constraint is likely to be incompatible with the observations and the rest of the constraints. We show that these and similar measures can be deduced as test statistics of a likelihood ratio test of the statistical hypothesis that some constraints are incompatible in the same sense. This has been done before only for special constraints (Teunissen in Optimization and Design of Geodetic Networks, pp. 526–547, 1985). We start from the simplest case, that the full set of constraints is to be tested, and arrive at the advanced case, that each constraint is to be tested individually. Every test is worked out both for a known as well as for an unknown prior variance factor. The corresponding distributions under null and alternative hypotheses are derived. The theory is illustrated by the example of a double levelled line. / Geodätische Ausgleichungsmodelle werden oft auf eine Weise formuliert, bei der die Modellparameter bestimmte Bedingungsgleichungen zu erfüllen haben. Die normierten Lagrange-Multiplikatoren wurden bisher als Maß für den ausgeübten Zwang verwendet, und zwar so, dass wenn einer von ihnen betragsmäßig eine bestimmte Schwelle übersteigt, dann ist davon auszugehen, dass die zugehörige Bedingungsgleichung nicht mit den Beobachtungen und den restlichen Bedingungsgleichungen kompatibel ist. Wir zeigen, dass diese und ähnliche Maße als Teststatistiken eines Likelihood-Quotiententests der statistischen Hypothese, dass einige Bedingungsgleichungen in diesem Sinne inkompatibel sind, abgeleitet werden können. Das wurde bisher nur für spezielle Bedingungsgleichungen getan (Teunissen in Optimization and Design of Geodetic Networks, pp. 526–547, 1985). Wir starten vom einfachsten Fall, dass die gesamte Menge der Bedingungsgleichungen getestet werden muss, und gelangen zu dem fortgeschrittenen Problem, dass jede Bedingungsgleichung individuell zu testen ist. Jeder Test wird sowohl für bekannte, wie auch für unbekannte a priori Varianzfaktoren ausgearbeitet. Die zugehörigen Verteilungen werden sowohl unter der Null- wie auch unter der Alternativhypthese abgeleitet. Die Theorie wird am Beispiel einer Doppelnivellementlinie illustriert.

Geodetic adjustment models are often set up in a way that the model parameters need to fulfil certain constraints. The normalized Lagrange multipliers have been used as a measure of the strength of constraint in such a way that if one of them exceeds in magnitude a certain threshold then the corresponding constraint is likely to be incompatible with the observations and the rest of the constraints. We show that these and similar measures can be deduced as test statistics of a likelihood ratio test of the statistical hypothesis that some constraints are incompatible in the same sense. This has been done before only for special constraints (Teunissen in Optimization and Design of Geodetic Networks, pp. 526–547, 1985). We start from the simplest case, that the full set of constraints is to be tested, and arrive at the advanced case, that each constraint is to be tested individually. Every test is worked out both for a known as well as for an unknown prior variance factor. The corresponding distributions under null and alternative hypotheses are derived. The theory is illustrated by the example of a double levelled line. / Geodätische Ausgleichungsmodelle werden oft auf eine Weise formuliert, bei der die Modellparameter bestimmte Bedingungsgleichungen zu erfüllen haben. Die normierten Lagrange-Multiplikatoren wurden bisher als Maß für den ausgeübten Zwang verwendet, und zwar so, dass wenn einer von ihnen betragsmäßig eine bestimmte Schwelle übersteigt, dann ist davon auszugehen, dass die zugehörige Bedingungsgleichung nicht mit den Beobachtungen und den restlichen Bedingungsgleichungen kompatibel ist. Wir zeigen, dass diese und ähnliche Maße als Teststatistiken eines Likelihood-Quotiententests der statistischen Hypothese, dass einige Bedingungsgleichungen in diesem Sinne inkompatibel sind, abgeleitet werden können. Das wurde bisher nur für spezielle Bedingungsgleichungen getan (Teunissen in Optimization and Design of Geodetic Networks, pp. 526–547, 1985). Wir starten vom einfachsten Fall, dass die gesamte Menge der Bedingungsgleichungen getestet werden muss, und gelangen zu dem fortgeschrittenen Problem, dass jede Bedingungsgleichung individuell zu testen ist. Jeder Test wird sowohl für bekannte, wie auch für unbekannte a priori Varianzfaktoren ausgearbeitet. Die zugehörigen Verteilungen werden sowohl unter der Null- wie auch unter der Alternativhypthese abgeleitet. Die Theorie wird am Beispiel einer Doppelnivellementlinie illustriert.

Transformations between different geodetic reference frames are often performed such that first the transformation parameters are determined from control points. If in the first place we do not know which of the numerous transformation models is appropriate then we can set up a multiple hypotheses test. The paper extends the common method of testing transformation parameters for significance, to the case that also constraints for such parameters are tested. This provides more flexibility when setting up such a test. One can formulate a general model with a maximum number of transformation parameters and specialize it by adding constraints to those parameters, which need to be tested. The proper test statistic in a multiple test is shown to be either the extreme normalized or the extreme studentized Lagrange multiplier. They are shown to perform superior to the more intuitive test statistics derived from misclosures. It is shown how model selection by multiple hypotheses testing relates to the use of information criteria like AICc and Mallows’ Cp, which are based on an information theoretic approach. Nevertheless, whenever comparable, the results of an exemplary computation almost coincide.

Transformations between different geodetic reference frames are often performed such that first the transformation parameters are determined from control points. If in the first place we do not know which of the numerous transformation models is appropriate then we can set up a multiple hypotheses test. The paper extends the common method of testing transformation parameters for significance, to the case that also constraints for such parameters are tested. This provides more flexibility when setting up such a test. One can formulate a general model with a maximum number of transformation parameters and specialize it by adding constraints to those parameters, which need to be tested. The proper test statistic in a multiple test is shown to be either the extreme normalized or the extreme studentized Lagrange multiplier. They are shown to perform superior to the more intuitive test statistics derived from misclosures. It is shown how model selection by multiple hypotheses testing relates to the use of information criteria like AICc and Mallows’ Cp, which are based on an information theoretic approach. Nevertheless, whenever comparable, the results of an exemplary computation almost coincide.