We construct bosonic and fermionic locally covariant quantum fields theories on curved backgrounds for large classes of fields. We investigate the quantum field and n-point functions induced by suitable states.

In this thesis, we address several problems related to the bosonic classical and algebraic quantum field theories in curved spacetime. In particular, the main question is: how do the theories change under finite global variations of the spacetime metric tensor? To answer this question a new deformation tool, the paracausal deformation, is developed and studied on its own as a new approach to investigate the structure of the space of globally hyperbolic metric tensors associated with a smooth manifold $\M$. Then the classical M{\o}ller maps are constructed to compare solutions of the hyperbolic PDEs defining the classical field theories and the quantum M{\o}ller $*$-isomorphisms follow to compare the CCR quantum algebras associated to the propagation of the quantum fields on the different background geometries. These maps possess the important property of preserving Hadamard states, providing a new way to implement the deformation argument used to prove the existence of such states in general globally hyperbolic spacetime. Moreover, the algebraic quantization of the Proca field, i.e the massive spin 1 field, on a general globally hyperbolic spacetime is for the first time studied in detail: by employing techniques coming from microlocal analysis and spectral theory a Hadamard state is constructed on ultrastatic spacetimes and then the M{\o}ller operator is used to prove the existence of such states in general globally hyperbolic spacetimes. A discussion about the definition of Hadamard states for the massive vector fields closes the work. The thesis is based on two works on algebraic quantization of bosonic field theories and Hadamard states: \cite{Norm}, \cite{Proca}. The papers are co-authored by my supervisor Prof. Valter Moretti (UniTN) and cosupervisor Simone Murro (UniGe). The first \cite{DefArg1} has not been included since, at the time it was written, the paracausal deformation, the construction of M{\o}ller operators, the right approach to intertwine the causal propagators and all the other tools developed in the subsequent works were still at a rough stage.

The existence and -if exists- the nature of the solutions of the scalar wave equation in spacetimes with closed timelike curves are investigated. The general properties of the solutions on some class of spacetimes are obtained. Global monochromatic solutions of the scalar wave equation are obtained in flat wormholes of dimensions 2+1 and 3+1. The solutions are in the form of infinite series involving cylindirical and spherical wave functions and they are elucidated by the multiple scattering method. Explicit solutions for some limiting cases are illustrated as well. The results of 2+1 dimensions are verified by using numerical methods.

Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d’isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking. / This thesis is divided into two parts, dealing with two different aspects of Lorentzian geometry. The first part deals with isometry groups of globally hyperbolic spatially compact Lorentz surfaces, especially when it has a non trivial dynamical behavior (non proper action). The isometry group acts on circle by diffeomorphisms, and the main results of this part concern the classification of these actions. Under a hypothesis on the conformal boundary, we show that they are topologically conjugate to the projective action of a subgroup of PSL(2,R), or one of its finite covers. The differentiability of the conjugacy is studied, with some results giving a differentiable conjugacy under additional hypotheses. We also give counter examples to such a differentiable conjugacy, even for groups with rich dynamics. These constructions use hyperbolic flows on three manifolds. Without the hypothesis on the conformal boundary, we obtain a semi conjugacy and a group isomorphism. We also give examples where a topological conjugacy cannot exist. In the second part of this thesis, we see a spacetime as a multi valued dynamical system: we map a point to its causal future. This point of view was already adopted by Fathi and Siconolfi, and it gives a concrete meaning to the link between Lyapunov functions in dynamical systems and time functions. The main result is a Lorentzian version of Conley's Theorem: we define the chain recurrent set of a spacetime, and construct a continuous function that increases along future directed causal curves outside the chain recurrent set, and that is non decreasing along other future curves. These techniques also apply to the stably causal setting, and we obtain a new proof of a part of Hawking's Theorem.

This is a diploma thesis on Buchdahl's equations for the description of massive particles of arbitrary spin s/2. On 4-dimensional, globally hyperbolic Lorentzian spacetime manifolds, existence of advanced and retarded Green's operators is proved, the Cauchy problem for Buchdahl's equations is solved globally and two possible constructions for quantizing Buchdahl fields using CAR algebras in the fashion of [Dimock 1982] are given.

Les espace-temps conformément plats de dimension supérieure ou égal à 3 sont des variétés localement modelées l'espace-temps d'Einstein où il agit la composante connexe de l'identité du groupe des difféomorfismes conformes.Un espace-temps M est globalement hyperbolique s'il admet une hypersurface S de type espace qui est rencontrée une et une seule fois par toute courbe causale de M. L'hypersurface S est alors dite hypersurface de Cauchy de M.L'ensemble des espace-temps globalement hyperboliques conformément plats, identifiés à difféomorphisme conforme près, est naturellement muni d'une relation d'ordre partielle: on dit que N étends M s'il existe un plongement conforme de M dans N tel que l'image de toute hypersurface de Cauchy de M est une hypersurface de Cauchy de N. Les éléments maximaux par rapport à cette relation d'ordre sont appelés espace-temps maximaux.Le premier résultat qu'on a prouvé est l'existence et unicité de l'extension maximale pour un espace-temps conformément plat globalement hyperbolique donné. Ce résultat généralise un théorème de Choquet-Bruhat et Geroch relatif aux espace-temps solutions des équation d'Einstein.L'unicité de l'extension maximale permet de prouver le résultat suivant:Théorème:En dimension supérieur ou égal à 3, l'espace d'Einstein est le seul espace-temps conformément plat maximal simplement connexe admettant une hypersurface de Cauchy compacte.Si l'hypersurface de Cauchy S du revêtement universel d'un espace-temps M est compacte on obtient donc que M est un quotient fini de l'espace d'Einstein. La structure des géodésiques de l'espace d'Einstein et l'unicité de l'extension maximale permettent de prouver :Théorème:Soit M un espace-temps conformément plat maximal de dimension supérieur ou égal à 3, qui contient deux géodésiques lumières distinctes, librement homotopes et ayant les mêmes extrémités. Alors M est un quotient fini de l'espace d'Einstein.Dans le cas où l'hypersurface S' du revêtement universel M' de M est non compacte on montre chaque point p de M' est déterminé par le compact de S 'constitué par l'intersection de son passé causal ou de son futur causal avec l'hypersurface S', suivant que p appartient au passé ou au futur de S'. Onappelle ce compact l'ombre de p sur S'. L'espace-temps M' s'identifie donc à un sous-ensemble des compacts de S'.Ce point de vue permet d'avoir une compréhension plus profonde de la maximalité d'un espace-temps. En fait on a différentes notions de maximalité :un espace-temps pourrait être maximal parmi les espace-temps conformément plats mais avoir un majorant qui n'est pas conformément plat, i.e. il pourrait exister un plongement conforme dans un espace-temps globalement hyperbolique qui ne soit pas conformément plat.Grâce à la notion d'ombre, on prouve que la structure causale induite sur la frontière de Penrose du revêtement universel d'un espace-temps conformément plat permet de caractériser les espace-temps maximaux parmi tous les espace-temps globalement hyperboliques, on obtient:Théorème:Tout espace-temps globalement hyperbolique conformément plat M qui est maximal parmi les espace-temps globalement hyperbolique conformément plats est aussi maximal parmi tous les espace-temps globalement hyperboliques.On conclut avec une discussion détaillée sur la maximalité des espaces-temps globalement hyperboliques maximaux parmi les espace-temps à courbure constante, suivant le signe de la courbure: lorsque la courbure est négative ou nulle, l'espace-temps est maximal aussi parmi tous les espace-temps globalement hyperboliques, mais cela n'est jamais vrai lorsque la courbure est strictement positive / As a consequence of the Lorentzian version of Liouville’s Theorem, everyconformally flat space-time of dimension 3 is a (Ein1,n,O0(2, n + 1))-manifold. The Einstein’s space-time Ein1,n is the space Sn × S1 with theconformal class of the metric d2−dt2, where d2 and dt2 are the canonicalRiemannian metrics of Sn and R. The group O0(2, n+1) is the group of theconformal diffeomorphisms of Ein1,n whose action preserve the orientationand the time-orientation of Ein1,n. A space-time M is globally hyperbolicif it contains a spacelike hypersurface which intersects every inextensiblecausal curve of M exactly in one point. As a consequence M is not compact.The hypersurface is called a Cauchy hypersurface of M. Geroch’s Theorem([?]) say that if M is globally hyperbolic, then M is homeomorphic to×R. There is a naturally defined partial order on the set of globally hyperbolicspace-times (up to conformal diffeomorphism) : M M0 if does existsa conformal embedding f : M ,! M0 which sends Cauchy hypersurfaces ofM to Cauchy hypersurfaces of M0 (f is called a Cauchy-embedding ). Wecall C-maximal space-times the maximal elements for this partial order onthe set of globally hyperbolic space-times. We can restrict the partial orderto the subset of conformally flat space-times : in this case we call themaximal elements C0-maximal space-times. The first result of the thesis isa generalization of a Theorem proved by Choquet-Bruhat and Geroch in[?] : let M be a globally hyperbolic conformally flat space-time. Then thereis a globally hyperbolic conformally flat C0-maximal space-time N and aCauchy-embedding f : M ,! N. The space-time N is unique up to conformaldiffeomorphisms.The uniqueness of the C0-maximal extension imply that every globally hyperbolicconformally flat simply connected C0-maximal space-time (of dimension3) with a compact Cauchy hypersurface is conformally diffeomorphicto gEin1,n.In the second part of the thesis we study the injectivity of the developingmap of a globally hyperbolic conformally flat space-time M looking at theshape of its the causal boundary.We say that two points p, q are conjugatedin a space-time M if there are two different lightlike geodesics and whichstart at p and meet at q, such that and don’t intersect between p and q.The most remarkable result of this part is : let M a globally hyperbolicconformally flat C0-maximal space-time. If fM has two conjugated pointsthen fM ' gEin1,n. In particular M is a finite quotient of gEin1,n.As a consequence of this result we obtain that the developing map of Mrestricted to the chronological past and future of every point is injective.In the last part of the thesis we give an abstract construction of the Cmaximalextension for a given conformally flat globally hyperbolic spacetime.The idea is that a globally hyperbolic space-time is completely determinedby one of his Cauchy hypersurfaces. This result helps to understandhow to relate the different notions of maximality. In particular we provethat every conformally flat globally hyperbolic space-time M which is C0-maximal is also C-maximal.

L'étude des espaces-temps plats singuliers munis d'une surface de Cauchy polyédrale est motivée par leur rôle de model jouet de gravité quantique proposé par Deser, Jackiw et 'T Hooft. Cette thèse porte sur les paramétrisations de certaines classes d'espaces-temps plat singuliers : les espaces-temps plats avec particules massives et BTZ Cauchy-compacts maximaux. Deux paramétrisations sont proposées, l'une reposant sur une extension du théorème de Mess aux espaces-temps plats avec BTZ et la surface de Penner-Epstein, l'autre reposant sur une généralisation du théorème d'Alexandrov aux espaces-temps plats avec particules massives et BTZ. Ce travail propose également une amorce de cadre théorique permettant de considérer des espaces-temps singuliers plus généraux. / The study of singular flat spacetimes with polyhedral Cauchy-surfaces is motivated by the quantum gravity toy model role they play in the seminal work of Deser, Jackiw and 'T Hooft. This thesis study parametrisations of classes of singular flat spacetimes : Cauchy-compact maximal flat spacetimes with massive and BTZ-like singularities. Two parametrisations are constructed. The first is based on an extension of Mess theorem to flat spacetimes with BTZ and Penner-Epstein convex hull construction. The second is based on a generalisation of Alexandrov polyhedron theorem to radiant Cauchy-compact flat spacetimes with massive and BTZ-like singularities. This work also initiate a wider theoretical background that encompass singular spacetimes.

Over a century since its inception, general relativity continues to lie at the heart of some of the most researched topics in theoretical physics. It seems likely that the coveted solutions to problems like quantum gravity are to be found in an extension of general relativity, one which may only be visible in an alternate formulation of the theory.  In this thesis we consider the possibility of casting general relativity in the form of an initial value problem where spacetime is seen as the evolution of space. This evolution is shown to be constrained and of Hamiltonian type.  Not all spacetimes are physically acceptable. To be compatible with particle physics, one would like spacetime to accommodate fermions. Here we can take comfort in Geroch’s theorem, which implies that any spacetime that admits a Hamiltonian formulation automatically supports the existence of fermions. We review the elements that go into the proof of this theorem. / Allmän relativitetsteori har i över hundra år legat i teoretiska fysikens framkant. Det är möjligt att lösningarna på öppna problem som kvantiseringen av gravitation går att finna i en utvidgning av allmän relativitetsteori – och kanske uppenbarar sig denna utvidgning bara ur en alternativ formulering av teorin. I den här uppsatsen formuleras allmän relativitetsteori och dess Einsteinekvationer som ett begynnelsevärdesproblem, genom vilket rumtiden kan betraktas som rummets historia. Vi visar att rummets rörelseekvationer är Hamiltons ekvationer med tvångsvillkor.  Enligt partikelfysiken bör fermioner kunna finnas till i rumtiden. Härom kan vi åberopa Gerochs sats, enligt vilken rumtider som har en Hamiltonsk formulering också medger fermioner. Vi redogör för huvuddragen i beviset av Gerochs sats.