Neste trabalho analisamos o papel das funções layout de um núcleo positivo definido K sobre um espaço topológico de Hausdor E com relação a duas propriedades específicas: a universalidade de K e a ortogonalidade no espaço de Hilbert de reprodução de K a partir de suportes disjuntos. As funções layout sempre existem mas podem não ser únicas. De uma maneira geral, a função layout e uma aplicação que transfere, convenientemente, informações do espaço E para um espaço com produto interno de dimensão alta, onde métodos lineares podem ser usados. Tanto a universalidade quanto a ortogonalidade pressupõem a continuidade do núcleo. O primeiro conceito exige que para cada compacto não vazio X de E, o conjunto de \"seções\" {K(., y) : y \'PERTENCE\' X} seja total no espaço de todas as funções contínuas com domínio X, munido da topologia da convergência uniforme. Um dos resultados principais do trabalho caracteriza a universalidade de um núcleo K através de uma propriedade de universalidade semelhante da função layout. A ortogonalidade a partir de suportes disjuntos almeja então a ortogonalidade de quaisquer duas funções do espaço de Hilbert de reprodução de K quando seus suportes não se intersectam / We analyze the role of feature maps of a positive denite kernel K acting on a Hausdorff topological space E in two specific properties: the universality of K and the orthogonality in the reproducing kernel Hilbert space of K from disjoint supports. Feature maps always exist but may not be unique. A feature map may be interpreted as a kernel based procedure that maps the data from the original input space E into a potentially higher dimensional \"feature space\" in which linear methods may then be used. Both properties, universality and orthogonality from disjoint supports, make sense under continuity of the kernel. Universality of K is equivalent to the fundamentality of {K(. ; y) : y \'IT BELONGS\' X} in the space of all continuous functions on X, with the topology of uniform convergence, for all nonempty compact subsets X of E. One of the main results in this work is a characterization of the universality of K from a similar concept for the feature map. Orthogonality from disjoint supports seeks the orthogonality of any two functions in the reproducing kernel Hilbert space of K when the functions have disjoint supports

Este trabalho trata de problemas de contorno definidos no plano. O problema central desta tese é chamado Problema de Riemann-Hilbert, o qual pode ser descrito como segue. Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em uma vizinhança do fecho de um aberto simplesmente conexo do plano com fronteira suave. O Problema de Riemann-Hilbert para o campo L consiste em obter uma solução para a equação Lu = F(x, y, u) no aberto em estudo, sendo dada uma função F mensurável. Pede-se também que a solução tenha extensão contínua até a fronteira e que satisfaça lá uma condição adicional; trabalha-se aqui no contexto das funções Hölder contínuas. Foram obtidos resultados para o problema acima no caso em que L pertence a uma classe de campos hipocomplexos. O caso clássico conhecido é quando o campo vetorial é o operador de Cauchy-Riemann, ou, mais geralmente, quando é um campo elítico. / This work deals with boundary problems in the plane. The central problem in this thesis is the so-called Riemann-Hilbert problem, which may be described as follows. Let L be a non-singular complex vector field defined on a neighborhood of the closure of a simply connected open subset of the plane having smooth boundary. The Riemann-Hilbert problem for the vector field L consists in finding a solution to the equation Lu = F(x, y, u) on the open set under study, where the given function F is measurable. It is also required that the solution have a continuous extension up to the boundary and satisfy an additional condition there. Results were obtained for the above problem when L belongs to a class of hypocomplex vector fields. The well-known classical case is the one in which the vector field under study is the Cauchy-Riemann operator, or more generally when it is an elliptic vector field.

Orientador: Janito Vaqueiro Ferreira / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica / Made available in DSpace on 2018-08-04T09:11:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mariano_SilvioLuiz_M.pdf: 10538477 bytes, checksum: b5e594a3783a5571c8face1a74dae202 (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Este trabalho apresenta a análise numérica e experimental do índice de vibro-impacto em alavancas de transmissão mecânica. Foram desenvolvidos modelos de alavanca que consideram não-linearidades na estrutura. Métodos para quantificação do vibro-impacto foram obtidos na literatura e implementados para o levantamento de curvas, as quais indicam a variação do índice de Vibro-impacto com relação à variação dos parâmetros dos modelos desenvolvidos. A técnica da Transformada de Hilbert também foi implementada para levantamento das forças não-lineares atuantes nos modelos. Foram utilizadas três bancadas para identificação das forças não-lineares atuantes e validação da técnica salientada, que utiliza sinais de força, deslocamento, velocidade e aceleração. As curvas de rigidez não-Hnear foram identificadas coerentemente, as quais tiveram validação pelo levantamento da rigidez das mesmas bancadas por medições estáticas. Dois modelos numéricos de alavanca, utilizando massas concentradas, foram estudados. Nestes identificaram-se curvas de força não-Hnear e levantaram-se curvas de sensibilidade do índice de Vibro-impacto à variação dos parâmetros dos modelos. Mostrou-se que a técnica da Transformada de Hilbert pode ser utilizada para a identificação de sistemas não-lineares e que o estudo de sensibilidade em modelos de vibro-impacto pode ser obtido sem muita dificuldade / Abstract: This work presents a study about a numerical and experimental vibro-impact level analisys in mechanical gearshift levers. It was developed gearshift lever models which consider nonlinearities in the structure. Methods to vibro-impact quantification were obtained in the available literature and were implemented to obtain curves which show the vibro-impact level change with the modification of the parameters of the developed models. Hubert Transform techniques were also implemented to obtain nonlinear forces implemented on the models. To verify the efficiency of these techniques, three test rigs with nonlinearities were developed and the nonlinear forces were identified. The techniques need the displacement, velocity and acceleration signals to calculate the forces. The nonlinear forces curves were identified and validated with the static forces measured. Two models of gearshift levers were developed, using lumped masses. In these models the nonlinear forces curves and the sensibility to the vibro-impact level with modifications in the model parameters were obtained. It was showed that the Hubert Transform techniques are reliable to identify nonlinear systems and that the sensibility study in vibro-impact can be obtained easily / Mestrado / Mecanica dos Sólidos e Projeto Mecanico / Mestre em Engenharia Mecânica

La géométrie algébrique réelle est dans sa définition la plus simple, l'étude des ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients réelles. Dans cette vaste thématique, on se concentre sur les intersections de quadriques où déjà le cas de trois quadriques reste largement ouvert. Notre sujet peut être résumé comme l'étude topologique des variétés algébriques réelles et l'interaction entre leur topologie d'une part et leur déformations et dégénérations d'autre part, un problème issu du 16ième problème de Hilbert et enrichi par des développements récents. Au cours de cette thèse, nous allons nous focaliser sur les intersections maximales de quadriques réelles et en particulier démonter l'existence de telles intersections en utilisant des développements issus des recherches effectuées depuis la fin des années 80. Dans le cas d'intersections de trois quadriques, nous allons mettre en évidence le lien très étroits entre ces intersections d'une part et les courbes planes d'autre part, et démontrer que l'étude des M-courbes (une des problématiques du 16ième problème de Hilbert) peut se faire à travers l'étude des intersections maximales. Nous utiliserons ensuite les résultats sur les courbes planes nodales afin de déterminer dans certains cas les classes de déformations d'intersections de trois quadriques réelles. / Real algebraic geometry is in its simplest definition, the study of sets of solutions of a system of polynomial equations with real coefficients. In this theme, we focus on the intersections of quadrics where already the case of three quadrics remains wide open. Our subject can be summarized as the topological study of real algebraic varieties and interaction between their topology on the one hand and their deformations and degenerations on the other hand, a problem coming from the 16th Hilbert problem and enriched by recent developments. In this thesis, we will focus on maximum intersections of real quadrics and particularly prove the existence of such intersections using research developments made since the late 80. In the case of intersections of three quadrics, we will point the very close link between the intersections on the one hand and on the other plane curves, and show that the study of M-curves (one of the problems of the 16th Hilbert problem) may be done through the study of maximum intersections. Next, we will use the study on nodal plane curves to determine in some cases deformation classes of intersections of three real quadrics.

En utilisant le concept des fonctions de partition , nous étudions le comportement asymptotique des nombres de Betti gradués des puissances d’idéaux homogènes dans un polynôme sur un corp.Pour un Z-graduer positif, notre résultat principal affirme que les nombres de Betti des puissances est codé par un nombre fini des polynômes. Plus précisément, Z^2 peut être divisé en un nombre fini des régions telles que, dans chacun d’eux, dimk Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ est un quasi-polynôme en (μ,t). Ce affine, dans une situation graduée, le résultat de Kodiyalam sur nombres de Betti des puissances dans [33].La déclaration principale traite le cas des produits des puissances d’idéaux homogènes dans un algèbre Z^d -graduée , pour un graduer positif, dans le sens de [37] et il est généralise également pour les filtrations I -good.Dans la deuxième partie, en utilisant la version paramétrique de l’algorithme de Barvinok, nous donnons une formule fermée pour les fonctions de Hilbert non-standard d’anneaux de polynômes, en petites dimensions. / Using the concept of vector partition functions, we investigate the asymptotic behavior of graded Betti numbers of powers of homogeneous ideals in a polynomial ring over a field. For a positive Z-grading, our main result states that the Betti numbers of powers is encoded by finitely many polynomials. More precisely, Z^2 can be splitted into a finite number of regions such that, in each of them, dim_k Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ is a quasi-polynomial in (μ,t). This refines, in a graded situation, the result of Kodiyalam on Betti numbers of powers in [33]. The main statement treats the case of a power products of homogeneous ideals in a Z^d -graded algebra, for a positive grading, in the sense of [37] and it is also generalizes to I -good filtrations . In the second part , using the parametric version of Barvinok’s algorithm, we give a closed formula for non-standard Hilbert functions of polynomial rings, in low dimensions.

Le but de l’apprentissage supervisé est d’inférer des relations entre un phénomène que l’on souhaite prédire et des variables « explicatives ». À cette fin, on dispose d’observations de multiples réalisations du phénomène, à partir desquelles on propose une règle de prédiction. L’émergence récente de sources de données à très grande échelle, tant par le nombre d’observations effectuées (en analyse d’image, par exemple) que par le grand nombre de variables explicatives (en génétique), a fait émerger deux difficultés : d’une part, il devient difficile d’éviter l’écueil du sur-apprentissage lorsque le nombre de variables explicatives est très supérieur au nombre d’observations; d’autre part, l’aspect algorithmique devient déterminant, car la seule résolution d’un système linéaire dans les espaces en jeupeut devenir une difficulté majeure. Des algorithmes issus des méthodes d’approximation stochastique proposent uneréponse simultanée à ces deux difficultés : l’utilisation d’une méthode stochastique réduit drastiquement le coût algorithmique, sans dégrader la qualité de la règle de prédiction proposée, en évitant naturellement le sur-apprentissage. En particulier, le cœur de cette thèse portera sur les méthodes de gradient stochastique. Les très populaires méthodes paramétriques proposent comme prédictions des fonctions linéaires d’un ensemble choisi de variables explicatives. Cependant, ces méthodes aboutissent souvent à une approximation imprécise de la structure statistique sous-jacente. Dans le cadre non-paramétrique, qui est un des thèmes centraux de cette thèse, la restriction aux prédicteurs linéaires est levée. La classe de fonctions dans laquelle le prédicteur est construit dépend elle-même des observations. En pratique, les méthodes non-paramétriques sont cruciales pour diverses applications, en particulier pour l’analyse de données non vectorielles, qui peuvent être associées à un vecteur dans un espace fonctionnel via l’utilisation d’un noyau défini positif. Cela autorise l’utilisation d’algorithmes associés à des données vectorielles, mais exige une compréhension de ces algorithmes dans l’espace non-paramétrique associé : l’espace à noyau reproduisant. Par ailleurs, l’analyse de l’estimation non-paramétrique fournit également un éclairage révélateur sur le cadre paramétrique, lorsque le nombre de prédicteurs surpasse largement le nombre d’observations. La première contribution de cette thèse consiste en une analyse détaillée de l’approximation stochastique dans le cadre non-paramétrique, en particulier dans le cadre des espaces à noyaux reproduisants. Cette analyse permet d’obtenir des taux de convergence optimaux pour l’algorithme de descente de gradient stochastique moyennée. L’analyse proposée s’applique à de nombreux cadres, et une attention particulière est portée à l’utilisation d’hypothèses minimales, ainsi qu’à l’étude des cadres où le nombre d’observations est connu à l’avance, ou peut évoluer. La seconde contribution est de proposer un algorithme, basé sur un principe d’accélération, qui converge à une vitesse optimale, tant du point de vue de l’optimisation que du point de vue statistique. Cela permet, dans le cadre non-paramétrique, d’améliorer la convergence jusqu’au taux optimal, dans certains régimes pour lesquels le premier algorithme analysé restait sous-optimal. Enfin, la troisième contribution de la thèse consiste en l’extension du cadre étudié au delà de la perte des moindres carrés : l’algorithme de descente de gradient stochastiqueest analysé comme une chaine de Markov. Cette approche résulte en une interprétation intuitive, et souligne les différences entre le cadre quadratique et le cadre général. Une méthode simple permettant d’améliorer substantiellement la convergence est également proposée. / The goal of supervised machine learning is to infer relationships between a phenomenon one seeks to predict and “explanatory” variables. To that end, multiple occurrences of the phenomenon are observed, from which a prediction rule is constructed. The last two decades have witnessed the apparition of very large data-sets, both in terms of the number of observations (e.g., in image analysis) and in terms of the number of explanatory variables (e.g., in genetics). This has raised two challenges: first, avoiding the pitfall of over-fitting, especially when the number of explanatory variables is much higher than the number of observations; and second, dealing with the computational constraints, such as when the mere resolution of a linear system becomes a difficulty of its own. Algorithms that take their roots in stochastic approximation methods tackle both of these difficulties simultaneously: these stochastic methods dramatically reduce the computational cost, without degrading the quality of the proposed prediction rule, and they can naturally avoid over-fitting. As a consequence, the core of this thesis will be the study of stochastic gradient methods. The popular parametric methods give predictors which are linear functions of a set ofexplanatory variables. However, they often result in an imprecise approximation of the underlying statistical structure. In the non-parametric setting, which is paramount in this thesis, this restriction is lifted. The class of functions from which the predictor is proposed depends on the observations. In practice, these methods have multiple purposes, and are essential for learning with non-vectorial data, which can be mapped onto a vector in a functional space using a positive definite kernel. This allows to use algorithms designed for vectorial data, but requires the analysis to be made in the non-parametric associated space: the reproducing kernel Hilbert space. Moreover, the analysis of non-parametric regression also sheds some light on the parametric setting when the number of predictors is much larger than the number of observations. The first contribution of this thesis is to provide a detailed analysis of stochastic approximation in the non-parametric setting, precisely in reproducing kernel Hilbert spaces. This analysis proves optimal convergence rates for the averaged stochastic gradient descent algorithm. As we take special care in using minimal assumptions, it applies to numerous situations, and covers both the settings in which the number of observations is known a priori, and situations in which the learning algorithm works in an on-line fashion. The second contribution is an algorithm based on acceleration, which converges at optimal speed, both from the optimization point of view and from the statistical one. In the non-parametric setting, this can improve the convergence rate up to optimality, even inparticular regimes for which the first algorithm remains sub-optimal. Finally, the third contribution of the thesis consists in an extension of the framework beyond the least-square loss. The stochastic gradient descent algorithm is analyzed as a Markov chain. This point of view leads to an intuitive and insightful interpretation, that outlines the differences between the quadratic setting and the more general setting. A simple method resulting in provable improvements in the convergence is then proposed.

Le comptage des points rationnels est un problème classique en géométrie diophantienne. On s’intéresse à des majorations du nombre des points rationnels de hauteur bornée qui sont valables pour toute hypersurface arithmétique de degré fixé d’un espace projectif. Dans ce but, on construit une famille d’hypersurfaces auxiliaires qui contiennent tous les points rationnels de hauteur bornée mais ne contiennent pas le point générique de l’hypersurface initiale. Plusieurs outils géométriques sont développés ou adaptés dans le cadre de la géométrie d’Arakelov et de la géométrie diophantienne afin d’appliquer la méthode des déterminants par la langage de la géométrie d’Arakelov, notamment une majoration et une minoration explicite uniforme de la fonction de Hilbert-Samuel arithmétrique d’une hypersurface. Pour un schéma projectif réduit de dimension pure sur un anneau d’entiers algébriques, on donne une majoration du nombre des places sur lesquelles la fibre ne soit pas réduite. Cette majoration est utile pour la construction des hypersurfaces auxiliaires mentionnées au-dessus. De plus, la géométrie sur un corps fini joue un rôle important dans ce problème. Dans ce travail, l’un des ingrédients clé dans ce travail est une majoration effective liée à une fonction de comptage des multiplicités des points rationnels dans une hypersurface projective réduite définie sur un corps fini, qui donne une description de la complexité de son lieu singulier. Pour ce problème de comptage de multiplicités, l’outil principal est la théorie d’intersection sur un espace projectif. / Counting rational points is a classical problem in Diophantine geometry. We are interested inupper bounds for the number of rational points of bounded height of an arithmetic hypersurface with bounded degree in a projective space. For this propose, we construct a family of auxiliary hypersurfaces which contain all these rational points of bounded height but don’t contain the generic point of this hypersurface. Several tools of Arakelov geometry and Diophantine geometry are developed or adapted in this work in order to apply the determinant method by the approach of Arakelov geometry, especially a uniform explicit upper bound and a uniform explicit lower bound of the arithmetic Hilbert-Samuel function of a hypersurface. For a reduced pure dimensional projective scheme over a ring of algebraic integers, we give an upper bound of the number of places over which the fiber is not reduced any longer. This upper bound is useful for the construction of these auxilary hypersurfaces mentioned above. In addition, the geometry over a finite field plays an important role in this problem. One of the key ingredients in this work is an e_ective upper bound for a counting function of multiplicities of rational points in a reduced projective hypersurface defined over a finite field, which gives a description of the complexity of its singular locus. For this problem of counting multiplicities, the major tool is intersection theory on a projective space

L'application exponentielle duale est une façon d'encoder les matrices de Stokes d'une connexion sur un fibré trivial sur la sphère de Riemann avec deux pôles : un pôle double en 0 et un pôle simple en l'infini.On donne ici une formule pour l'application exponentielle duale comme une série formelle non commutative. D'autres généralisations de cette formule sont données. / The exponential dual map is a way to encode Stokes data of a connection on a trivial vector bundle on the Riemann sphere with two poles: one double pole at 0 and one simple pole at infinity.We give here a formula for the exponential dual map expressed as a non commutative serie. Others generalizations of this formula are given.

Dans cette thèse, nous considérons le modèle de régression avec plusieurs unités expérimentales, où les erreurs forment un processus d'autocovariance dans un cadre générale, c'est-à-dire, un processus du second ordre (stationnaire ou non stationnaire) avec une autocovariance non différentiable le long de la diagonale. Nous sommes intéressés, entre autres, à l'estimation non paramétrique de la fonction de régression de ce modèle.Premièrement, nous considérons l'estimateur classique proposé par Gasser et Müller. Nous étudions ses performances asymptotiques quand le nombre d'unités expérimentales et le nombre d'observations tendent vers l'infini. Pour un échantillonnage régulier, nous améliorons les vitesses de convergence d'ordre supérieur de son biais et de sa variance. Nous montrons aussi sa normalité asymptotique dans le cas des erreurs corrélées.Deuxièmement, nous proposons un nouvel estimateur à noyau pour la fonction de régression, basé sur une propriété de projection. Cet estimateur est construit à travers la fonction d'autocovariance des erreurs et une fonction particulière appartenant à l'Espace de Hilbert à Noyau Autoreproduisant (RKHS) associé à la fonction d'autocovariance. Nous étudions les performances asymptotiques de l'estimateur en utilisant les propriétés de RKHS. Ces propriétés nous permettent d'obtenir la vitesse optimale de convergence de la variance de cet estimateur. Nous prouvons sa normalité asymptotique, et montrons que sa variance est asymptotiquement plus petite que celle de l'estimateur de Gasser et Müller. Nous conduisons une étude de simulation pour confirmer nos résultats théoriques.Troisièmement, nous proposons un nouvel estimateur à noyau pour la fonction de régression. Cet estimateur est construit en utilisant la règle numérique des trapèzes, pour approximer l'estimateur basé sur des données continues. Nous étudions aussi sa performance asymptotique et nous montrons sa normalité asymptotique. En outre, cet estimateur permet d'obtenir le plan d'échantillonnage optimal pour l'estimation de la fonction de régression. Une étude de simulation est conduite afin de tester le comportement de cet estimateur dans un plan d'échantillonnage de taille finie, en terme d'erreur en moyenne quadratique intégrée (IMSE). De plus, nous montrons la réduction dans l'IMSE en utilisant le plan d'échantillonnage optimal au lieu de l'échantillonnage uniforme.Finalement, nous considérons une application de la régression non paramétrique dans le domaine pharmacocinétique. Nous proposons l'utilisation de l'estimateur non paramétrique à noyau pour l'estimation de la fonction de concentration. Nous vérifions son bon comportement par des simulations et une analyse de données réelles. Nous investiguons aussi le problème de l'estimation de l'Aire Sous la Courbe de concentration (AUC), pour lequel nous proposons un nouvel estimateur à noyau, obtenu par l'intégration de l'estimateur à noyau de la fonction de régression. Nous montrons, par une étude de simulation, que le nouvel estimateur est meilleur que l'estimateur classique en terme d'erreur en moyenne quadratique. Le problème crucial de l'obtention d'un plan d'échantillonnage optimale pour l'estimation de l'AUC est discuté en utilisant l'algorithme de recuit simulé généralisé. / In this thesis, we consider the fixed design regression model with repeated measurements, where the errors form a process with general autocovariance function, i.e. a second order process (stationary or nonstationary), with a non-differentiable covariance function along the diagonal. We are interested, among other problems, in the nonparametric estimation of the regression function of this model.We first consider the well-known kernel regression estimator proposed by Gasser and Müller. We study its asymptotic performance when the number of experimental units and the number of observations tend to infinity. For a regular sequence of designs, we improve the higher rates of convergence of the variance and the bias. We also prove the asymptotic normality of this estimator in the case of correlated errors.Second, we propose a new kernel estimator of the regression function based on a projection property. This estimator is constructed through the autocovariance function of the errors, and a specific function belonging to the Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) associated to the autocovariance function. We study its asymptotic performance using the RKHS properties. These properties allow to obtain the optimal convergence rate of the variance. We also prove its asymptotic normality. We show that this new estimator has a smaller asymptotic variance then the one of Gasser and Müller. A simulation study is conducted to confirm this theoretical result.Third, we propose a new kernel estimator for the regression function. This estimator is constructed through the trapezoidal numerical approximation of the kernel regression estimator based on continuous observations. We study its asymptotic performance, and we prove its asymptotic normality. Moreover, this estimator allow to obtain the asymptotic optimal sampling design for the estimation of the regression function. We run a simulation study to test the performance of the proposed estimator in a finite sample set, where we see its good performance, in terms of Integrated Mean Squared Error (IMSE). In addition, we show the reduction of the IMSE using the optimal sampling design instead of the uniform design in a finite sample set.Finally, we consider an application of the regression function estimation in pharmacokinetics problems. We propose to use the nonparametric kernel methods, for the concentration-time curve estimation, instead of the classical parametric ones. We prove its good performance via simulation study and real data analysis. We also investigate the problem of estimating the Area Under the concentration Curve (AUC), where we introduce a new kernel estimator, obtained by the integration of the regression function estimator. We prove, using a simulation study, that the proposed estimators outperform the classical one in terms of Mean Squared Error. The crucial problem of finding the optimal sampling design for the AUC estimation is investigated using the Generalized Simulating Annealing algorithm.

The aim of this thesis is to introduce the reader to the theory of affine monoids and, thereby, to present some results. We therefore start with some auxiliary sections, containing general introductions to convex geometry, affine monoids and their algebras, Hilbert functions and Hilbert series. One central part of the thesis then is the description of an algorithm for computing the integral closure of an affine monoid. The algorithm has been implemented, in the computer program `normaliz´; it outputs the Hilbert basis and the Hilbert function of the integral closure (if the monoid is positive). Possible applications include: finding the lattice points in a lattice polytope, computing the integral closure of a monomial ideal and solving Diophantine systems of linear inequalities. The other main part takes up the notion of multigraded Hilbert function: we investigate the effect of the growth of the Hilbert function along arithmetic progressions (within the grading set) on global growth. This study is motivated by the case of a finitely generated module over a homogeneous ring: there, the Hilbert function grows with a degree which is well determined by the degree of the Hilbert polynomial (and the Krull dimension).