Consideramos o fluxo de Reeb associado a uma forma de contato em S¹ x S² que induz a estrutura de contato tight. Assumimos que o fluxo admite um par de órbitas periódicas L0 e L1 cujo link L = L0 L1 é transversalmente isotópico a ( S¹ x )( S¹ x ), em que n = (0,0,1) e s = (0,0,1) são os pólos norte e sul de S², respectivamente. O objetivo é provar que, nestas condições, existem infinitas órbitas periódicas no complementar desse link cujas classes de homotopia no complementar do link são prescritas de acordo com os números de rotação de L0 e L1. / We consider the Reeb flow associated to a contact form on S¹ x S² which induces a tight contact structure. We assume that the flow admits a pair of closed orbits L0 and L1 whose link L = L0 L1 is transversely isotopic to (S¹ x)(S¹ x), where n = (0,0,1) and s =(0,0,1) are the north and south poles of S², respectively. The main goal is to prove that, under these conditions, there exit infinitely many closed orbits in the complement of this link whose homotopy classes in the complement of this link are prescribed according to the rotation numbers of L0 and L1.

Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato $\\lambda$ definida numa 3-variedade compacta e conexa M. Assumimos que $\\lambda$ é tight e a primeira classe de Chern da estrutura de contato $\\xi=\\ker\\lambda$ se anula sobre $\\pi_2(M)$. No nosso primeiro resultado, supomos que M é fechada e existe uma órbita fechada L do fluxo de Reeb que é um p-nó trivial com número de auto-enlaçamento $-1/p$. Supomos, além disso, que o número de rotação transversal da p-ésima iterada de L é estritamente menor do que 1. Nestas condições, provamos que existe uma órbita fechada (de Reeb) contrátil geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L cujo número de rotação transversal é 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que M é uma 3-variedade cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existem órbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultado é uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja $\\lambda$ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, então ou existe uma órbita fechada contrátil com índice de Conley-Zehnder 2 ou M é folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste último caso, M é difeomorfa a um toro sólido e existe uma órbita fechada não-contrátil em M que é ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. / In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form $\\lambda$ defined on a compact, connected 3-manifold M. Suppose that the first Chern class of $\\xi=\\ker\\lambda$ vanish on $\\pi_2(M)$. In our first result, we assume that M is closed and there exists a closed Reeb orbit L which is a p-unknotted, has self-linking number $-1/p$ and the transverse rotation number of the p-th iterate of L is less than 1. Under these conditions, we verify that there exists a contractible closed Reeb orbit which is geometrically distinct from L and not linked to L with transverse rotation number 1. We also prove a version of this result when M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus and invariant by the flow and, moreover, there does not exist closed Reeb orbits on the boundary. Our second result is a dynamical characterization of the solid torus. We assume that $\\lambda$ is a contact form on a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus. Under the hypothesis of $\\lambda$ being non-degenerate, if the flow is tangent to $\\partial M$ and satisfies some twist conditions on the boundary, then either there exists a contractible closed Reeb orbit which has Conley-Zehnder index 2 or M is foliated by disks transverse to the Reeb flow. In this last case, we see that M is diffeomorphic to a solid torus and there exists a non-contractible closed Reeb orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.

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Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato $\\lambda$ definida numa 3-variedade compacta e conexa M. Assumimos que $\\lambda$ é tight e a primeira classe de Chern da estrutura de contato $\\xi=\\ker\\lambda$ se anula sobre $\\pi_2(M)$. No nosso primeiro resultado, supomos que M é fechada e existe uma órbita fechada L do fluxo de Reeb que é um p-nó trivial com número de auto-enlaçamento $-1/p$. Supomos, além disso, que o número de rotação transversal da p-ésima iterada de L é estritamente menor do que 1. Nestas condições, provamos que existe uma órbita fechada (de Reeb) contrátil geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L cujo número de rotação transversal é 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que M é uma 3-variedade cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existem órbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultado é uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja $\\lambda$ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordo é difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, então ou existe uma órbita fechada contrátil com índice de Conley-Zehnder 2 ou M é folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste último caso, M é difeomorfa a um toro sólido e existe uma órbita fechada não-contrátil em M que é ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. / In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form $\\lambda$ defined on a compact, connected 3-manifold M. Suppose that the first Chern class of $\\xi=\\ker\\lambda$ vanish on $\\pi_2(M)$. In our first result, we assume that M is closed and there exists a closed Reeb orbit L which is a p-unknotted, has self-linking number $-1/p$ and the transverse rotation number of the p-th iterate of L is less than 1. Under these conditions, we verify that there exists a contractible closed Reeb orbit which is geometrically distinct from L and not linked to L with transverse rotation number 1. We also prove a version of this result when M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus and invariant by the flow and, moreover, there does not exist closed Reeb orbits on the boundary. Our second result is a dynamical characterization of the solid torus. We assume that $\\lambda$ is a contact form on a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to a torus. Under the hypothesis of $\\lambda$ being non-degenerate, if the flow is tangent to $\\partial M$ and satisfies some twist conditions on the boundary, then either there exists a contractible closed Reeb orbit which has Conley-Zehnder index 2 or M is foliated by disks transverse to the Reeb flow. In this last case, we see that M is diffeomorphic to a solid torus and there exists a non-contractible closed Reeb orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.

Consideramos o fluxo de Reeb associado a uma forma de contato em S¹ x S² que induz a estrutura de contato tight. Assumimos que o fluxo admite um par de órbitas periódicas L0 e L1 cujo link L = L0 L1 é transversalmente isotópico a ( S¹ x )( S¹ x ), em que n = (0,0,1) e s = (0,0,1) são os pólos norte e sul de S², respectivamente. O objetivo é provar que, nestas condições, existem infinitas órbitas periódicas no complementar desse link cujas classes de homotopia no complementar do link são prescritas de acordo com os números de rotação de L0 e L1. / We consider the Reeb flow associated to a contact form on S¹ x S² which induces a tight contact structure. We assume that the flow admits a pair of closed orbits L0 and L1 whose link L = L0 L1 is transversely isotopic to (S¹ x)(S¹ x), where n = (0,0,1) and s =(0,0,1) are the north and south poles of S², respectively. The main goal is to prove that, under these conditions, there exit infinitely many closed orbits in the complement of this link whose homotopy classes in the complement of this link are prescribed according to the rotation numbers of L0 and L1.

Newton's method associated to a complex holomorphic function f is defined by the dynamical system Nf(z) = z – f(z) / f'(z). As a root-finding algorithm, a natural question is to understand the dynamics of Nf about its fixed points, as they correspond to the roots of the function f. In other words, we would like to understand the basins of attraction of Nf, i.e., the sets of points that converge to a root of f under the iteration of Nf. Basins of attraction are actually just one type of stable component or component of the Fatou set, defined as the set of points for which the family of iterates is defined and normal locally. The Julia set or set of chaos is its complement (taken on the Riemann sphere). The study of the topology of these two sets is key in Holomorphic Dynamics. In 1990, Mitsuhiro Shishikura proved that, for any non-constant polynomial P, the Julia set of NP is connected. In fact, he obtained this result as a consequence of a much more general theorem for rational functions: If the Julia set of a rational function R is disconnected, then R has at least two weakly repelling fixed points. With the final goal of proving the transcendental version of this theorem, in this Thesis we see that: If a transcendental meromorphic function f has either a multiply-connected attractive basin, or a multiply-connected parabolic basin, or a multiply-connected Fatou component with simply-connected image, then f has at least one weakly repelling fixed point. Our proof for this result is mainly based in two techniques: quasiconformal surgery and the study of the existence of virtually repelling fixed points. We conclude the Thesis with an idea of the strategy for the proof of the case of Herman rings, as well as some ideas for the case of Baker domains, which is left as a subject for a future project.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 773931 bytes, checksum: b0a68b67919eb9c2b9b8534b4a2a7818 (MD5) Previous issue date: 2012-02-16 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this word, we did a detailed study of the Baum-Bott s theorem in two situations. To do this, we examine this theorem in [2] and its proof given by S. S. Chern using methods of differential geometry, in which case the non-degenerated singularities for one-dimensional holomorphic foliation.Then use the article [31] of M. Soares, where he retraces the Chern s proof with a slight change, thus eliminating the possibility of non-degenerated. The result of great importance because it is applied to meromorphic vector fields, which are abundant and generate one-dimensional singular holomorphic foliations in compact manifolds. As a way to apply this result, we deal with the problem of Poincare in [28] to limit the degree of an invariant curve depending on the degree of the foliation. This problem was motivated by the work of Darboux with respect to algebraic integrability foliations in [13]. We gathered the results of Cerveau and Lins Neto in [12] and also M.Carnicer in [9] about the problem of Poincare, that were introduced about 100 years later the work of Poincaré. Finally we also explored the contribution of M. Soares to this problem in [32]. / Fizemos, neste trabalho, um estudo detalhado do teorema de Baum-Bott em duas situações. Para tal feito, analisamos esse teorema em [2] e a sua prova dada por S. S. Chern através de métodos de geometria diferencial, no caso em que as singularidades da folheação holomorfa de dimensão 1 são do tipo não-degeneradas. Depois usamos o artigo [31] de M. Soares, onde ele refaz essa prova de Chern com uma ligeira mudança, retirando assim a hipótese de não-degeneregência. Resultado esse de grande importância pelo fato de ser aplicado a campos de vetores meromorfos, que são abundantes e que geram folheações holomorfas singulares de dimensão 1 em variedade compactas. Como maneira de aplicar tal resultado, lidamos com o problema de Poincaré em [28], que trata de limitar o grau de uma curva invariante em função do grau da folheação. Esse problema foi motivado pelo trabalho de Darboux com respeito á integrabilidade algébrica de folheações em [13]. Reunimos os resultados de Cerveau e Lins neto em [12] e também de M. Carnicer em [9] a respeito do problema de Poincaré, que foram apresentados cerca de 100 anos depois do trabalho de Poincaré. E por fim exploramos a contribuição de M. Soares para esse problema em [32].

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 422655 bytes, checksum: dcb5ae7d292bcad597f8940738927bd6 (MD5) Previous issue date: 2011-08-17 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The present work discusses a study of extactic curves in the projective plane, providing a method that guarantees the existence of -rst integrals for certain vector fields. To achieve this goal, this study covers the following topics: vector fields, first integrals (with the main result presented in Jouanolou's Theorem), holomorphic foliations (in particular, foliations on the projective plane) and algebraic solutions (where the main result is the well-known theorem of Darboux, which guarantees the existence of rational first integrals for algebraic foliations on the projective plane). / O presente trabalho aborda um estudo das curvas estáticas no plano projetivo, proporcionando um método que garante a existência de integrais primeiras para certos campos vetorias. Para atingir tal objetivo, o presente estudo abrange os seguintes tópicos: Campos Vetoriais, Integrais Primeiras (tendo como principal resultado apresentado o Teorema de Jouanolou), Folheações Holomorfas (em particular, folheações no plano projetivo) e as Soluções Algébricas (onde o principal resultado é o conhecido teorema de Darboux, que garante a existência de integrais primeiras racionais para folheações algébricas no plano projetivo).

We characterize invariant measures for quadratic polynomial Julia sets with no interior. We prove that besides the harmonic measure —the only one that is even and invariant—, all others are generated by a suitable odd measure. / En este artículo caracterizamos medidas invariantes sobre conjuntos de Julia sin interior asociados con polinomios cuadráticos.  Probamos que más allá de la medida armónica —la única par e invariante—, el resto son generadas por su parte impar.

Orientador: Mario Carvalho de Matos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-06T01:05:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mujica_Ximena_D.pdf: 1094334 bytes, checksum: c72f7c14d8c66006d65d81bf2ca3fcfa (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Neste trabalho estendemos os conceitos de operadores t-somantes e s-nucleares apresentados por Pietsch em seu livro Operator Ideals, para aplicações multilineares, polinômios e funções holomorfas, estabelecendo uma relação de dualidade entre os mesmos. Apresentamos também um teorema de dominação para aplicações e polinômios t (p; q)-somantes, mostrando a sua relação com as aplicações e polinômios semi-integrais, bem como um teorema de fatoração para aplicações e polinômios s (p)-nucleares / Abstract: In this work we extend the concepts of t-summing and s-nuclear operators presented by Pietsch in his book Operator Ideals, to multilinear mappings, polynomials and holomorphic functions, thus establishing a duality relation between them. We also present a domination theorem for t(p; q)-summing mappings and polynomials, showing their relation with semi-integral mappings and polynomials, as well as a factorization theorem for s(p)-nuclear mappings and polynomials / Doutorado / Analise Funcional / Doutor em Matemática