Neste trabalho, vamos apresentar uma prova elementar de um resultado obtido originalmente por M. Wiegner em 1986 sobre o decaimento na norma L2 de soluções das equações de Navier-Stokes incompressíveis em dimensão 2 ou 3, desenvolvendo em detalhe uma derivação alternativa proposta por T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz e P. Zingano recentemente em 2002. / In this work, we will present an elementary derivation of an important result originally obtained by M. Wiegner in 1986 concerning the L2 decay of solutions to the incompressible Navier-Stokes equations in space dimension 2 or 3. Here, we give a detailed derivation of an alternative approach recently developed by T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz and P. Zingano in 2002.

Neste trabalho estuda-se analiticamente um modelo de turbulência com condições de fronteira 2¼-periódicas. Para isso, considera-se uma família de modelos de Simulação em Grandes Escalas (LES) que é baseada na deconvolução aproximada de Van Cittert, onde especifica-se o filtro diferencial e suas propriedades. Para conhecer melhor os modelos de fecho, especifica-se os requisitos para um modelo de fecho ser satisfatório. Define-se uma norma e mostra-se que esta é equivalente à norma L2, sendo usada no estudo da estabilidade (solução satisfazendo uma desigualdade de energia) e da existência de soluções fracas do modelo. Para mostrar a existência de soluções, além de usar a norma definida neste trabalho, usa-se o método de Faedo-Galerkin e a propriedade antissimétrica pertinente ao termo não linear do modelo. / In this work we study analytically a model of turbulence with 2¼- periodic boundary conditions. To that end, we consider a family of Large Eddy Simulation (LES) models based on the van Cittert approximate deconvolution procedure, and we also specify a differential filter and its properties. To learn more about the closure models, we specify the requirements of a satisfactory closure model. We define a norm which is shown to be equivalent to the L2-norm and is used to study stability (solutions satisfy an energy inequality) and existence of weak solutions of the model. To show the existence of solutions, we use the Faedo-Galerkin method and the model’s nonlinear term skew-symmetry property.

O objetivo deste trabalho é a simulação numérica de escoamentos incompressíveis bidimensionais em dutos com expansão brusca, considerando o raio de expansão de 3 : 1. As equações governantes implementadas são as de Navier, que junto com relações constitutivas para a tensão visam representar comportamentos não newtonianos. A integração temporal é feita usando o esquema explícito de Runge-Kutta com três estágios e de segunda ordem; as derivadas espaciais são aproximadas pelo método de diferenças finitas centrais. Escoamentos em expansões bruscas para fluidos newtonianos apresentam um número de Reynolds crítico, dependente do raio de expansão, na qual três soluções passam a ser encontradas: uma solução sim étrica instável e duas soluções assimétricas rebatidas estáveis. Aumentando o número de Reynolds, a solução passa a ser tridimensional e dependente do tempo. Dessa forma, o objetivo é encontrar as diferenças que ocorrem no comportamento do fluxo quando o fluido utilizado possui características não newtonianas. As relações constitutivas empregadas pertencem à classe de fluidos newtonianos generalizados: power-law, Bingham e Herschel-Bulkley. Esses modelos prevêem comportamentos pseudoplásticos e dilatantes, plásticos e viscoplásticos, respectivamente. Os resultados numéricos mostram diferenças entre as soluções newtonianas e não newtonianas para Reynolds variando de 30 a 300. Os valores de Reynolds críticos para o modelo power-law não apresentaram grandes diferenças em comparação com os da solução newtoniana. Algumas variações foram percebidas nos perfis de velocidade. Entretanto, os resultados obtidos com os modelos de Bingham e Herschel-Bulkley apresentaram diferenças significativas quando comparados com os newtonianos com o aumento do parâmetro adimensional Bingham; à medida que Bingham é aumentado, o tamanho dos vórtices diminui. Além disso, os perfis de velocidade apresentam diferenças relevantes, uma vez que o fluxo possui regiões onde o fluido se comporta como sólido.

Um algoritmo para a simulação numérica de escoamentos laminares incompressíveis tridimensionais de fluidos viscosos é proposto neste trabalho. A equação de conservação da energia, assim como as forças de flutuação devido à ação da gravidade, calculadas através da aproximação de Bousinessq, são implementadas para analisar problemas não-isotérmicos. Emprega-se o esquema de Taylor-Galerkin de um passo para a dicretização no tempo e no espaço, respectivamente. O elemento finito empregado é o hexaédrico isoparamétrico de oito nós. Adota-se um enfoque de pseudo-compressibilidade o que permite escrever a equação da continuidade em termos da pressão, a qual é resolvida implicitamente através do Método dos Gradientes Conjugados com Precondicionamento, enquanto as equações de conservação de quantidade de movimento e de energia são resolvidas explicitamente. A integração das matrizes de elemento é efetuada analiticamente considerando o elemento não distorcido e usando um único ponto de integração para avaliar a matriz Jacobiana. O programa é codificado na linguagem FORTRAN 90 e vetorizado para aproveitar as características dos processadores vetoriais existentes nos atuais supercomputadores. / The formulation and application of an algorithm to simulate numerically 3-D incompressible laminar flows is presented in this work. The energy equation and buoyancy forces, which are calculated by Bousinessq approximation, are also implemented to analyse non-isothermic problems. The one-step Taylor-Galerkin scheme is used in order to obtain a useful numerical model. The eight node isoparametric hexahedron finite element is employed. A pseudocompressibility approach is adopted, allowing to write the continuity equation in terms of the pressure. The continuity equation is solved implicitly by the Conjugate Gradient Method with a preconditioning technique, whereas the Equation of Momentum and Energy Conservation are solved explicitly. Element matrices are calculated analytically considering undistorted elements and using one integration point to evaluate the Jacobian Matrix. The code is written in FORTRAN 90 language, and is vectorized in order to take advantage of fast vectorial processors existing in modern supercomputers.

O objetivo deste trabalho é a simulação numérica de escoamentos incompressíveis bidimensionais em dutos com expansão brusca, considerando o raio de expansão de 3 : 1. As equações governantes implementadas são as de Navier, que junto com relações constitutivas para a tensão visam representar comportamentos não newtonianos. A integração temporal é feita usando o esquema explícito de Runge-Kutta com três estágios e de segunda ordem; as derivadas espaciais são aproximadas pelo método de diferenças finitas centrais. Escoamentos em expansões bruscas para fluidos newtonianos apresentam um número de Reynolds crítico, dependente do raio de expansão, na qual três soluções passam a ser encontradas: uma solução sim étrica instável e duas soluções assimétricas rebatidas estáveis. Aumentando o número de Reynolds, a solução passa a ser tridimensional e dependente do tempo. Dessa forma, o objetivo é encontrar as diferenças que ocorrem no comportamento do fluxo quando o fluido utilizado possui características não newtonianas. As relações constitutivas empregadas pertencem à classe de fluidos newtonianos generalizados: power-law, Bingham e Herschel-Bulkley. Esses modelos prevêem comportamentos pseudoplásticos e dilatantes, plásticos e viscoplásticos, respectivamente. Os resultados numéricos mostram diferenças entre as soluções newtonianas e não newtonianas para Reynolds variando de 30 a 300. Os valores de Reynolds críticos para o modelo power-law não apresentaram grandes diferenças em comparação com os da solução newtoniana. Algumas variações foram percebidas nos perfis de velocidade. Entretanto, os resultados obtidos com os modelos de Bingham e Herschel-Bulkley apresentaram diferenças significativas quando comparados com os newtonianos com o aumento do parâmetro adimensional Bingham; à medida que Bingham é aumentado, o tamanho dos vórtices diminui. Além disso, os perfis de velocidade apresentam diferenças relevantes, uma vez que o fluxo possui regiões onde o fluido se comporta como sólido.

O objetivo deste trabalho é a simulação numérica de escoamentos incompressíveis bidimensionais em dutos com expansão brusca, considerando o raio de expansão de 3 : 1. As equações governantes implementadas são as de Navier, que junto com relações constitutivas para a tensão visam representar comportamentos não newtonianos. A integração temporal é feita usando o esquema explícito de Runge-Kutta com três estágios e de segunda ordem; as derivadas espaciais são aproximadas pelo método de diferenças finitas centrais. Escoamentos em expansões bruscas para fluidos newtonianos apresentam um número de Reynolds crítico, dependente do raio de expansão, na qual três soluções passam a ser encontradas: uma solução sim étrica instável e duas soluções assimétricas rebatidas estáveis. Aumentando o número de Reynolds, a solução passa a ser tridimensional e dependente do tempo. Dessa forma, o objetivo é encontrar as diferenças que ocorrem no comportamento do fluxo quando o fluido utilizado possui características não newtonianas. As relações constitutivas empregadas pertencem à classe de fluidos newtonianos generalizados: power-law, Bingham e Herschel-Bulkley. Esses modelos prevêem comportamentos pseudoplásticos e dilatantes, plásticos e viscoplásticos, respectivamente. Os resultados numéricos mostram diferenças entre as soluções newtonianas e não newtonianas para Reynolds variando de 30 a 300. Os valores de Reynolds críticos para o modelo power-law não apresentaram grandes diferenças em comparação com os da solução newtoniana. Algumas variações foram percebidas nos perfis de velocidade. Entretanto, os resultados obtidos com os modelos de Bingham e Herschel-Bulkley apresentaram diferenças significativas quando comparados com os newtonianos com o aumento do parâmetro adimensional Bingham; à medida que Bingham é aumentado, o tamanho dos vórtices diminui. Além disso, os perfis de velocidade apresentam diferenças relevantes, uma vez que o fluxo possui regiões onde o fluido se comporta como sólido.

Neste trabalho estuda-se analiticamente um modelo de turbulência com condições de fronteira 2¼-periódicas. Para isso, considera-se uma família de modelos de Simulação em Grandes Escalas (LES) que é baseada na deconvolução aproximada de Van Cittert, onde especifica-se o filtro diferencial e suas propriedades. Para conhecer melhor os modelos de fecho, especifica-se os requisitos para um modelo de fecho ser satisfatório. Define-se uma norma e mostra-se que esta é equivalente à norma L2, sendo usada no estudo da estabilidade (solução satisfazendo uma desigualdade de energia) e da existência de soluções fracas do modelo. Para mostrar a existência de soluções, além de usar a norma definida neste trabalho, usa-se o método de Faedo-Galerkin e a propriedade antissimétrica pertinente ao termo não linear do modelo. / In this work we study analytically a model of turbulence with 2¼- periodic boundary conditions. To that end, we consider a family of Large Eddy Simulation (LES) models based on the van Cittert approximate deconvolution procedure, and we also specify a differential filter and its properties. To learn more about the closure models, we specify the requirements of a satisfactory closure model. We define a norm which is shown to be equivalent to the L2-norm and is used to study stability (solutions satisfy an energy inequality) and existence of weak solutions of the model. To show the existence of solutions, we use the Faedo-Galerkin method and the model’s nonlinear term skew-symmetry property.

Um algoritmo para a simulação numérica de escoamentos laminares incompressíveis tridimensionais de fluidos viscosos é proposto neste trabalho. A equação de conservação da energia, assim como as forças de flutuação devido à ação da gravidade, calculadas através da aproximação de Bousinessq, são implementadas para analisar problemas não-isotérmicos. Emprega-se o esquema de Taylor-Galerkin de um passo para a dicretização no tempo e no espaço, respectivamente. O elemento finito empregado é o hexaédrico isoparamétrico de oito nós. Adota-se um enfoque de pseudo-compressibilidade o que permite escrever a equação da continuidade em termos da pressão, a qual é resolvida implicitamente através do Método dos Gradientes Conjugados com Precondicionamento, enquanto as equações de conservação de quantidade de movimento e de energia são resolvidas explicitamente. A integração das matrizes de elemento é efetuada analiticamente considerando o elemento não distorcido e usando um único ponto de integração para avaliar a matriz Jacobiana. O programa é codificado na linguagem FORTRAN 90 e vetorizado para aproveitar as características dos processadores vetoriais existentes nos atuais supercomputadores. / The formulation and application of an algorithm to simulate numerically 3-D incompressible laminar flows is presented in this work. The energy equation and buoyancy forces, which are calculated by Bousinessq approximation, are also implemented to analyse non-isothermic problems. The one-step Taylor-Galerkin scheme is used in order to obtain a useful numerical model. The eight node isoparametric hexahedron finite element is employed. A pseudocompressibility approach is adopted, allowing to write the continuity equation in terms of the pressure. The continuity equation is solved implicitly by the Conjugate Gradient Method with a preconditioning technique, whereas the Equation of Momentum and Energy Conservation are solved explicitly. Element matrices are calculated analytically considering undistorted elements and using one integration point to evaluate the Jacobian Matrix. The code is written in FORTRAN 90 language, and is vectorized in order to take advantage of fast vectorial processors existing in modern supercomputers.

Neste trabalho, vamos apresentar uma prova elementar de um resultado obtido originalmente por M. Wiegner em 1986 sobre o decaimento na norma L2 de soluções das equações de Navier-Stokes incompressíveis em dimensão 2 ou 3, desenvolvendo em detalhe uma derivação alternativa proposta por T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz e P. Zingano recentemente em 2002. / In this work, we will present an elementary derivation of an important result originally obtained by M. Wiegner in 1986 concerning the L2 decay of solutions to the incompressible Navier-Stokes equations in space dimension 2 or 3. Here, we give a detailed derivation of an alternative approach recently developed by T. Hagstrom, H. Kreiss, J. Lorenz and P. Zingano in 2002.

Neste trabalho estuda-se analiticamente um modelo de turbulência com condições de fronteira 2¼-periódicas. Para isso, considera-se uma família de modelos de Simulação em Grandes Escalas (LES) que é baseada na deconvolução aproximada de Van Cittert, onde especifica-se o filtro diferencial e suas propriedades. Para conhecer melhor os modelos de fecho, especifica-se os requisitos para um modelo de fecho ser satisfatório. Define-se uma norma e mostra-se que esta é equivalente à norma L2, sendo usada no estudo da estabilidade (solução satisfazendo uma desigualdade de energia) e da existência de soluções fracas do modelo. Para mostrar a existência de soluções, além de usar a norma definida neste trabalho, usa-se o método de Faedo-Galerkin e a propriedade antissimétrica pertinente ao termo não linear do modelo. / In this work we study analytically a model of turbulence with 2¼- periodic boundary conditions. To that end, we consider a family of Large Eddy Simulation (LES) models based on the van Cittert approximate deconvolution procedure, and we also specify a differential filter and its properties. To learn more about the closure models, we specify the requirements of a satisfactory closure model. We define a norm which is shown to be equivalent to the L2-norm and is used to study stability (solutions satisfy an energy inequality) and existence of weak solutions of the model. To show the existence of solutions, we use the Faedo-Galerkin method and the model’s nonlinear term skew-symmetry property.