Abstract   The purpose of this degree project is to examine what impact working with physical objects has on children’s learning process concerning addition. We want to explore what addition strategies can be exercised using the game “Twice as much”. We have observed children in school year 1. To get a good insight in which addition strategies the children chose we used so called participating observations. With the game the children practice addition, subtraction and to double numbers. The children could use dried beans as physical objects. To sum up what we have seen that you can, through working with physical objects, create a learning environment so that the children give each other positive or negative reinforcement, the children converse/interact with the pedagogue and the other children, which gives the pedagogue the chance to observe the children’s learning process and development from a cognitive perspective. Learning by seeing and learning by doing (see page 11) work well in combination with laboratory material. The results show that many addition strategies were used in the game “Twice as much”. The most widely used strategies were finger counting, finger numbers and by starting with the largest number. / Sammanfattning   Syftet med vårt examensarbete är att undersöka vilken påverkan ett laborativt arbetssätt har på skolbarnens inlärningsprocess gällande addition. Vi vill även ta reda på vilka additionsstrategier man kan öva genom spelet Dubbelt upp. Vi har observerat barn som går i år ett och vi har använt oss av deltagande observation för att få en nära inblick i vilka additionsstrategier barnen väljer. Med spelet tränar barnen på bl.a. addition, subtraktion och att dubblera. Som laborativt material till spelet fick de använda sig av torkade bönor. Sammanfattningsvis har vi sett att man genom ett laborativt arbetssätt kan skapa en inlärningsmiljö där barnen ger varandra negativ eller positiv förstärkning samt att barnen konverserar med pedagog eller medspelare vilket ger pedagogen en chans att se barnens inlärning och utveckling ur ett kognitivt perspektiv. Visuell och kinestetisk inlärningstyp (se sida 11) passar bra tillsammans med ett laborativt material. Resultaten visar att många additionsstrategier användes i spelet Dubbelt upp. De mest förekommande var fingerräkning, fingertal och börja med det största talet.

Denna studie riktar sig till lärare i matematik och undersöker om ett laborativt arbetssätt kan hjälpa elever i matematiksvårigheter. Syftet är att få en klarhet i om ett laborativt arbetssätt kan hjälpa elever i matematiksvårigheter. Studien är en litteraturstudie där forskares resultat presenteras och jämförs med varandra. Kriterier för sökningen har under hela studien varit viktiga, då syftet i artiklarna måste stämma överens med vårt syfte. Det har varit viktigt att de olika artiklarna har samma syn på nyckelbegreppen som vi har. Detta för att en jämförelse ska vara möjlig. Resultatet av studien visar att de flesta förespråkar ett laborativt och konkret arbetssätt, inte bara för elever i matematiksvårigheter, utan för att skapa en tydlighet för alla elever. Slutsatsen vi drar är att matematiken måste förklaras på ett tydligt sätt för elever i matematiksvårigheter, och då är ett laborativt arbetssätt användbart.

Syftet med denna studie är att synliggöra några elevers svårigheter när det gäller de centrala aspekterna i grundläggande taluppfattning, med fokus på addition och subtraktion. Studien grundar sig på 13 intervjuer med elever i årskurs 3-5. Som utgångsmaterial för intervjuerna användes den muntliga diagnosen Individuella samtal som ingår i Diagnostiska uppgifter i matematik för användning i de tidiga skolåren (Skolverket, 2010c). I samband med intervjuerna observerades även hur eleverna konkretiserar uppgifterna med stöd av sina fingrar och tiobasmaterial. Den muntliga diagnosen ger en tydlig bild av vilka strategier eleverna använder sig av när de löser en uppgift samt visar vilka svårigheter eleverna har när det gäller grundläggande taluppfattning. Studiens resultat visar att eleverna har svårigheter med den grundläggande taluppfattningen, dock i varierande grad. Eleverna använder sig till stor del av en och samma strategi där de vid addition använder sig av uppåträkning med stöd av fingerräkning och vid subtraktion använder de sig antingen av uppåträkning eller nedåträkning med fingrarna som stöd. Flera av eleverna verkar ha lärt sig en strategi för addition och en för subtraktion som de sedan konsekvent använder sig av när de ska lösa en uppgift. Eleverna reflekterar vare sig över om svaret de kommer fram till eller om den strategi de använder är rimlig och effektiv. Många av eleverna visar att de kan tiokamraterna, men de har svårt att generalisera den kunskapen när de ska lösa andra uppgifter där talet tio inte implicit används i uppgiften. Även dubblorna visar de att de kan men det tycks se de som kunskaper som skilda från varandra där de vare sig har förståelse eller ser hur de kan använda sig av den kunskapen i andra sammanhang. Eleverna uttrycker att de tycker att subtraktion är svårt, vilket kan tyda på att de inte ser sambandet mellan addition och subtraktion. I mina intervjuer visade det sig på så vis att de elever som inte behärskade talraden till fullo också visade på stora svårigheter med de nakna additions- och subtraktionsuppgifterna.

Matematiken består av flera abstrakta begrepp, men frågan är hur läraren ska arbeta för att eleven ska nå vägen till det abstrakta med förståelse. Att koppla ett laborativt material till exempelvis en abstrakt siffra och samtidigt skapa en förståelse för siffran är inte för alla elever självklart. Lärarens roll blir därför viktig och vår studie grundar sig i lärarens arbetssätt i undervisningen. Vårt syfte med studien är att undersöka hur lärarna arbetar med bron, från ett okänt begrepp till att eleven har fått en förståelse för begreppet. Vi vill även ta reda på hur lärarna väljer att motivera sina val av arbetssätt som används för att bygga bron. Genom fyra observationer och fyra kvalitativa intervjuer med lärare som undervisar i årskurs 1, visades vikten av att arbeta med ett varierande arbetssätt för att skapa en miljö som ger förutsättningar för samtliga elever att nå en förståelse för abstrakt matematik. Ett mönster som belystes genomgående i undersökningen var att varje nytt område i matematik inleddes med ett laborativt material som var kopplat till elevens tidigare erfarenheter. I bron över till förståelsen följde ett flertal olika arbetssätt. Resultatet visade betydelsen av att om eleven får möjlighet till att utveckla inre bilder och tankar genom olika arbetssätt ges möjligheter för att nå en förståelse och målet kan därmed uppnås. Det som tidigare var abstrakt blir därmed konkret och förståeligt.

Detta är en empirisk studie med fokus på artefakters påverkan av elevers lösningsstrategier för problemlösningsuppgifter. Studiens syfte har varit att undersöka hur artefakter påverkar elevernas problemlösningsprocess samt hur eleverna använde artefakter när de löser en problemlösningsuppgift. Fokus har legat på elever i årskurs tre då de antas ha mer erfarenheter av både artefaktanvändning samt problemlösningsuppgifter. Studien består av observationer av två klasser under fyra olika tillfällen. Fokus har då legat  vid hur eleverna löser ett matematiskt problem med valfri metod jämfört med när de använder artefakter. Studiens resultat har analyserats med hjälp av Heddens teori om att gå från det konkreta tänkandet till det abstrakta samt ett metodologiskt analysverktyg. Resultatet visar att artefakternas effekt vid problemlösningsprocessen grundar sig i elevernas inställning till artefakter samt tidigare erfarenheter av materialet.

Denna studie handlar om hur fyra olika lärare definierar och ser på användandet av konkret material, samt vilka möjligheter och hinder de ser med det konkreta materialet i matematikundervisningen. Studiens forskningsfrågor har besvarats med hjälp av fyra stycken semistrukturerade intervjuer med lärare från årskurs 1 – 3. Frågorna behandlade bland annat om hur lärarna definierade konkret material, hur de använde det i matematikundervisningen och om de såg några möjligheter och hinder med det i undervisningen. Resultatet antyder på att alla lärare har likasinnad syn på konkret material när det kommer till matematikundervisningen. Lärarna strävar åt samma mål, att eleverna ska få en färdighetsträning i matematik för att lättare kunna klara av det abstrakta.  Syftet med att använda konkret material i undervisningen skiljer sig lite åt. Det som skiljde lärarna åt lite grann var syftet och användandet av konkret material i matematikundervisningen. De hinder lärarna berättade om, var att det kan finnas en risk att eleverna har svårt att använda huvudräkning och blir för fästa med att använda konkret material. Eleverna får svårt att ”tänka själva” och låser sig för de inte vet hur de ska räkna utan det konkreta materialet. Man kan se en antydan på att alla lärare arbetar utifrån ”Learning with models” för att eleverna ska lära sig grunden till att hur man kan räkna med hjälp av olika strategier. Tre av fyra lärare använder även ”Learning to model” där eleverna själva får testa nya strategier inom matematiken. / This study is about how four different teachers define and use concrete material and also what opportunities and obstacles there are with the concrete material in mathematical education. The research questions for this study have been answered by four semi structured interviews with teachers from grades 1 – 3. The interviews contained nine questions such as how they defined concrete material, how they used it in the teaching and if they saw any opportunities and/or obstacles in the education. The result indicate that all teachers have a similar view of concrete material and the purpose of using concrete material in education differs a little. However, everyone strives for the same goal that the students will have a mathematical skills training to make it easier for them to handle the more abstract thinking.  What separated the teachers a bit was the purpose and use of concrete material I mathematics teaching. The obstacles that the teachers saw was that there may be a risk that students will find it difficult to use mental calculation and become to fortified to use concrete material. Students may have it hard to” think themselves” and lock themselves because they don’t know how to count without the concrete material. You can see a hint that all teachers work from “Learning with models” to teach students the reason for how to count in different strategies. Three out of four also use “Learning to model” where the students themselves can try and think out new strategies.   My conclusion is that teachers who were interviewed have a similar view of how they define concrete material, but how it is used in the education is a little bit different.

Syftet med denna studie är att undersöka varför och hur lärare använder konkret material i matematikundervisningen för att uppfylla ett matematiskt mål. Genom att observera och intervjua fyra lärare med erfarenheter inom ämnet, framkommer resultat som visar att lärare är positiva till laborativa arbetssätt men att läroboken upplevs allt för styrande och på så sätt utgör ett hinder. Syftet med det konkreta materialet lyfts inte alltid fram, vilket resulterar i att syftet blir underordnat själva användandet av konkret material. Slutsatsen blir således att måluppfyllelsen inte går att bedöma i de fall aktiviteterna med konkret material inte har ett givet syfte.

Detta är en systematisk litteraturstudie med fokus på artefakters användning i problemlösningsprocessen. Syftet med studien är att belysa den roll som artefakter får vid processen i årskurserna ett till tre. Litteraturstudien bygger på 16 publikationer, både vetenskapliga artiklar samt relevant litteratur inom studiens område. Studien visar att problemlösningsprocessen beskrivs genom fyra steg: förståelse, metodval, genom-förande samt reflektioner efter genomförandet. Resultatet visar även att artefakten används på olika sätt i problemlösningsprocessen beroende på var eleverna befinner sig på vägen mot det abstrakta tänkandet. Dessutom visar resultatet att lärarens kunskaper om artefaktanvändning avgör om den blir gynnsam för elevernas utveckling av problemlösningsförmågan eller inte.

Denna systematiska litteraturstudie inriktar sig på konkret material i matematikundervisning och inom taluppfattning. Syftet med studien är att beskriva vad forskning anser är av vikt vid användandet av konkret material i matematikundervisningen och inom taluppfattning. Studien bygger på 11 vetenskapliga publikationer som valts ut och strukturerats för en innehållsanalys i ett kategoriseringsschema där vetenskaplig forskning om konkret material analyserats och sammanfattats. Publikationerna som studien bygger på har även analyserats utifrån teoretiska utgångspunkter och ramverk då detta påverkar studiens utfall. Resultatet tyder på att det finns både styrkor och svagheter med användandet av konkret material både generellt i matematikundervisning och inom taluppfattning. De generella styrkor som beskrivs är att konkret material förbättrar inlärning, väcker elevers intresse, att det passar alla elever samt utvecklar fler strategier och metoder. Styrkor inom taluppfattning är bland annat att elever utvecklar förståelse för en-till-en samt lättare förståelse för tal och matematiska beräkningar. De generella svagheter som beskrivs är lärares bristande kunskap om konkret material, materialet kan leda till missförstånd och förvirring hos elever, det är barnsligt och materialet i sig leder inte till garanterad kunskap. Svagheter inom taluppfattning är bland annat att lärare använder tiobasmaterial för både positiva och negativa tal, elever har svårt att förstå tals relativa storlek och dess position på tallinjen. När lärare ska använda konkret material i sin undervisning behöver de ha ett tydligt syfte och mål. De behöver även kunskap om vad, hur och varför materialet ska användas. Lärare behöver överväga styrkorna och svagheterna med det konkreta material de avser använda.

I denna kunskapsöversikt undersöks två olika undervisningsmetoder inom matematiken och dess påverkan på kunskapsutvecklingen. De metoder som undersöks är det laborativa arbetssättet samt användandet av matematikboken. Målet med denna kunskapsöversikt är att ta reda på hur och i vilken utsträckning arbetssätten gynnar kunskapsutvecklingen. För att komma fram till detta bildades huvudfrågan ” Om och hur påverkas elevers matematiska kunskapsutveckling av ett laborativt arbetssätt respektive av användandet av matematikboken?” samt underfrågorna ”Om och på vilket sätt ger ett laborativt arbetssätt eller användandet av matematikboken en relationell förståelse?” och ”Hur påverkar ett laborativt arbetssätt och användandet av matematikboken den begreppsliga förståelsen inom matematiken?”.  I sökprocessen bestämdes att databaserna ERIC och Google scholar skulle användas.  Sökningen strukturerades upp och ett antal sökord bestämdes som var kopplade till kunskapsöversiktens frågeställningar. Därefter användes två metoder som Friberg (2006) förespråkar, boolesk sökning och sekundärsökning. Dessa sökmetoder gav 15 artiklar som var relevanta för kunskapsöversikten. Eftersom kunskapsöversiktens frågeställning är väldigt bred och att en djupare granskning av forskningen inom varje fråga inte varit möjlig, kan en del viktig forskning gåtts miste om. Kunskapsöversikten bör därför läsas med det i åtanke.   Resultatet visar att laborativt arbetssätt gynnar kunskapsutvecklingen med förutsättning att det används på rätt sätt. I den forskning som presenteras i resultatet har det laborativa arbetssättet dock använts i kombination med matematikboken. Detta gör att ingen slutsats kan dras kring huruvida det laborativa arbetssättet i sig självt påverkar kunskapsutvecklingen. Resultatet tyder ändå på att en djupare förståelse för matematiken ges när eleverna får möjlighet att arbeta med ett laborativt material och inte endast matematikboken.