In meiner Doktorarbeit untersuche ich ein Kac-artiges Vielteilchen-Modell, das eine Beschreibung von plastischen Verformungen ohne Verwendung einer Referenz-Konfiguration ermöglicht. Im Rahmen des Modells wird die Verformung eines Körpers durch Angabe von Atompositionen beschrieben. Es wird eine Mesoskala zwischen der Mikroskala der Atom-Atom Abstände und der Makroskala des Körpers eingeführt. Um jeden Punkt wird die Konfiguration auf dieser Mesoscala mit einem Bravais-Gitters approximiert. Die Matrix, die dieses Gitter aufspannt, wird als Argument eines elastischen Energiefunktionals verwendet. Auf diese Weise wird ein Energiefunktional definiert, das die Eigenschaften des Systems festlegt. Im Ersten Teil meiner Doktorarbeit analysiere ich das Modell im Fall das eine Referenz-Konfiguration lokal existiert. Ich schätze die Energiedichte einer solchen Konfiguration mit einer Störungsrechung von oben ab und erhalte eine obere Schranke für die Energiebarriere für plastische Relaxation in zwei Dimensionen. Im zweiten Teil untersuche ich Möglichkeiten Lagrange-Koordinaten im Rahmen des Modells zu konstruieren. Ich beweise, dass für zwei Punkte deren Abstand klein genug sind und die bestimmte Regularitätseigenschaften erfüllen, die Gitterparameter der approximierenden Bravais-Gitter bis auf eine Reparametrisierung nahe beieinander liegen müssen. Dies erlaubt diskrete Ketten von regulären Punkten zur Definition von Homotopieklassen zu benutzen die mit verallgemeinerten Burgers-Vektoren charakterisiert werden. Es ist mit dieser Technik auch möglich die Kernenergie von Versetzungen nach unten abzuschätzen. Schließlich passe ich eine Methode kontinuierliche Lagrange-Koordinaten, die von L. Mugnai und S. Luckhaus entwickelt wurden, an das Model an und verbessere sie dergestalt, dass ich die Energiedichte mit Hilfe eines Funktionales der Lagrange-Koordinaten nach unten abschätzen kann. / I study a Kac-type many particle model that allows a reference-free description of plastic deformation.In the framework of the model the state of the body is given by a set of atom position. The typical atom-atom distance is the microscopic scale. The size of the body is the macroscopic scale. Around each point a lattice is fitted to the configuration on a mesoscopic scale. The lattice parameters are used as an argument of a non-linear elasticity energy functional. Hence, this procedure allows to define an free-energy functional of a particle configuration. In the first part of my thesis I analyze the model in the case that a reference configuration exists locally. I bound the energy-density of such a configuration from above with a pertubative calculation and obtain an upper bound for the energy barrier of plastic deformation for dimension two. In the second part I explore the possibility to construct Lagrangian coordinates in the framework of the model. I prove that for two points that are close to each other and that fulfill certain regularity assumptions the fitted lattice parameters are close to each other up to a reparametrisation. This allows to use discrete chains of regular points for homotopy type arguments and define a generalized Burgers vector as a topological quantity. I also use this method to get a lower bound for the core energy of a dislocation. Finally, I adapt a method to construct continuous Lagrangian coordinates presented in by L.Mugnai and S.Luckhaus to my model and improve it to a point where I can use a functional of these Lagrangian coordinate as a lower bound for the energy of the model.

In meiner Doktorarbeit untersuche ich ein Kac-artiges Vielteilchen-Modell, das eine Beschreibung von plastischen Verformungen ohne Verwendung einer Referenz-Konfiguration ermöglicht. Im Rahmen des Modells wird die Verformung eines Körpers durch Angabe von Atompositionen beschrieben. Es wird eine Mesoskala zwischen der Mikroskala der Atom-Atom Abstände und der Makroskala des Körpers eingeführt. Um jeden Punkt wird die Konfiguration auf dieser Mesoscala mit einem Bravais-Gitters approximiert. Die Matrix, die dieses Gitter aufspannt, wird als Argument eines elastischen Energiefunktionals verwendet. Auf diese Weise wird ein Energiefunktional definiert, das die Eigenschaften des Systems festlegt. Im Ersten Teil meiner Doktorarbeit analysiere ich das Modell im Fall das eine Referenz-Konfiguration lokal existiert. Ich schätze die Energiedichte einer solchen Konfiguration mit einer Störungsrechung von oben ab und erhalte eine obere Schranke für die Energiebarriere für plastische Relaxation in zwei Dimensionen. Im zweiten Teil untersuche ich Möglichkeiten Lagrange-Koordinaten im Rahmen des Modells zu konstruieren. Ich beweise, dass für zwei Punkte deren Abstand klein genug sind und die bestimmte Regularitätseigenschaften erfüllen, die Gitterparameter der approximierenden Bravais-Gitter bis auf eine Reparametrisierung nahe beieinander liegen müssen. Dies erlaubt diskrete Ketten von regulären Punkten zur Definition von Homotopieklassen zu benutzen die mit verallgemeinerten Burgers-Vektoren charakterisiert werden. Es ist mit dieser Technik auch möglich die Kernenergie von Versetzungen nach unten abzuschätzen. Schließlich passe ich eine Methode kontinuierliche Lagrange-Koordinaten, die von L. Mugnai und S. Luckhaus entwickelt wurden, an das Model an und verbessere sie dergestalt, dass ich die Energiedichte mit Hilfe eines Funktionales der Lagrange-Koordinaten nach unten abschätzen kann. / I study a Kac-type many particle model that allows a reference-free description of plastic deformation.In the framework of the model the state of the body is given by a set of atom position. The typical atom-atom distance is the microscopic scale. The size of the body is the macroscopic scale. Around each point a lattice is fitted to the configuration on a mesoscopic scale. The lattice parameters are used as an argument of a non-linear elasticity energy functional. Hence, this procedure allows to define an free-energy functional of a particle configuration. In the first part of my thesis I analyze the model in the case that a reference configuration exists locally. I bound the energy-density of such a configuration from above with a pertubative calculation and obtain an upper bound for the energy barrier of plastic deformation for dimension two. In the second part I explore the possibility to construct Lagrangian coordinates in the framework of the model. I prove that for two points that are close to each other and that fulfill certain regularity assumptions the fitted lattice parameters are close to each other up to a reparametrisation. This allows to use discrete chains of regular points for homotopy type arguments and define a generalized Burgers vector as a topological quantity. I also use this method to get a lower bound for the core energy of a dislocation. Finally, I adapt a method to construct continuous Lagrangian coordinates presented in by L.Mugnai and S.Luckhaus to my model and improve it to a point where I can use a functional of these Lagrangian coordinate as a lower bound for the energy of the model.