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Boundary Behavior of p-Laplace Type EquationsAvelin, Benny January 2013 (has links)
This thesis consists of six scientific papers, an introduction and a summary. All six papers concern the boundary behavior of non-negative solutions to partial differential equations. Paper I concerns solutions to certain p-Laplace type operators with variable coefficients. Suppose that u is a non-negative solution that vanishes on a part Γ of an Ahlfors regular NTA-domain. We prove among other things that the gradient Du of u has non-tangential limits almost everywhere on the boundary piece Γ, and that log|Du| is a BMO function on the boundary. Furthermore, for Ahlfors regular NTA-domains that are uniformly (N,δ,r0)-approximable by Lipschitz graph domains we prove a boundary Harnack inequality provided that δ is small enough. Paper II concerns solutions to a p-Laplace type operator with lower order terms in δ-Reifenberg flat domains. We prove that the ratio of two non-negative solutions vanishing on a part of the boundary is Hölder continuous provided that δ is small enough. Furthermore we solve the Martin boundary problem provided δ is small enough. In Paper III we prove that the boundary type Riesz measure associated to an A-capacitary function in a Reifenberg flat domain with vanishing constant is asymptotically optimal doubling. Paper IV concerns the boundary behavior of solutions to certain parabolic equations of p-Laplace type in Lipschitz cylinders. Among other things, we prove an intrinsic Carleson type estimate for the degenerate case and a weak intrinsic Carleson type estimate in the singular supercritical case. In Paper V we are concerned with equations of p-Laplace type structured on Hörmander vector fields. We prove that the boundary type Riesz measure associated to a non-negative solution that vanishes on a part Γ of an X-NTA-domain, is doubling on Γ. Paper VI concerns a one-phase free boundary problem for linear elliptic equations of non-divergence type. Assume that we know that the positivity set is an NTA-domain and that the free boundary is a graph. Furthermore assume that our solution is monotone in the graph direction and that the coefficients of the equation are constant in the graph direction. We prove that the graph giving the free boundary is Lipschitz continuous.
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Propriétés métriques des ensembles de niveau des applications différentiables sur les groupes de Carnot / Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groupsKozhevnikov, Artem 29 May 2015 (has links)
Nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles de niveau des applicationshorizontalement différentiables entre des groupes de Carnot, c'est-à-dire différentiable par rapport à la structure sous-riemannienne intrinsèque.Nous considérons des applications dont la différentielle horizontale est surjective,et notre étude peut être vue comme une généralisation du théorème des fonctions implicites pour les groupes de Carnot.Tout d'abord, nous présentons deux notions de tangence dans les groupes de Carnot:la première basée sur la condition de platitude au sens de Reifenberg et la deuxième issue de l'analyse convexe classique.Nous montrons que dans les deux cas, l'espace tangent à un ensemble de niveau coïncide avec le noyau de la différentielle horizontale.Nous montrons que cette condition de tangence caractérise en fait les ensembles de niveaudits ‘co-abéliens', c'est-à-dire ceux pour lesquels l'espace d'arrivée est abélien, et qu'une telle caractérisation n'est pas vraie en général.Ce résultat sur les espaces tangents a plusieurs conséquences remarquables.La plus importante est que la dimension de Hausdorff des ensembles de niveau est celle à laquelle l'on s'attend.Nous montrons également la connectivité locale des ensembles de niveau, et le fait que les ensembles de niveau de dimension 1 sont topologiquement des arcs simples.Pour les ensembles de niveau de dimension 1 nous trouvons une formule de l'aire qui permet d'exprimer la mesure de Hausdorff en termes d'intégrales de Stieltjes généralisées.Ensuite, nous menons une étude approfondie du cas particulier des ensembles de niveau dans les groupes d'Heisenberg.Nous montrons que les ensembles de niveau sont topologiquement équivalents à leurs espaces tangents.Il s'avère que la mesure de Hausdorff des ensembles de niveau de codimension élevée est souvent irrégulière, étant, par exemple, localement nulle ou infinie.Nous présentons une condition simple de régularité supplémentaire pour une application pour assurer la régularité au sens d'Ahlfors des ses ensembles de niveau.Parmi d'autres résultats, nous obtenons une nouvelle caractérisation généraledes graphes Lipschitziens associés à une décomposition en produit semi-direct d'un groupe de Carnot.Nous traitons, en particulier, le cas des groupes de Carnot dont le nombre de stratesest plus grand que $2$.Cette caractérisation nous permet de déduire une nouvelle caractérisation des ensemblesde niveau co-abéliens qui admettent une représentation en tant que graphe. / Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groupsAbstract.We investigate the local metric properties of level sets of mappings defined between Carnot groups that are horizontally differentiable, i.e.with respect to the intrinsic sub-Riemannian structure. We focus on level sets of mapping having a surjective differential,thus, our study can be seen as an extension of implicit function theorem for Carnot groups.First, we present two notions of tangency in Carnot groups: one based on Reifenberg's flatness condition and another coming from classical convex analysis.We show that for both notions, the tangents to level sets coincide with the kernels of horizontal differentials.Furthermore, we show that this kind of tangency characterizes the level sets called ``co-abelian'', i.e.for which the target space is abelian andthat such a characterization may fail in general.This tangency result has several remarkable consequences.The most important one is that the Hausdorff dimension of the level sets is the expected one. We also show the local connectivity of level sets and, the fact that level sets of dimension one are topologically simple arcs.Again for dimension one level set, we find an area formula that enables us to compute the Hausdorff measurein terms of generalized Stieltjes integrals.Next, we study deeply a particular case of level sets in Heisenberg groups. We show that the level sets in this case are topologically equivalent to their tangents.It turns out that the Hausdorff measure of high-codimensional level sets behaves wildly, for instance, it may be zero or infinite.We provide a simple sufficient extra regularity condition on mappings that insures Ahlfors regularity of level sets.Among other results, we obtain a new general characterization of Lipschitz graphs associated witha semi-direct splitting of a Carnot group of arbitrary step.We use this characterization to derive a new characterization of co-ablian level sets that can be represented as graphs.
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