El documento digital no refiere asesor / Publicación a texto completo no autorizada por el autor / Describe como los registros de representación semiótica se relaciona con el aprendizaje de límites de funciones reales en estudiantes del primer semestre de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM. Se utilizó un diseño descriptivo correlacional, con una población de 130 estudiantes a quienes se les aplicó dos instrumentos de evaluación uno para evaluar los registros de representación semiótica y otro para evaluar el aprendizaje de límites de funciones reales, ambos construidos por el autor de la presente tesis. Estos instrumentos fueron sometidos a los análisis respectivos que determinaron que las pruebas son válidas y confiables. Los resultados indican que existen correlaciones significativas y positivas entre los registros de representación semiótica y el aprendizaje de límites de funciones reales (r = 0,99). Así mismo se encontró que existen correlaciones entre todas los diversos tipos de representación semiótica y el aprendizaje de límites de funciones reales. / Tesis

La investigación corresponde al enfoque cualitativo, mediante el proceso del paradigma interpretativo; por la función puede tipificarse como propositiva a partir de un diseño descriptivo y por la finalidad es básica. Este trabajo se desarrolló en tres fases: Diagnóstica, Construcción de la propuesta y Validación de la propuesta. En la primera se utilizó una metodología descriptiva, empleando como técnica la encuesta aplicada a los docentes y entrevista a profundidad. En la segunda fase, predominó el análisis de teorías e investigaciones relacionadas con el objeto de estudio. La última fase se ha sustentado en la consistencia teórica y el juicio de expertos. Dentro de las conclusiones, destacamos las siguientes: Las alumnas de cuarto grado de secundaria de la I. E. “Nicolás la Torre”, poseen un nivel deficiente con respecto al desarrollo de las capacidades del área de Matemática, pues el registro de sus evaluaciones se ubican en el rango de calificación (11-12); “GpM2.0” en cuanto a sus virtudes reconocidas por los expertos constituye una alternativa eficaz para el desarrollo de las capacidades y de las actitudes del área de Matemática. Recomendamos que en las I.E. de Educación Básica Regular se deban formar equipos de trabajo capaces de planificar, producir y evaluar materiales multimedia para la enseñanza, acorde a nuestro currículo, en nuestro contexto y muy especialmente ajustados a las necesidades de nuestros alumnos y maestros

Cette thèse est composée de trois parties principales : les calculs des courbes médiatrices de deux courbes ou d’un point et d’une courbe dans le plan, des surfaces médiatrices de deux surfaces dans R3, et du diagramme de Voronoï d’une famille finie de demi-droites parallèles de même orientation. Ces trois sujets sont étroitement liés et trouvent des applications dans le domaine de la CAO/CGAO et de la géométrie algorithmique. Dans ces trois sujets, nous allons présenter des méthodes algorithmiques pour obtenir une certaine représentation de l’objet qui nous intéresse : la courbe médiatrice, la surface médiatrice ou le diagramme de Voronoï. En utilisant la règle de Cramer généralisée et certaines méthodes d’élimination, nous présentons une nouvelle approche pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la courbe médiatrice de deux courbes planes rationnelles. L’approche est, ensuite, généralisée pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la surface médiatrice de deux surfaces rationnelles de petit degré. La méthode est appliquée pour obtenir les paramétrisations de la médiatrice de deux courbes planes rationnelles, dans lesquelles une des courbes est un cercle ou une droite. D’autre part, nous montrons, aussi, comment il est facile d’obtenir les paramétrisations de la médiatrice de paires de surfaces suivantes : plan-quadrique, plan-tore, cylindre circulaire-quadrique non développable, cylindre circulaire-tore, cylindre-cylindre, cylindre-cône et cônecône. Les paramétrisations obtenues sont rationnelles dans la plupart des cas. Dans le reste des cas, les paramétrisations contiennent de racines carrées qui est bien adopté pour determiner une bonne approximation de la médiatrice. Nous présentons aussi une différente approche traitant du problème de la courbe médiatrice plane. Cette nouvelle méthode utilise la couleur dynamique en GeoGebra pour les caractérisations géométrique et numérique de la courbe médiatrice de deux objets géométriques dans le plan (deux courbes, ou une courbe et un point). Même si elle ne fournit pas de représentation algébrique, la méthode peut conduire au calcul d’une représentation approximative de la courbe médiatrice. Le diagramme de Voronoï (VD) est une structure de données fondamentale de la géométrie algorithmique avec des applications très variées dans des domaines théoriques et pratiques. Nous considérons le VD d’un ensemble fini de demi-droites parallèles de même orientation restreint à un domaine compact D0 ⊂ R3 pour la distance euclidienne. Ce nouveau type de VD peut être utilisé pour apporter des réponses efficaces à certains problèmes dans l’industrie de forage, tels que l’hydraulique ou la mine. Nous présentons un algorithme approximatif efficace pour le calcul de tel VD, en utilisant le processus de subdivision produisant un maillage qui représente la topologie de VD dans D0. / Este trabajo consta de tres partes principales : el calculo de las bisectrices de dos curvas o de un punto y una curva en el plano, de la superficie bisectriz de dos superficies en R3, y del diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas y con la misma orientación en R3. Estos temas están estrechamente relacionados y tienen aplicaciones en CAD/CAGD y en Geometría Computacional. Se presenta un nuevo método para determinar, utilizando la regla de Cramer generalizada y métodos de eliminación adecuados, una parametrización algebraica exacta (racional o no racional) de la curva bisectriz de dos curvas planas racionales dadas. Este método se generaliza para determinar una parametrización algebraica exacta de la superficie bisectriz de dos superficies racionales de grado bajo. El método se aplica, en particular, para obtener parametrizaciones de la bisectriz de dos curvas planas racionales, cuando una de ellas es una circunferencia o una recta. Por otro lado, se muestra cómo obtener fácilmente una parametrizacin de la bisectriz de los siguientes pares de superficies : plano y cuádrica, plano y toro, cilindro circular y cuádrica no desarrollable, cilindro circular y toro, dos cilindros, cilindro y cono, y dos conos. Estas parametrizaciones son racionales en la mayora de los casos. En los casos restantes, la parametrización contiene una raíz cuadrada, que resulta adecuada para determinar una buena aproximación de la bisectriz. Además, se presenta un enfoque diferente para el problema de la curva bisectriz plana. Este nuevo método utiliza color dinámico en GeoGebra para el cálculo de una caracterización geométrica y numérica de la bisectriz de dos objetos geométricos en el plano (dos curvas, o una curva y un punto). Aunque no proporciona una representación algebraica, el método permite el cálculo de una representación aproximada de la curva bisectriz. El diagrama de Voronoi (DV) es una estructura de datos fundamental en geometría computacional con diversas aplicaciones en distintas áreas teóricas y prácticas. Se estudia el DV de un conjunto de semirrectas paralelas y con la misma orientación, restringidas a un dominio compacto D0 ⊂ R3, con respecto a la distancia euclidiana. Este nuevo tipo de DV se puede utilizar para proporcionar una solución eficiente a algunos problemas relacionados con la perforación, en industrias tales como la hidráulica o la minería. Se presenta un algoritmo eficiente para calcular una aproximación de un DV de esa clase, utilizando un proceso de subdivisión, que produce una malla que representa correctamente la topología del DV. / This thesis has three main parts: computation of the bisectors of two curves or a point and a curve in the plane, of the bisector of two surfaces in R3, and of the Voronoi diagram of a finite family of parallel half lines in R3, with the same orientation. These subjects are closely related, and have applications in CAD/CAGD and Computational Geometry. In each of the three parts, we present algorithmic methods for computing certain representations of the geometric object of interest: the bisector curve, the bisector surface, or the Voronoi diagram. We present a new approach to determine, using the generalized Cramer’s rule and suitable elimination steps, an exact algebraic parameterization (rational or non rational) of the bisector curve of two given planar rational curves. The approach is, then, generalized to determine an exact algebraic parameterization of the bisector surface of two low degree rational surfaces. In particular, we apply the method to obtain parametrizations of the bisector of two rational plane curves, when one of them is a circle or a straight line. On the other hand, we show how to easily obtain parametrizations of the bisector of the following pairs of surfaces: planequadric, plane-torus, circular cylinder-non developable quadric, circular cylindertorus, cylinder-cylinder, cylinder-cone and cone-cone. These parametrizations are rational in most cases. In the remaining cases the parametrization involves one square root which is well-suited to determine a good approximation of the bisector. In addition, a different approach for the bisector curve problem will be presented. This new method uses dynamic color in GeoGebra for the computation of a geometric and numerical characterization of the bisector of two planar geometric objects (two curves, or a curve and a point). Even if it does not provide an algebraic representation, the method could lead to the computation of an approximate representation of the bisector curve. The Voronoï diagram (VD) is a fundamental data structure in computational geometry with various applications in theoretical and practical areas. We consider the VD of a set of parallel half-lines, with the same orientation, constrained to a compact domain D0 ⊂ R3, with respect to the Euclidean distance. This new kind of VD can be used to provide an efficient solution to some problems in the drilling industry, such as hydraulic or mining. We present an efficient approximate algorithm for computing such VD, using a box subdivision process, which produces a mesh representing the topology of the VD in D0.

El objetivo del trabajo es desarrollar un sistema basado en la web que permita mejorar la destreza matemática de los alumnos de establecimientos de educación media, por medio de la ejercitación diaria de los contenidos, a medida que estos son entregados por el docente en la clase de aula. A partir del análisis previo al presente trabajo sobre las funciones que cumple o podría realizar el profesor, se determinan los elementos que participan del sistema: Colegio, Alumno, Profesor, Curso, Tópico, Ejercicio, Familia de Ejercicio, Ejemplo de Ejercicio y Capítulo o Guía. Luego se definen las interfaces y la interacción del usuario con el sistema, se realiza un proceso de transformación de Modelo Entidad-Relación a Modelo Relacional y procede a la normalización de la base de datos en tercera forma normal. Dada la necesidad de distribuir el sistema a través de internet por páginas web, se determina que el sistema interactúe con los usuarios en una arquitectura cliente-servidor, se elige el lenguaje de programación PHP y administrador de base de datos Postgres. Bajo la suposición de que facilitar al profesor de aula, material de ejercitación on–line de manera flexible y específica, aumenta la efectividad del material utilizado, mejorando así los procesos de aprendizaje de los alumnos, se implementa un sistema que posee las características que permiten al profesor la elaboración de material de ejercitación y su entrega controlada a los alumnos en cantidad, dificultad y regularidad diaria. El sistema es rápidamente aceptado por los alumnos y profesores, operando según lo esperado, y dado los recursos de internet a los cuales puede acceder la comunidad educativa (alumnos, familia y colegio), los tiempos de acceso para el usuario son mínimos. Se concluye que es posible para el profesor mediante la operación del sistema, lograr el trabajo diario de los alumnos en la forma planificada, además de mejorar la posición de la dirección del establecimiento respecto del proceso de enseñanza y también del apoderado, en la medida que dispone de acceso a la web. Respecto de mejorar la destreza de los alumnos, no se realizan mediciones, aunque los datos almacenados por el sistema permiten el eventual proceso de información para la determinación de indicadores de aprendizaje.

Este artículo es de carácter divulgativo, por lo cual, debido a lo heterogéneo del público lector he tratado de dejarle algo a cada quien, es decir, expondré conceptos de varios niveles. Primero asumiré un curso de Teoría de Grupos, luego presupondré un curso de Teoría de Categorías y finalmente asumiré conocimientos básicos de Teoría de Topos. También, he procurado, salvo en algunos casos especificas, escribir con palabras comunes algunos de los temas que expondré con el fin de ofrecerles un esbozo panorámico acerca de este tema. Disculpas a quienes desean leer una larga serie de teoremas y también disculpas a quienes prefieren no leer una larga serie de teoremas. Trataré de equilibrar la exposición.

Se presenta el Juego de dados musical de Mozart K. 294(Anh.C) y se analizan matemáticamente algunas de sus características. Se expone la Teoría de la Estética de George David Birkhoff y su aplicación a la Música en particular. Se presentan las sucesiones de Fibonacci, la razón áurea o proporción divina y su aplicación en la música de Bela Bartok. Se menciona el trabajo actual de la Teoría Matemática de la Música de G. Mazzola. Finalmente se exponen algunos pensamientos en torno a la Cultura y la relación entre la Matemática y la Música.

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Encontrar buenas cotas inferiores y condiciones necesarias para nociones de complejidad y universalidad es uno de los mayores desafíos en el área de la informática teórica. En este sentido, la teoría de la complejidad comunicacional ha resultado ser una herramienta útil para abordar tal problemática en diversos modelos de computación, tales como circuitos booleanos, máquinas de Turing y modelos no convencionales. En este trabajo se incorporan tales técnicas al estudio del conjunto de autómatas celulares unidimensionales. Dada una relación de simulación ≤ y autómatas celulares (ACs) Φ y Ψ, se denota Φ ≤ Ψ si es el caso que Φ puede ser simulado por Ψ. Un AC Ψ capaz de simular a todo otro AC Φ es denominado como intrínsecamente ≤ - universal. Aquí son considerados tres tipos de simulaciones presentes en la literatura: sobreyectiva, inyectiva y mixta, siendo las dos últimas capaces de soportar universalidad intrínseca. Por otro lado, para la primera de éstas, la existencia de un elemento universal aún sigue siendo un problema abierto. Seguidamente, son definidos cinco problemas comunicacionales inducidos por ACs: Pred, Cycl, SInv, TInv y CInv, de tal manera que PΦ(x, y) indica la parametrización de un problema genérico P por un AC Φ, donde AΦ es el conjunto de estados de éste y x, y ϵ AΦ+ son inputs. Tales problemas cumplen con ser compatibles comunicacionalmente, esto es, si Ψ simula a Φ, se tiene que la complejidad comunicacional asociada a Φ es de menor o igual orden a la de Ψ. De este modo, si la complejidad comunicacional de PΦ es de orden estrictamente menor a la de PΨ, se puede deducir que Φ no es intrínsecamente universal. Luego, como punto fuerte, se introduce una nueva problemática comunicacional que logra aunar las técnicas y condiciones necesarias previamente estudiadas. Informalmente, cuando Alice y Bob (los participantes en el modelo usual de complejidad comunicacional) reciben respectivamente inputs x e y, tienen la posibilidad de escoger qué problema P resolver. Se entregan resultados mostrando que tal libertad hace de este nuevo problema, denominado Ovrl, un potente filtro a la hora de desechar ACs como intrínsecamente universales. Más precisamente, se construye un AC con complejidad máxima en los cinco problemas anteriores y complejidad constante en Ovrl. Finalmente, se utilizan las herramientas desarrolladas para descartar en familias completas de autómatas celulares la cualidad de universalidad intrínseca. Además, se estudia la estructura de los preórdenes dados por las relaciones de simulación, caracterizando algunos conjuntos cerrados bajo simulación, tales como los ACs sobreyectivos, cerrados y reversibles, entre otros.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En el presente trabajo se muestran algunos resultados obtenidos recientemente en ciertos espacios de Banach, los llamados espacios Lipschitz-libres. Junto con las definiciones básicas y resultados que principalmente se encuentran en \cite{GK} y \cite{K}, se añaden resultados presentes en diversos artículos y trabajos publicados. Así mismo, se incluye una introducción a los conceptos de integración de funciones vector-valuadas, más precisamente, la noción de Bochner-integrabilidad, la cual resulta ser un punto clave en el desarrollo del resultado principal. Se muestra dentro de estos resultados una identificación que puede ser hallada, por ejemplo, en \cite{W} para el espacio Lipschitz-libre $\mathcal{F}(\R)$. En virtud de esto, se propone una generalización para el caso finito-dimensional, con el fin de entregar una nueva herramienta para el estudio de los espacios Lipschitz-libres en el caso mencionado. En el transcurso de la identificación de este espacio, se hace uso de herramientas clásicas de espacios de Banach y de teoría de la medida. Además, se define el espacio de funciones esencialmente Lipschitz, así como un subespacio de éste que refleja la estructura de las funciones Lipschitz nulas en $0$. Haciendo uso del espacio obtenido, se propone una vía de estudio para los espacios $\mathcal{F}(\ell^{p})$, para $1\leq p < +\infty$, usando para ello la densidad de $c_{00}$ en $\ell^{p}$ y la estructura de los espacios que identifican a $\mathcal{F}(\R^{n})$. Se incluye por completitud además en el anexo una demostración de un resultado clásico asociado a las funciones Lipchitz definidas y a valores en espacios de dimensión finita, el Teorema de Rademacher. Éste último es la pieza clave en la identificación de $\mathcal{F}(\R)$ y así mismo se proponen posibles generalizaciones en la identificación de $\mathcal{F}(\R^{n})$ para espacios de dimensión infinita en los cuales existan resultados similares a dicho teorema.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis studies a human cognitive phenomenon called Conceptual Metaphor in the context of mathematics learning and reasoning. Metaphor enables the understanding of an abstract concept called target, e.g. numbers, in terms of a more concrete concept called source, e.g. piles of can-dies. Often, inferences from the source are carried to the target and applied there yielding some conclusions about the target. This is known as reasoning by analogy. Empirical evidence indicates that metaphor enhances learning. Converging evidence is pro-vided by working scientists who report the use of analogies while developing their theories. On the other hand, some people advise against its usage in education. They argue that politicians and communicators often lead people into erroneous conclusions by using metaphor, and then, analo-gies undermine objective reasoning. This discussion highlights the need for research to shed light into the learning mechanics underlying metaphor in order to understand its scope and limitations. This work presents a formal model of metaphor which can be used as a framework to study learning by analogy. Since the model is abstract, we use Chapter 1 to make ideas more concrete: we use our formalism for analize deeply a well known example. Along these lines, Chapter 5 presents formalizations of other metaphors frequently encountered in mathematics teaching. The model is built in Chapter 4 where the source and the target of a metaphor are formalized by a key concept named domain. Some results of this chapter are accompanied by cognitive in-terpretations, as for example, Theorems 40, 41, 42, and Proposition 26 can be seen as descriptions of how an analogy carries reasonings from its source to its target. Also, Theorems 30 and 31 sug-gest models for the process of learning by analogy. Finally, Chapter 4 presents some theoretical constructions such as products and coproducts of domains. Our metaphor model relates two domains, each one defined as a mixture of language and semantics. Most results of Chapter 4 need the premise that the two involved languages are compatible . Mathematically, they need a map able to preserve the structure determined by a syntactical operation called substitution. This compatibility notion is characterized for the case of language terms in Chapter 2 by applying unification theory and graph theory. And in Chapter 3, this compatibilitynotion is characterized for the case of the language formulas by adapting the methods of Chapter 2. Finally, one Appendix (Relational Spaces) presents another approach to study metaphor. There, domains are defined with semantics only, leaving language aside. Most of the results emphasized above are lost or at least weakened suggesting that the abstract information provided by symbols and the recursion provided by the grammar of the language are necessary to mimic metaphor s behavior. This observation, together with other results of this thesis, might point to a relation between the recursion property of human languages1 and the ability of learning by analogy. 1 The linguist Noam Chomsky claims that recursion is the only human component of the faculty of language [49].