Esta tesis tiene como objeto el estudio de dos temas principales: en primer lugar nos abocamos al estudio de una clase de cálculos de Gentzen, los hipersecuentes; y en segundo lugar, abordamos el estudio de ciertas lógicas a las que dan lugar las álgebras tetravalentes modales. Ambos temas quedarán relacionados, como veremos en el Capítulo III. Los hipersecuentes son una generalización natural de los secuentes ordinarios que resultan ser una herramienta muy adecuada para presentar formulaciones estilo Gentzen de diversas l´ogicas con la muy deseable propiedad de eliminación de corte (cut-elimination property). En los años recientes, el desarrollo de métodos para combinar lógicas ha recibido mucha atención, y las motivaciones para que esto suceda provienen de áreas tan disímiles como la Filosofía y las Ciencias de la Computación (ver, por ejemplo, [13] y [15]). El fibring categorial (tambi´en conocido como fibring algebraico) introducido en [55], ha demostrado ser una herramienta amplia y poderosa para combinar lógicas. Por otro lado, la clase TMA de las álgebras tetravalentes modales fue considerada por primera vez por Antonio Monteiro, y fueron estudiadas principalmente por I. Loureiro, A.V. Figallo, A. Ziliani y P. Landini. Posteriormente, J.M. Font y M. Rius en [31] se interesaron en las lógicas a las que dan lugar los aspectos reticulares de estas ´ágebras.Estos mismos autores introdujeron un cálculo de secuentes para una de estas lógicas, a saber, T ML. En el Capítulo II, presentamos un modo alternativo de formular cálculos de hipersecuentes mediante la introducción de metavariables para fórmulas, secuentes e hipersecuentes respectivamente, en el lenguaje objeto. Se introduce una categoría adecuada de cálculos de hipersecuentes y se definen ambos tipos de fibring: restringido y no restringido. Los morfismos introducidos resultar´an ser una novedosa noción de traducción entre lógicas la cual preserva meta-propiedades en un sentido fuerte. Finalmente, exploraremos algunas características de preservación, en particular mostraremos un resultado sobre la preservación por fibring de la propiedad de interpolación de Craig (CIP). En el Capítulo III, retomamos la cuestion de investigar diferentes aspectos lógicos de las TMAs. Considerando la implicación contrapositiva introducida por A. Figallo y P. Landini en [28], introducimos tres cálculos de Hilbert distintos para la lógica T ML, como así tambien, un sistema de tableau correcto y completo para la semántica de las TMAs. Los aspectos paraconsistentes de T ML tambi´en son analizados desde el punto de vista de las Logicas de la Inconsistencia Formal, introducidas por W. Carnielli y J. Marcos en [18], y posteriormente estudiadas en [17]. La lógica tetravalente modal normal T MLN es luego estudiada. Finalmente, probamos que ambas lógicas son sublógicas propias del cálculo proposicional clásico que no son maximales. En el Capitulo IV, mostramos que el cálculo de secuentes presentado por Font y Rius en [31] para T ML no tiene la propiedad de eliminación de corte. Formulamos, entonces, un cálculo de hipersecuentes correcto y completo con respecto a T ML que si tiene esta tan deseable propiedad. Finalmente, en el Capítulo V, motivados por el problema de enriquecer a T ML con una implicación deductiva, probamos que las álgebras tetravalentes modales de A. Monteiro enriquecidas con un complemento booleano coinciden con las álgebras de De Morgan enriquecidas con un complemento booleano, o equivalentemente, con las álgebras de Boole enriquecidas con una negación de De Morgan. Estas últimas son denominadas álgebras de Boole involutivas (o simétricas) (IBAs), introducidas por Gr. Moisil y principalmente estudiadas por A. Monteiro. Probamos que las IBAs son la contrapartida algebraica de la lógica modal S5 que satisface ecuaciones adicionales. De esta manera, la lógica que puede asociarse naturalmente a las IBAs es una extensión modal propia de S5. Presentamos un cálculo de Hilbert correcto y completo para esta extensión de S5 en el lenguaje de las IBAs, esto es, sin modalidades. / The aim of this thesis is the study of two main topics. In the first place we focus on the study of a particular class of Gentzen systems, the so called hypersequents; and in the second place, we address the study of certain logics which are given raised by tetravalent modal algebras. Both topics will be relate as we will see in Chapter III. Hypersequents are a natural generalization od ordinary sequents and turned out to be a very suitable tool for presenting Gentzen style formulations of diverse logics with the very desirable cut-elimination property. In recent years, methods for combining logics have gained a lot of attention, and motivations come from different areas such as Philosophy and Computer Science (see for instance [13] y [15]). Categorical fibring (also known as algebraic fibring) introduced in [55], has shown to be a very wide and powerful tool for combining logics. On the other hand, the class TMA of tetravalent modal algebras was first considered by Antonio Monteiro, and were studied mainly by I. Loureiro, A.V. Figallo, A. Ziliani and P. Landini. Later, J.M. Font and M. Rius en [31] were interested in the logics that can be defined taking into account the lattice–theoretical aspects of these algebras. These same authors introduced a sequent calculus for one of these logics, namely, T ML. In Chapter II, we present an alternative way to formulate hypersequent calculi introducing meta–variables for formulas, sequents and hypersequents, respectively, in the language. A suitable category of hypersequent calculi and both kind of fibring: constrained and unconstrained. The introduced morphisms turned out to bea novel notion of translation between logics which preserve meta–properties in a strong sense. Finally, we explore some preservation features,in particular we show a preservation result by fibring of the Craig interpolation property (CIP). In Chapter III, we retake the study of different logical aspects of TMAs. Considering the contrapositive implication introduced by A. Figallo and P. Landini in [28], we introduce three different Hilbert calculus for the logic T ML, as well as, a tableau system sound and complete with respect to the semantics of TMAs. The paraconsistent aspects of T ML also are analyzed under the point of view of Logics of Formal Inconsistency, introduced by W. Carnielli and J. Marcos in [18], and later studied in [17]. Normal modal tetravalent logic T MLN is also studied. Finally, we prove that both logics are proper sublogics of classical propositional calculus that are not maximal. In Chapter IV, we show that the sequent calculus presented by Font and Rius en [31] for T ML does not admit the cut–elimination property. So, we formulate a hypersequent calculus sound and complete with respect to T ML which does admit the so longed property. Finally, in Chapter V, motivated by the question of enrich T ML with a deductive implication, we prove that Monteiro’s tetravalent modal algebras enriched with a boolean complement coincide with De Morgan enriched with a boolean complement, or equivaxiv lently, they coincide with Boolean algebras enriched with a De Morgan negation. The latter are called involutive Boolean algebras (or symetric Boolean algebras) (IBAs), introduced by Gr. Moisil and mainly studied by A. Monteiro. We prove that IBAs are an algebraic counterpart to yhe modal logic S5 that satisfies some additional equations. So, the logic that naturally can be associated to IBAs is a proper modal extension of S5. We present a Hilbert calculus sound and complete with respect to this extension of S5 in the language of IBAs, i.e., without modalities.

Esta tese tem como objetivo estudar a paraconsistentização de lógicas, que consiste em encontrar, para uma dada lógica, sua contraparte paraconsistente. A estratégia geral utilizada para tal tarefa é: ao encontrar premissas inconsistentes, faça inferências a partir de seus subconjuntos consistentes. Para isso, foram desenvolvidos dois métodos de paraconsistentização. O primeiro consiste na utilização do arcabouço teórico da Teoria de Categorias, enquanto que o segundo faz uso da teoria da prova e da noção de estruturas valorativas. Após a apresentação dos métodos, algumas propriedades formais de ambas as propostas foram investigadas. Em particular, provou-se que a paraconsistentização preserva correção e completude, isto é, se a lógica inicial for correta e completa, sua contraparte paraconsistente também o será. Também foram estabelecidas as condições suficientes que uma lógica deve satisfazer para poder ser paraconsistentizada. A partir destes resultados, os dois métodos propostos foram comparados com outras abordagens desenvolvidas para raciocinar a partir de conjuntos inconsistentes. Por fim, a tese analisa o debate entre pluralismo e monismo lógico investigando, especificamente, as contribuições da paraconsistentização para tal discussão. / This thesis aims to study the paraconsistentization of logics, which consists in finding, for a given logic, its paraconsistent counterpart. The general strategy used for this task is the following: when finding inconsistent premises, one must draw inferences from its consistent subsets. For this, two methods of paraconsistentization were developed. The first consists in using the framework of Category Theory, while the second one makes use of proof theory and the notion of valuation structure. After their presentation, some formal properties of both proposals were investigated. In particular, it was proved that paraconsistentization preserves soundness and completeness, that is, if the initial logic is sound and complete, its paraconsistent counterpart will also be. The sufficient conditions that a logic must satisfy in order for it to be paraconsistentized were also established. From these results, the two proposed methods were compared with other approaches developed to reason from inconsistent sets. Finally, the thesis analyses the debate between pluralism and logical monism investigating, specifically, the contributions of paraconsistentization to this discussion.

Este trabalho desenvolve um modelo para análise de variáveis craniométricas que utiliza as Redes Neurais Artificiais Paraconsistentes, assentadas na Lógica Paraconsistente Anotada de dois valores. Tal lógica possui a capacidade de mensurar incerteza, inconsistência e paracompleteza. A Lógica Paraconsitente vem sendo empregada em diversas aplicações sujeitas a estas situações, constituindo nova ferramenta matemática em Inteligência Artificial. O trabalho tem como principal objetivo melhorar o diagnóstico cefalométrico. O modelo desenvolvido recebe as medidas das variáveis craniométricas de um determinado paciente e as compara com as médias das variáveis craniométricas normais de uma amostra da população brasileira. Esta amostra é composta de crianças e adolescentes de ambos os sexos, na faixa etária de 6 a 18 anos, utilizadas neste trabalho como valores de referência de normalidade. A análise cefalométrica aqui proposta consiste em quantificar discrepâncias esqueletais e dentárias sob a Lógica Paraconsistente. O uso das Redes Neurais Artificiais Paraconsistentes permite agregar ao méto do um fator de incerteza, respeitando o diagnóstico ortodôntico tradicional, e ao mesmo tempo, contextualiza diferentes regiões craniofaciais. O resultado da análise consiste dos graus de discrepância esqueletal, anteroposterior e vertical, e graus de discrepância dentárias, relativas aos incisivos inferiores e superiores. Variáveis craniométricas de 120 pacientes foram processadas pelo modelo proposto e avaliadas por três especialistas em Ortodontia. De acordo com o índice Kappa, houve desde concordância satisfatória até concordância quase perfeita entre o modelo e os especialistas, de acordo com as variáveis consideradas. As opiniões inter-especialista são substancialmente similares às comparações entre os especialistas e o modelo apresentado, o que reflete o potencial do modelo como um sistema especialista. A utilização de técnicas de Inteligência Artificial através da Lógica Paraconsistente, permitiu significante melhora na análise cefalométrica proposta. O modelo apresentado pode ser adaptado a outras amostras ou populações, com a adaptação dos valores de referência iniciais de normalidade. / This work shows the development of an unequal craniometric analysis model, which uses Paraconsistent Neural Network, based upon Paraconsistent Logic with two values. Such logical approach has the capability to handle concepts as uncertainness, inconsistency and paracompleteness. It has been used on diverse applications which present such features, constituting a new mathematical tool in Artificial Intelligence. The presented methodology had as main goal to booster diagnosis in Orthodontics. The developed model processes craniometric measures of a specific person, and compares to the expected means drawn from a Brazilian sample, comprised of children and adolescent individuals, ranging from 6 to 18 year-old, of both genders. The current cephalometric analysis, developed under the approach of Paraconsistent Logic, quantifies skeletal and dental discrepancies. The use of Paraconsistent Neural Network allows aggregating a factor of vagueness, respecting the limits of traditional orthodontic classification. At the same time, it contextualizes variables of different craniofacial regions. The results of the analysis are expressed through degrees of skeletal discrepancies, in the anteroposterior and vertical dimensions, and degrees of dental discrepancies, for the upper and lower incisors. Cephalometric va lues of a sample of 120 patients were processed by the paraconsistent model and analyzed by three specialists in Orthodontics. According to Kappa index, the agreement between the model and the specialists ranged from moderate to almost perfect, according to the variables considered. The inter-observer opinions were substantially similar to the mathematical model, which reflects the potential of the model as a specialist system. The use of Artificial Intelligence methods throughout Paraconsistent Logics, allowed significant improvement in cephalometric assessment. The presented model can be applied in different samples or populations, with adaptation of the degrees of normality as initial references.

Este trabalho desenvolve um modelo para análise de variáveis craniométricas que utiliza as Redes Neurais Artificiais Paraconsistentes, assentadas na Lógica Paraconsistente Anotada de dois valores. Tal lógica possui a capacidade de mensurar incerteza, inconsistência e paracompleteza. A Lógica Paraconsitente vem sendo empregada em diversas aplicações sujeitas a estas situações, constituindo nova ferramenta matemática em Inteligência Artificial. O trabalho tem como principal objetivo melhorar o diagnóstico cefalométrico. O modelo desenvolvido recebe as medidas das variáveis craniométricas de um determinado paciente e as compara com as médias das variáveis craniométricas normais de uma amostra da população brasileira. Esta amostra é composta de crianças e adolescentes de ambos os sexos, na faixa etária de 6 a 18 anos, utilizadas neste trabalho como valores de referência de normalidade. A análise cefalométrica aqui proposta consiste em quantificar discrepâncias esqueletais e dentárias sob a Lógica Paraconsistente. O uso das Redes Neurais Artificiais Paraconsistentes permite agregar ao méto do um fator de incerteza, respeitando o diagnóstico ortodôntico tradicional, e ao mesmo tempo, contextualiza diferentes regiões craniofaciais. O resultado da análise consiste dos graus de discrepância esqueletal, anteroposterior e vertical, e graus de discrepância dentárias, relativas aos incisivos inferiores e superiores. Variáveis craniométricas de 120 pacientes foram processadas pelo modelo proposto e avaliadas por três especialistas em Ortodontia. De acordo com o índice Kappa, houve desde concordância satisfatória até concordância quase perfeita entre o modelo e os especialistas, de acordo com as variáveis consideradas. As opiniões inter-especialista são substancialmente similares às comparações entre os especialistas e o modelo apresentado, o que reflete o potencial do modelo como um sistema especialista. A utilização de técnicas de Inteligência Artificial através da Lógica Paraconsistente, permitiu significante melhora na análise cefalométrica proposta. O modelo apresentado pode ser adaptado a outras amostras ou populações, com a adaptação dos valores de referência iniciais de normalidade. / This work shows the development of an unequal craniometric analysis model, which uses Paraconsistent Neural Network, based upon Paraconsistent Logic with two values. Such logical approach has the capability to handle concepts as uncertainness, inconsistency and paracompleteness. It has been used on diverse applications which present such features, constituting a new mathematical tool in Artificial Intelligence. The presented methodology had as main goal to booster diagnosis in Orthodontics. The developed model processes craniometric measures of a specific person, and compares to the expected means drawn from a Brazilian sample, comprised of children and adolescent individuals, ranging from 6 to 18 year-old, of both genders. The current cephalometric analysis, developed under the approach of Paraconsistent Logic, quantifies skeletal and dental discrepancies. The use of Paraconsistent Neural Network allows aggregating a factor of vagueness, respecting the limits of traditional orthodontic classification. At the same time, it contextualizes variables of different craniofacial regions. The results of the analysis are expressed through degrees of skeletal discrepancies, in the anteroposterior and vertical dimensions, and degrees of dental discrepancies, for the upper and lower incisors. Cephalometric va lues of a sample of 120 patients were processed by the paraconsistent model and analyzed by three specialists in Orthodontics. According to Kappa index, the agreement between the model and the specialists ranged from moderate to almost perfect, according to the variables considered. The inter-observer opinions were substantially similar to the mathematical model, which reflects the potential of the model as a specialist system. The use of Artificial Intelligence methods throughout Paraconsistent Logics, allowed significant improvement in cephalometric assessment. The presented model can be applied in different samples or populations, with adaptation of the degrees of normality as initial references.