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Tours de Postnikov et invariants de Postnikov pour les opérades simpliciales / Postnikov towers and Postnikov invariants for simplicial operadsMienné, Michaël 14 December 2018 (has links)
Nous adaptons la définition des sections de Postnikov et des tours de Postnikov des ensembles simpliciaux aux opérades simpliciales. Nous définissons ensuite des foncteurs de cotroncation afin de filtrer la tour de Postnikov d’une opérade simpliciale par les arités et former ainsi la double tour de Postnikov de cette opérade. Nous introduisons un nouveau type d’opérade, les gamma-opérades, où gamma désigne une opérade dans les groupoïdes. Nous les utilisons pour modéliser l’action de l’opérade groupoïde fondamental d’une opérade simpliciale sur ses groupes d’homotopies et son revêtement universel. Nous munissons la catégorie des gamma-opérades d’ensembles simpliciaux d’une structure de catégorie modèle. D’autre part, nous montrons que les gamma-opérades dans la catégorie des groupes abéliens munie de la structure monoïdale induite par la somme directe forment une catégorie abélienne. Cette catégorie abélienne fournit les coefficients pour la cohomologie équivariante opéradique que nous étudions ensuite. Une version relative de cette cohomologie est également étudiée. Nous définissons alors les invariants de Postnikov d’une opérade simpliciale. Ce sont des classes de cohomologie équivariante opéradique qui permettent de reconstruire inductivement et à homotopie près une opérade simpliciale à l’aide de sa double tour. Ce processus de reconstruction est utilisé afin de développer une théorie de l’obstruction pour les opérades simpliciales : on peut étendre un morphisme d’opérades simpliciales le long d’une cofibration si et seulement une suite de classes de cohomologie équivariante opéradique relative définie inductivement est nulle. / We adapt the definition of Postnikov sections and Postnikov towers of simplicial sets to simplicial operads. We then define cotruncation functors in order to filter the Postnikov tower of a simplicial operad by arity and form the Postnikov double tower of this operad. We introduce a new kind of operad, the gamma-operads with gamma a groupoid operad. We use them to model the action of the fundamental groupoid operad of a simplicial operad on its homotopy groups and its universal covering. We equip the category of gamma-operad in simplicial sets with a model structure. We also prove that the gamma-operads in the category of abelian group equipped with the monoidal structure induced by the direct sum form an abelian category. This abelian category provides the coefficients for the operadic equivariant cohomology we study afterward. Furthermore, we study a relative version of this cohomology. We thereafter define the Postnikov invariants of a simplicial operad. These are operadic equivariant cohomology classes which permit to reconstruct inductively and up to homotopy a simplicial operad by the mean of its double tower. This reconstruction process is used to develop an obstruction theory for simplicial operads : a simplicial operad morphism can be extended along a cofibration if an only if a sequence of relative operadic equivariant cohomology classes defined inductively vanishes.
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Výpočetní homotopická teorie / Computational Homotopy TheoryKrčál, Marek January 2013 (has links)
of doctoral thesis "Computational Homotopy Theory": We consider several basic problems of algebraic topology, with connections to combinatorial and geometric questions, from the point of view of compu- tational complexity. The extension problem asks, given topological spaces X, Y , a subspace A ⊆ X, and a (continuous) map f : A → Y , whether f can be extended to a map X → Y . For computational purposes, we assume that A, X, Y are represented as finite simplicial complexes and f as a simplicial map. We study the problem under the assumption that, for some d ≥ 1, Y is d- connected, otherwise the problem is undecidable by uncomputability of the fundamental group; We prove that, this problem is still undecidable for dim X = 2d + 2. On the other hand, for every fixed dim X ≤ 2d + 1, we obtain an algorithm that solves the extension problem in polynomial time. We obtain analogous complexity results for the problem of determining the set of homotopy classes of maps X → Y . We also consider the computation of the homotopy groups πk(Y ), k ≥ 2, for a 1-connected Y . Their computability was established by Brown in 1957; we show that πk(Y ) can be computed in polynomial time for every fixed k ≥ 2. On the other hand, we prove that computing πk(Y ) is #P-hard if k is a part of input. It is a strengthening of...
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Construction of Maps by Postnikov TowersKennedy, Chris A. January 2018 (has links)
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