In this paper I investigate properties of square complex matrices of the form Ak, where A is also a complex matrix, and k is a nonnegative integer. I look at several ways of representing Ak. In particular, I present an identity expressing the kth power of the Schur form T of A in terms of the elements of T, which can be used together with the Schur decomposition to provide an expression of Ak. I also explain bounds on the norm of Ak, including some based on the element-based expression of Tk. Finally, I provide a detailed exposition of the most current form of the Kreiss Matrix Theorem.

A Constituição Federal de 1988 inseriu no ordenamento jurídico uma série de direitos e garantias fundamentais. Dentre eles, pode-se citar a divisão de poderes, a qual distribuiu no texto constitucional o papel de cada ente estatal, sobretudo, para o presente estudo, a função relativa ao Judiciário. Nesse esteio, pode-se afirmar que tanto as normas promulgadas no período pós 1988, como as que foram recebidas pelo novo ordenamento, passaram a ser analisadas sob o espectro do prisma principiológico. As normas procedimentais e processuais coordenam os trilhos da aplicação do Direito ao caso concreto e a formação do Direito para o caso abstrato. No entanto, há que se mitigar toda aplicabilidade ordinária pelo tempero dos princípios. Essa pesquisa terá como guia a colisão entre os princípios processuais da efetividade e da instrumentalidade em face do devido processo legal. Tem-se por premissa que o percurso do devido processo deve servir como ferramenta para a busca pela decisão final de mérito e consequente pacificação social. Caso contrário, em nada serviria todo o aparato do judiciário disponibilizado para a população. Desse modo, o presente estudo propõe uma análise sobre a atuação do Estado-Juiz no que tange ao ativismo processual. Diante do objetivo maior, qual seja a necessidade de efetivação dos direitos fundamentais e sociais, o fenômeno do ativismo judicial às vezes esquecido, às vezes exacerbado, se mostra como ferramenta necessária no contexto destacado. / The Federal Constitutional of 1988 introduces at the legal system a series of fundamental rights and guarantees. Among them, its significant the division of powers, which distributed in the Constitution the role of each state entity, above all, for this study, the judiciary function. Thus, it can be said that both the rules promulgated in the period after 1988 as those received by the new system, have been analyzed through the principles spectrum prism. The procedural rules coordinate the application of law to the cases and the creation of law for abstract case. However, it is necessary to mitigate any regular applicability with the principles orientation. This research tries are the collision between the procedural principles of effectiveness and instrumentality in the face of due process of law. As premised the route of due process should serve as a tool to the final decision and consequent social peace. Otherwise, it would be unnecessary the entire legal apparatus available to the public. Lastly, this study proposes an analysis about the performance of the Judge-State regarding the judicial activism. Looking to a larger goal, the need for enforcement of fundamental and social rights, the judicial activism phenomenon sometimes forgotten, sometimes exacerbated, shown itself as a necessary tool in the context highlighted.

A Constituição Federal de 1988 inseriu no ordenamento jurídico uma série de direitos e garantias fundamentais. Dentre eles, pode-se citar a divisão de poderes, a qual distribuiu no texto constitucional o papel de cada ente estatal, sobretudo, para o presente estudo, a função relativa ao Judiciário. Nesse esteio, pode-se afirmar que tanto as normas promulgadas no período pós 1988, como as que foram recebidas pelo novo ordenamento, passaram a ser analisadas sob o espectro do prisma principiológico. As normas procedimentais e processuais coordenam os trilhos da aplicação do Direito ao caso concreto e a formação do Direito para o caso abstrato. No entanto, há que se mitigar toda aplicabilidade ordinária pelo tempero dos princípios. Essa pesquisa terá como guia a colisão entre os princípios processuais da efetividade e da instrumentalidade em face do devido processo legal. Tem-se por premissa que o percurso do devido processo deve servir como ferramenta para a busca pela decisão final de mérito e consequente pacificação social. Caso contrário, em nada serviria todo o aparato do judiciário disponibilizado para a população. Desse modo, o presente estudo propõe uma análise sobre a atuação do Estado-Juiz no que tange ao ativismo processual. Diante do objetivo maior, qual seja a necessidade de efetivação dos direitos fundamentais e sociais, o fenômeno do ativismo judicial às vezes esquecido, às vezes exacerbado, se mostra como ferramenta necessária no contexto destacado. / The Federal Constitutional of 1988 introduces at the legal system a series of fundamental rights and guarantees. Among them, its significant the division of powers, which distributed in the Constitution the role of each state entity, above all, for this study, the judiciary function. Thus, it can be said that both the rules promulgated in the period after 1988 as those received by the new system, have been analyzed through the principles spectrum prism. The procedural rules coordinate the application of law to the cases and the creation of law for abstract case. However, it is necessary to mitigate any regular applicability with the principles orientation. This research tries are the collision between the procedural principles of effectiveness and instrumentality in the face of due process of law. As premised the route of due process should serve as a tool to the final decision and consequent social peace. Otherwise, it would be unnecessary the entire legal apparatus available to the public. Lastly, this study proposes an analysis about the performance of the Judge-State regarding the judicial activism. Looking to a larger goal, the need for enforcement of fundamental and social rights, the judicial activism phenomenon sometimes forgotten, sometimes exacerbated, shown itself as a necessary tool in the context highlighted.