Os problemas de colorac Ëao de vÂertices e de arestas, que consistem em determinar o menor nÂumero de cores necessÂarias para colorir os vÂertices e arestas de um grafo, respectivamente, de forma que vÂertices adjacentes e arestas adjacentes, respectivamente, possuem cores distintas, sËao problemas computacionalmente difÂıceis e sËao objeto de pesquisa recorrente em teoria do grafos em virtude de inÂumeros problemas prÂaticos que eles modelam. No presente trabalho, estudamos o pior desempenho dos algoritmos gulosos de colorac Ëao de vÂertices e de arestas. O algoritmo guloso tem o seguinte princÂıpio geral: receber, um a um, os vÂertices (respect. as arestas) do grafo a ser colorido, atribuindo sempre a menor cor possÂıvel ao vÂertice (resp. aresta) a ser colorido. Observamos que colorir de forma gulosa as arestas de um grafo equivale a colorir de forma gulosa o seu grafo linha, tendo sido este o maior interesse na pesquisa em colorac Ëao gulosa de arestas. O pior desempenho dos algoritmos Âe medido pelo maior nÂumero de cores que eles podem utilizar. No caso da colorac Ëao gulosa de vÂertices, esse Âe o nÂumero de Grundy ou nÂumero cromÂatico guloso do grafo. No caso da colorac Ëao de arestas, esse Âe o Âındice cromÂatico guloso ou Âındice de Grundy do grafo. Sabe-se que determinar o nÂumero de Grundy de um grafo qualquer Âe NP-difÂıcil. A complexidade de determinar o Âındice de Grundy de um grafo qualquer era entretanto um problema em aberto. Na presente dissertac Ëao, provamos dois resultados de complexidade. Provamos que o nÂumero de Grundy de um grafo (q,q−4) pode ser determinado em tempo polinomial. Essa classe contÂem estritamente a classe dos cografos e P4-esparsos para os quais o mesmo resultado havia sido estabelecido. Esse resultado generaliza portanto aqueles resultados. O algoritmo apresentado usa a decomposicÂËao primeval desses grafos, determinando o parËametro em tempo linear. No que se refere `a colorac Ëao de arestas, provamos que o problema de determinar o Âındice de Grundy Âe NP-completo para grafos em geral e polinomial para grafos caterpillar, implicando que o nÂumero de Grundy Âe polinomial para os grafos linha desses. Mais especificamente provamos que o Âındice de Grundy dos caterpillar Âe D ou D+1 e apresentamos um algoritmo polinomial para determinÂa-lo exatamente. / The vertices and edges colorings problems, which consists in determine the smallest number of colors needed to color the vertices and edges of a graph, respectively, so that adjacent vertices and adjacent edges, respectively, have distinct colors, are computationally hard problems and recurring subject of research in graph theory due to numerous practical problems they model. In this work, we study the worst performance of greedy algorithms for coloring vertices and edges. The greedy algorithm has the following general principle: to receive, one by one, the vertices (respect. edges) of the graph to be colored by assigning always the smallest possible color to the vertex (resp. edge) to be colored. We note that so greedy coloring the edges of a graph is equivalent to greedily coloring its line graph, this being the greatest interest in research on greedy edges coloring. The worst performance of the Algorithms is measured by the greatest number of colors they can use. In the case of greedy vertex coloring, this is the number of Grundy or greedy chromatic number of the graph. For the edge coloring, this is the greedy chromatic index or Grundy index of the graph. It is known that determining the Grundy number of any graph is NP-hard. The complexity of determining the Grundy index of any graph was however an open problem. In this dissertation, we prove two complexity results. We prove that the Grundy number of a (q,q−4)-graph can be determined in polynomial time. This class contains strictly the class of cografos P4-sparse for which the same result had been established. This result generalizes so those results. The presented algorithm uses the primeval decomposition of graphs, determining the parameter in linear time. About greedy edge coloring, we prove that the problem of determining the Grundy index is NP-complete for general graphs and polynomial for catepillar graphs, implying that the Grundy number is polynomial for graphs of line of caterpillars. More specifically, we prove that the Grundy index of a caterpillar is D or D+1 and present a polynomial algorithm to determine it exactly.

OLIVEIRA, Ana Karolinna Maia de. Estudo de casos de complexidade de colorações gulosa de vértices e de arestas. 2011. 58 f. : Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Computação, Fortaleza-CE, 2011. / Submitted by guaracy araujo (guaraa3355@gmail.com) on 2016-05-24T19:36:17Z No. of bitstreams: 1 2011_dis_akmoliveira.pdf: 520341 bytes, checksum: b0c0d48f19d7c3e376c2c79c3a815b08 (MD5) / Approved for entry into archive by guaracy araujo (guaraa3355@gmail.com) on 2016-05-24T19:36:55Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_dis_akmoliveira.pdf: 520341 bytes, checksum: b0c0d48f19d7c3e376c2c79c3a815b08 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-24T19:36:55Z (GMT). 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We note that so greedy coloring the edges of a graph is equivalent to greedily coloring its line graph, this being the greatest interest in research on greedy edges coloring. The worst performance of the Algorithms is measured by the greatest number of colors they can use. In the case of greedy vertex coloring, this is the number of Grundy or greedy chromatic number of the graph. For the edge coloring, this is the greedy chromatic index or Grundy index of the graph. It is known that determining the Grundy number of any graph is NP-hard. The complexity of determining the Grundy index of any graph was however an open problem. In this dissertation, we prove two complexity results. We prove that the Grundy number of a (q,q−4)-graph can be determined in polynomial time. This class contains strictly the class of cografos P4-sparse for which the same result had been established. This result generalizes so those results. The presented algorithm uses the primeval decomposition of graphs, determining the parameter in linear time. About greedy edge coloring, we prove that the problem of determining the Grundy index is NP-complete for general graphs and polynomial for catepillar graphs, implying that the Grundy number is polynomial for graphs of line of caterpillars. More specifically, we prove that the Grundy index of a caterpillar is D or D+1 and present a polynomial algorithm to determine it exactly. / Os problemas de colorac¸ ˜ao de v´ertices e de arestas, que consistem em determinar o menor n´umero de cores necess´arias para colorir os v´ertices e arestas de um grafo, respectivamente, de forma que v´ertices adjacentes e arestas adjacentes, respectivamente, possuem cores distintas, s˜ao problemas computacionalmente dif´ıceis e s˜ao objeto de pesquisa recorrente em teoria do grafos em virtude de in´umeros problemas pr´aticos que eles modelam. No presente trabalho, estudamos o pior desempenho dos algoritmos gulosos de colorac¸ ˜ao de v´ertices e de arestas. O algoritmo guloso tem o seguinte princ´ıpio geral: receber, um a um, os v´ertices (respect. as arestas) do grafo a ser colorido, atribuindo sempre a menor cor poss´ıvel ao v´ertice (resp. aresta) a ser colorido. Observamos que colorir de forma gulosa as arestas de um grafo equivale a colorir de forma gulosa o seu grafo linha, tendo sido este o maior interesse na pesquisa em colorac¸ ˜ao gulosa de arestas. O pior desempenho dos algoritmos ´e medido pelo maior n´umero de cores que eles podem utilizar. No caso da colorac¸ ˜ao gulosa de v´ertices, esse ´e o n´umero de Grundy ou n´umero crom´atico guloso do grafo. No caso da colorac¸ ˜ao de arestas, esse ´e o ´ındice crom´atico guloso ou ´ındice de Grundy do grafo. Sabe-se que determinar o n´umero de Grundy de um grafo qualquer ´e NP-dif´ıcil. A complexidade de determinar o ´ındice de Grundy de um grafo qualquer era entretanto um problema em aberto. Na presente dissertac¸ ˜ao, provamos dois resultados de complexidade. Provamos que o n´umero de Grundy de um grafo (q,q−4) pode ser determinado em tempo polinomial. Essa classe cont´em estritamente a classe dos cografos e P4-esparsos para os quais o mesmo resultado havia sido estabelecido. Esse resultado generaliza portanto aqueles resultados. O algoritmo apresentado usa a decomposic¸˜ao primeval desses grafos, determinando o parˆametro em tempo linear. No que se refere `a colorac¸ ˜ao de arestas, provamos que o problema de determinar o ´ındice de Grundy ´e NP-completo para grafos em geral e polinomial para grafos caterpillar, implicando que o n´umero de Grundy ´e polinomial para os grafos linha desses. Mais especificamente provamos que o ´ındice de Grundy dos caterpillar ´e D ou D+1 e apresentamos um algoritmo polinomial para determin´a-lo exatamente.