Passeio aleatório é uma classe de modelos matemáticos que têm por objetivo descrever processos estocásticos cujo resultado observável é dado por uma soma de variáveis aleatórias. O termo foi cunhado em 1905 pelo estatístico inglês Karl Pearson, estando na época interessado na modelagem da migração de insetos, e hoje possui uma ampla gama de aplicações, indo desde a biologia, passando pela física e química, e chegando na economia. Tendo sido estudado por inúmeros cientistas, muitas variações surgiram, chegando aos passeios aleatórios correlacionados, processos estocásticos não-Markovianos nos quais as variáveis aleatórias que se somam, chamadas de passos, possuem dependências umas com as outras, com correlações de caudas longas. Em 2004, surge na literatura o passeio aleatório do elefante, um passeio aleatório correlacionado com um mecanismo microscópico de memória de longo alcance muito bem definido e com soluções analíticas. Além desses dois fatos, também despertou o interesse da comunidade científica por exibir superdifusão. Muitas variações desse modelo foram propostas e vários resultados foram obtidos nos anos que se seguiram. A presente dissertação contem uma compilação dos principais modelos e resultados da área, tentando ser um texto introdutório ao assunto, focando sempre no que diz respeito à difusão. No caso unidimensional, propomos uma generalização desse tipo de passeio aleatório, o qual envolve decisões probabilísticas com respeito a passos lembrados do passado. Já no caso multi-muldimensional, apresentamos o conceito de acoplamento de memória e o modelo de Vaca e Boi, introduzidos pelo autor deste trabalho em 2018, como uma maneira de incluir interações entre elefantes. Também obtivemos um limite do contínuo para esse último processo, permitindo calcular os regimes de difusão para o Boi e construir um diagrama de fases para o mesmo. Esses últimos pontos constituem as principais contribuições do presente trabalho. / Random walk is a class of mathematical models which has the objective of describing a stochastic process whose observable result is given by a sum of aleatory variables. The term was coined in 1905 by the english statistician Karl Pearson while he was interested in the insects migration modeling, but today it has a myriad of applications, from biology to stock markets, passing through physics and chemestry. It has been studied by an uncountable number of scientists and a lot of variations have appeared, including those called correlated random walks, which are stochastic non-Markovian process in which those random variables that are summed, called steps, depends one of each other with fat tails correlations. In 2004, the elephant random walk appeared in the literature. It is a correlated random walk with a microscopic well defined memory mechanism and that has analitical solutions. Besides these facts, it also arouse the interest of scientific community because it exhibits superdifusion behaviour. In the one-dimensional case, we propose a generalization of this kind of random walk, which involves probabilistic decisions with respect to remembered steps given in the past. In the multi-dimensional case, we present the concept of memory coupling and the Cow and Ox model, which were introduced by the author of this work in 2018 as a manner of including interactions among elephants. We have also obtained a continuum limit of this process, allowing us to calculate the Ox diffusion regimes and to build its phase diagram. These last points constitute the main contributions of the present work.

Submitted by Maria Cristina (library@lncc.br) on 2017-08-10T18:45:47Z No. of bitstreams: 1 tese_caio_cesar_graciani_rodrigues.pdf: 1550607 bytes, checksum: 740cf1e87f2a897b734accc7abd6ec11 (MD5) / Approved for entry into archive by Maria Cristina (library@lncc.br) on 2017-08-10T18:45:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 tese_caio_cesar_graciani_rodrigues.pdf: 1550607 bytes, checksum: 740cf1e87f2a897b734accc7abd6ec11 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-10T18:46:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_caio_cesar_graciani_rodrigues.pdf: 1550607 bytes, checksum: 740cf1e87f2a897b734accc7abd6ec11 (MD5) Previous issue date: 2017-04-10 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) / Over the past few decades, the study of systems subjected to abrupt changes in their structures has consolidated as a significant area of research, due, in part, to the increasing importance of dealing with the occurrence of random failures in complex systems. In this context, Markov jump linear system (MJLS) comes up as an approach of central interest, as a means of representing these dynamics. Among the numerous works that seek to establish design methods for control and filtering considering this class of systems, the scarcity of literature related to the partial observation scenarios is noticeable. This thesis features contributions to the H1 control and filtering for continuous-time MJLS with partial mode information. In order to overcome the challenge regarding the lack of information of the current state of the Markov chain, we use a detector-based formulation. In this formulation, we assume the existence of a detector, available at all times, which provides partial information about the operating mode of the jump process. A favorable feature of this strategy is that it allows us to recover (without being limited to) some recent results of partial information scenarios in which we have an explicit solution, such as the cases of complete information, mode-independent and cluster observations. Our results comprise a new bounded real lemma followed by the design of controllers and filters driven only by the informations given by the detector. Both, the H1 analysis and the design methods presented are established through the solutions of linear matrix inequalities. In addition, numerical simulations are also presented encompassing the H1 performance for particular structures of the detector process. From an application point of view, we highlight some examples related to the linearized dynamics for an unmanned aerial vehicle. / Nas últimas décadas, o estudo de sistemas cujas estruturas estão sujeitas a mudanças abruptas de comportamento tem se consolidado como uma significante área de pesquisa, devido, em parte, pela importância crescente de lidar com a ocorrência de falhas aleatórias em sistemas complexos. Neste contexto, os sistemas lineares com salto Markoviano (SLSM) surgem como uma abordagem de interesse central, como um meio de representar estas dinâmicas. Dentre os inúmeros trabalhos que buscam estabelecer técnicas de controle e filtragem considerando esta classe de sistemas, a escassez de literatura relacionada ao cenário de observações parciais é perceptível. Esta tese apresenta novos resultados de controle e filtragem H1 para SLSM a tempo contínuo e observações parciais no modo de operação. A fim de superar o desafio quanto a falta de informações do atual estado da cadeia de Markov, utilizamos uma formulação baseada em um detector. Com esta abordagem, assumimos a existência de um detector, disponível em todo instante de tempo, que fornece informações a respeito do modo de operação do processo de salto. Uma favorável característica desta estratégia é a de nos possibilitar o resgate (sem estar-se limitado a eles) de alguns resultados recentes dos cenários de informações parciais nos quais temos uma solução explícita, como os casos de informações completas, independentes do modo e cluster de observações. Os nossos resultados compreendem um novo bounded real lemma seguido do projeto de controladores e filtros que usam apenas as informações do detector. Tanto a análise H1 quanto os métodos de projeto apresentados são estabelecidos através da soluções de inequações matriciais lineares. Adicionalmente, também são apresentadas simulações numéricas que mostram a performance H1 para estruturas particulares do detector. Sob o ponto de vista de aplicações, destacamos os exemplos relacionados a dinâmicas linearizadas para um avião aéreo não tripulado.

O interesse em identificação de sistemas e de parâmetros aplicado à área aeroespacial não é recente, mas continua vibrante, pois novos desafios são propostos. Na atualidade, procura-se investir na obtenção de resultados mais precisos e mais rápidos, preferencialmente em tempo real, para que haja uma interação entre engenharia e tripulação ainda durante o vôo. A proposta de estimar estados, antes de estimar parâmetros, é bastante conveniente, pois fornece uma base de dados consistente para a obtenção das estimativas paramétricas. A verificação da consistência de dados de ensaio através de modelos cinemáticos, antes que se passe para a fase de identificação de parâmetros, usando filtragem estocástica é bastante atrativa, pois o método comporta ruídos de processo e de medida. Ambos são típicos para a natureza do problema, mas acrescenta-se o fato de que suas propriedades estatísticas variam ao longo do tempo. Nesse trabalho propõe-se o uso da filtragem estocástica adaptativa para verificação da consistência de dados de ensaio em vôo e calibração simultânea dos dados do ar. O método proposto baseia-se nos procedimentos de ajuste de covariância, calculada através de filtros de Kalman executados em paralelo. A metodologia foi testada com dados sintéticos via simulações de Monte Carlo e com manobras de ensaio em vôo reais. Os resultados mostraram-se coerentes com os fenômenos, e mais precisos que os obtidos com filtragem não adaptativa, a um custo computacional baixo.

This thesis is focused on two basic aspects of the Control Problem: the stochastic modelling of physical systems, and Monte Carlo-based numerical approximation of the nonlinear filtering problem solution. In the first topic this thesis concerns about clarifying some issues in the mathematical modeling of continuous-time systems with Brownian motion. The hypothesis that physical systems should be modelled in continuous-time approach is defended, once the main results in Physics provide solutions for dynamic systems via continuous-time differential equations. It was shown, recalling a main result from the 1960's that a physical system is represented by Fisk-Stratonovich stochastic differential equation, though Ito approach is better to manipulate the mathematical operations. The required conditions for implementing these equations in computers were also studied by using Euler-Maruyama and Milstein schemes of discretization. In the second topic a unified treatment of the available Monte Carlo methods solving the nonlinear filtering problem for continuous and discrete-time modelling is presented with sufficient emphasis on basic applications enabling the engineer to use results provided by the theory. This topic is branched in the study of the theory of nonlinear filtering problem in continuous and discrete-time approaches, and in the investigation of the aspects of Monte Carlo-based numerical solutions approximating unnormalized conditional expectations, as those given by the classical Kallianpur-Striebel formula and its derived robust representation. Investigations showed that the estimates obtained via numerical approximations of the robust representation, or pathwise filter, might accumulate errors when the observation makes this filter alternative equation unstable, a limitation of the method. Another result of this thesis refers to the implementation of Monte Carlo filters using Bayesian representation for discretized models. Although Monte Carlo methods are attractive due to their facility of parallelization, their main drawback is the degeneracy phenomenon of the particles. The traditional resampling scheme solves the problem, but it difficulties the parallelization of the algorithm. The restoration method was then proposed to move the particles towards higher regions in the likelihood function, given information about the model parameters. This open method, in some sense, might decrease the particles degeneracy.

Este trabalho desenvolve um método adaptativo estocástico aplicado ao treinamento de uma arquitetura neural conhecida como Functional Link Network - FLN para a determinação dos coeficientes aerodinâmicos e de controle de uma aeronave de alto desempenho. Esta arquitetura neural possui dois aspectos importantes: permite o uso de uma infinidade de alternativas de tipos de funções (exponenciais, polinomiais, etc) como funções de base e o uso de regras de treinamento lineares. Quando o treinamento é feito usando um algoritmo de estimação linear ótimo, ou seja, um algoritmo como o filtro de Kalman, tem-se um comportamento numérico ruim, causando assim problemas de divergência quando conjuntos grandes de dados de treinamento são processados. Este problema ocorre devido ao fato de que o algoritmo perde a capacidade de treinamento quando novos conjuntos de dados são processados. Para evitar este mau comportamento e tentar manter uma capacidade de aprendizado distribuída e uniforme, se propõe o uso de um procedimento adaptativo baseado em um critério de consistência estatística, para contrabalançar a prioridade das informações a priori com as novas informações de treinamento. A arquitetura neural Functional Link Network - FLN e o procedimento adaptativo formam a Adaptive Functional Link Network - AFLN que permite a identificação dos parâmetros aerodinâmicos e de controle, mesmo quando os valores iniciais dos parâmetros estiverem distantes dos valores reais. Para se obter uma arquitetura que tenha boa capacidade de modelagem e de generalização, utiliza-se também uma heurística de poda (Optimal Brain Surgeon - OBS), para eliminar os parâmetros (funções) menos significativos. Para testar e validar o método desenvolvido, utilizam-se dados fornecidos por um simulador em FORTRAN da aeronave F16 e se compara com os dados obtidos via a aplicação da AFLN, tanto para os coeficientes do movimento longitudinal quanto para os do movimento látero-direcional. Os resultados são promissores e indicam a possibilidade do uso da ferramenta na identificação, em tempo quase real, dos coeficientes dentro do envelope de vôo da aeronave.

Este trabalho apresenta um sistema completo para simulação e avaliação do uso de filtros estocásticos para combinar medidas de posição feitas por um sistema inercial, composto de girômetros e acelerômetros, com medidas de posição de um sistema GPS, de modo que possamos extrair uma estimativa do erro de posição acumulado por integração das medidas dos sensores inerciais e corrigir a leitura do mesmo. Para tal, foram desenvolvidos em detalhes e validados um modelo de navegação e um modelo de espaço de estados onde o vetor de variáveis ocultas é a combinação dos erros de posição, velocidade, atitude e fator de escala dos sensores inerciais e deriva de ambos os sensores, inerciais e do GPS. Ainda foram implementados e analisados em sua performance três tipos de Filtros aplicados quando o modelo de observações é não-linear: o Filtro Estendido de Kalman (EKF), o Filtro de Kalman Unscented (UKF) e o Filtro de partículas com Função de importância ótima e Reamostragem. Resultados da Integração Inercial-GPS em diversas trajetórias e configurações de parâmetros são apresentados, bem como os problemas e as soluções na implementação são discutidos.

Estudamos um modelo de passeios aleatórios simples em grafos, conhecido como modelo dos sapos. Esse modelo pode ser descrito de maneira geral da seguinte forma: existem partículas ativas e partículas desativadas num grafo G. Cada partícula ativa desempenha um passeio aleatório simples a tempo discreto e a cada momento ela pode morrer com probabilidade 1-p. Quando uma partícula ativa entra em contato com uma partícula desativada, esta é ativada e também passa a realizar, de maneira independente, um passeio aleatório pelo grafo. Apresentamos limites superior e inferior para o parâmetro crítico de sobrevivência do modelo dos sapos na árvore, e demonstramos que este parâmetro crítico não é uma função monótona do grafo em que está definido. / We study a system of simple random walks on graphs, known as frog model. This model can be described generally speaking as follows: there are active and sleeping particles living on some graph G. Each particle performs a simple random walk with discrete time and at each moment it may disappear with probability 1 - p. When an active particle hits a sleeping particle, the latter becomes active and starts to perform, independently, a simple random walk on the graph. We present lower and upper bounds for the surviving critical parameter on the tree, and we show that this parameter is not a monotonic function of the graph it is defined on.

Apresentamos dois autômatos celulares com regras de interação locais que permitem descrever a dinâmica de população de um sistema predador-presa. Os modelos são definidos sobre uma rede regular quadrada e se diferenciam pelo caráter isotrópico ou anisotrópico da interação entre os sítios. A cada sítio é associada uma variável estocástica, que pode assumir três estados - vazio, presa ou predador. A dinâmica de competição entre espécies animais que nos interessa é a mesma descrita pelo modelo de Lotka-Volterra no qual as populações de presas e predadores oscilam temporalmente. Nosso objetivo é a análise dessas oscilações, como se comportam com o aumento da rede e se permanecem estáveis. Para a obtenção das séries temporais realizamos simulações de Monte Carlo. Para o autômato definido sobre o espaço isotrópico, também realizamos análise de campo médio dinâmico. Os resultados indicam que a oscilação é um efeito local (não sobrevive em sistemas infinitos), e é mais significativo devido à migração das espécies pelos subsistemas. O estudo da anisotropia revela alguns padrões espaciais organizados e que as oscilações são menos intensas do que no caso isotrópico e como consequência a fase ativa é mais abrangente. / We present two cellular automata with local interaction rules which allow us to describe the dynamical population of a predator-prey system. The models are defined on a regular square lattice and are distinguished by the isotropic or anisotropic character of the interaction between sites. To each site a stochastic variable is associated, which can assume three states- void, prey or predator. The competition dynamics between animal species which interest us is the same described by the Lotka-Volterra model in which the populations of preys and predators oscillate in time. Our aim is the analysis of these oscillations, how they behave with an increasing lattice and if they remain stable. In order to obtain temporal series we perform Monte Carlo simulations. For the automaton defined on isotropic space, dynamical mean field analysis was also performed. Results indicate that the oscillation is a local effect ( vanishing in infinite systems), and is more significant due to migration of species through the subsystems. The study of anisotropy reveals some organized spatial patterns and that oscillations are less intense than in the isotropic case and as a consequence the active phase is more comprehensive.

Dados binários ou dicotômicos são comuns em muitas áreas das ciências, nas quais, muitas vezes, há interesse em registrar a ocorrência, ou não, de um evento particular. Por outro lado, quando cada unidade amostral é avaliada em mais de uma ocasião no tempo, tem-se dados longitudinais ou medidas repetidas no tempo. é comum também, nesses estudos, se ter uma ou mais variáveis explicativas associadas às variáveis respostas. As variáveis explicativas podem ser dependentes ou independentes do tempo. Na literatura, há técnicas disponíveis para a modelagem e análise desses dados, sendo os modelos disponíveis extensões dos modelos lineares generalizados. O enfoque do presente trabalho é dado aos modelos lineares generalizados de transição para a análise de dados longitudinais envolvendo uma resposta do tipo binária. Esses modelos são baseados em processos estocásticos e o interesse está em modelar as probabilidades de mudanças ou transições de categorias de respostas dos indivíduos no tempo. A suposição mais utilizada nesses processos é a da propriedade markoviana, a qual condiciona a resposta numa dada ocasião ao estado na ocasião anterior. Assim, são revistos os fundamentos para se especificar tais modelos, distinguindo-se os casos estacionário e não-estacionário. O método da máxima verossimilhança é utilizado para o ajuste dos modelos e estimação das probabilidades. Adicionalmente, apresentam-se testes assintóticos para comparar tratamentos, baseados na razão de chances e na diferença das probabilidades de transição. Outra questão explorada é a combinação do modelo de efeitos aleatórios com a do modelo de transição. Os métodos são ilustrados com um exemplo da área da saúde. Para esses dados, o processo é considerado estacionário de ordem dois e o teste proposto sinaliza diferença estatisticamente significativa a favor do tratamento ativo. Apesar de ser uma abordagem inicial dessa metodologia, verifica-se, que os modelos de transição têm notável aplicabilidade e são fontes para estudos e pesquisas futuras. / Binary or dichotomous data are quite common in many fields of Sciences in which there is an interest in registering the occurrence of a particular event. On the other hand, when each sampled unit is evaluated in more than one occasion, we have longitudinal data or repeated measures over time. It is also common, in longitudinal studies, to have explanatory variables associated to response measures, which can be time dependent or independent. In the literature, there are many approaches to modeling and evaluating these data, where the models are extensions of generalized linear models. This work focus on generalized linear transition models suitable for analyzing longitudinal data with binary response. Such models are based on stochastic processes and we aim to model the probabilities of change or transitions of individual response categories in time. The most used assumption in these processes is the Markov property, in which the response in one occasion depends on the immediately preceding response. Thus we review the fundamentals to specify these models, showing the diferences between stationary and non-stationary processes. The maximum likelihood approach is used in order to fit the models and estimate the probabilities. Furthermore, we show asymptotic tests to compare treatments based on odds ratio and on the diferences of transition probabilities. We also present a combination of random-efects model with transition model. The methods are illustrated with health data. For these data, the process is stationary of order two and the suggested test points to a significant statistical diference in favor of the active treatment. This work is an initial approach to transition models, which have high applicability and are great sources for further studies and researches.

Orientador: André Ricardo Oliveira de Fonseca / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, 2013