An important aspect of Diophantine Approximation deals with the problem of approximating real or complex numbers by rational numbers or, more generally, by algebraic numbers of bounded degree. This study provides criteria to decide whether a given real or complex number is algebraic or transcendental. In this thesis we present several such results. Following Davenport & Schmidt we look at the approximation of a real number by rational numbers, by quadratic irrational numbers and by algebraic integers of degree at most 3. We also look at the related problem of simultaneous approximation of a real number and its square by rational numbers with the same denominator. We conclude with a new Gel'fond type criterion in degree 2 and show that it involves an optimal exponent of approximation.

Scleroderma is an auto-immune disease characterized by thickened and hardened skin. Similarly to other rheumatic diseases such as Lupus, disease activity in Scleroderma greatly fluctuates over time. Developing a new disease activity index for Scleroderma is a necessary step before undertaking clinical trials to test different treatments and would provide a conceptual structure to approach this poorly-defined disease. In this thesis, we first apply statistical methods traditionally used to develop disease activity indices such as Factor Analysis, Principal Component Analysis and Multiple Linear Regression. We then compare these approaches to more modern statistical learning approaches such as Ridge and Lasso Regression, Principal Component Regression, Partial Least Squares Regression and Regression trees in the context of disease activity index construction and validation. We assess the predictive ability of the traditional and new methods using data from the Canadian Scleroderma Research Group (CSRG) registry. The methods are first assessed and compared by limiting the diagnostic criteria to those that are included in the commonly used Scleroderma Disease Activity Score (SDAS, Valentini et al., 2001 and 2003). In our work, we found that the SDAS does not predict physician global assessment of activity very well for patients in the CSRG registry. There are important discrepancies between the performance and generability of the index as reported by Valentini et al. and the results of our analyses. Thus, we conclude with the development of a new disease activity index for Scleroderma using the methods that previously showed good properties and a wider class of predictors. In summary, we found that the Lasso Regression approach outperforms other unsupervised and supervised learning techniques for predicting our outcome variables. It automatically selects good predictors and yields accurate prediction models, both in the context of the original SDAS and the new in / La Sclérodermie est une maladie auto-immune characterisée par un épaississement et un durcissement de la peau. Similairement à d'autres maladies rhumatiques telles que le Lupus, l'activité de la maladie varie grandement dans le temps. Développer un nouvel indice d'activité pour la Sclérodermie est un passage obligé avant d'entreprendre des essais cliniques pour évaluer l'efficacité de différents traitements en plus de fournir une structure pour étudier cette maladie jusqu'ici peu connue. Dans ce mémoire, nous explorons en premier lieu des méthodes statistiques traditionnellement utilisées pour le développement d'indices d'activité telles que l'Analyse Factorielle, l'Analyse de Composantes Principales et la Régression Linéaire Multiple. Nous comparons ensuite ces approches avec des méthodes d'apprentissage statistique plus modernes pouvant être utilisées pour le développement et la validation d'indices d'activité telles que la Régression de Ridge et de Lasso, la Régression de Composantes Principales, la Régression de Moindre Carrés Partiels ainsi que les Arbres de Régression. Nous évaluons ces différentes approches en termes de leur habileté à prédire l'activité de nouveaux patients en utilisant les données du Groupe de Recherche Canadien sur la Sclérodermie (GRCS). Dans un premier temps, nous évaluons et comparons ces méthodes en limitant notre attention aux items utilisés dans l'Indice d'Activité pour la Sclérodermie (IAS, Valentini et al., 2001 et 2003). Lors de nos travaux, nous avons découvert que l'IAS ne prédit pas adéquatement l'évaluation globale de l'activité faite par le médecin membre du GRCS. Plusieurs différences quant à la performance et à la généralisation de l'indice telles que rapportées par Valentini et al. se sont révélées lors de nos analyses. Nous terminons avec la construction de notre propre indice en utilisant les méthodes qui ont démontré de bonnes capacités à prédire l'a

In 2007 Babaioff, Immorlica, and Kleinberg formulated the matroid secretary problem, elegantly tying together the field of matroid theory with generalizations of the secretary problem. In this thesis, we introduce the reader to matroids and the secretary problem, before diving into Babaioff et al's definition and a survey of recent results. We then focus on the important special case of the transversal matroid secretary problem. We formulate a previously undefined class of transversal matroids and give a constant competitive algorithm for them. We also provide the tightest known analysis of Plaxton and Dimitrov's recent 2008 algorithm for the transversal matroid secretary problem and thereby give the tightest known competitive ratio for this problem. / En 2007, Babaioff, Immorlica, et Kleinberg formulèrent la version matroïdale du problème du secrétaire (matroid secretary problem), liant de façon élégante la théorie des matroïdes à des généralisations du problème du secrétaire. Dans cette thèse, nous introduisons le lecteur aux matroïdes et au problème du secrétaire, avant de nous lancer dans la définition de Babaioff et al. et dans une étude de résultats récents. En suite nous nous concentrons sur l'important cas spécial du transversal matroid secretary problem. Nous formulons une classe de matroïdes transversales qui n'a pas été defini auparavant, et présentons un algorithme c-compétitif (c une constante) pour cette classe. Nous fournissons aussi l'analyse la plus rigoureuse que l'on connaisse de l'algorithme récent (2008) de Plaxton et Dimitrov pour le transversal matroid secretary problem, ainsi donnant le meilleur rapport de compétitivité que l'on connaisse pour ce problème.

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In this thesis we outline the mathematical principles behind density functional theory, and describe the iterative Kohn-Sham formulation for computation of electronic density calculations in nano devices. The model for computation of the density of electrons in such device is a non-linear eigenvalue problem that is solved iteratively using the resolvent formalism. There are several bottlenecks to this approach and we propose methods to resolve them. This iterative method involves a matrix inversion. This matrix inversion is called upon when calculating the Green's function for a particular system, the two-probe device. A method to speed up this calculation is to use a preconditioning technique to accelerate the convergence of the iterative metho d. Tests the existing algorithm for a one-dimensional system are presented. The results indicate that these preconditioning methods reduce the condition number of the matrices. / Dans cette thèse, nous présentons les principes mathématiques à la base de la théorie de la fonctionnelle de la densité, et nous décrivons la formule Kohn-Sham itérative pour le calcul des densités d'électron dans les composants nano-électroniques. Le modèle de densité électronique est un problème de valeurpropre non-linéaire que l'on résout de manière itérative. Il y a plusieurs complications liées à cette technique et nous proposons des méthodes pour y remédier. On formule le système à l'aide du calcul de l'opérateur hamiltonien dans une base particulière. Cette inversion de matrice est nécessaire lors du calcul de la fonction de Green pour le système en question: l'appareil à deux sondes. Afin d'accélérer ce calcul, nous utilisons une technique de préconditionnement basée sur la nature itérative du problème. Nous présentons les résultats de nos essais avec différents préconditionneurs. Ceux-ci indiquent que ces méthodes réduisent le nombre de conditionnement de notre matrice. Ce préconditionnement est donc appliqué à des algorithmes d'inversion itératives classiques tels que la méthode de Gauss-Seidel et la méthode du résidu minimal généralisée. En effet, nous observons une réduction du nombre d'itérations nécessaires pour le calcul de la matrice inverse.

Using an analogue of Makanin-Razborov diagrams, we give a description of the solution set of systems of equations over an equationally Noetherian free product of groups $G$. Equivalently, we give a parametrisation of the set $\Hom(H, G)$ of all homomorphisms from a finitely generated group $H$ to $G$. Furthermore, we show that every algebraic set over $G$ can be decomposed as a union of finitely many images of algebraic sets of NTQ systems. If the universal Horn theory of $G$ (the theory of quasi-identities) is decidable, then our constructions are effective. / Utilisant un analogue des diagrammes de Makanin-Razborov, nous donnons une description de l'ensemble des solutions de systémes d'équations dans un produit libre équationallement Noetherien $G$. De maniére équivalente, nous donnons une paramétrisation de l'ensemble $\Hom(H,G)$ des homomorphismes d'un groupe de génération finie $H$à $G$.Si la théorie universelle de Horn de $G$ est décidable, nos constructions sont algorithmique.

Many nonlinear differential equations have solutions that cease to exist in finite time because their norm becomes infinite. We say that the solution blows up in finite time. In general, this phenomenon is especially important in the physical interpretation of the results, but unfortunately most of these differential equations can not be explicitly solved. Moreover numerically approximating blow-up phenomena is a delicate problem and most standard methods only yield poor results. / In this thesis we suggest ways to construct fixed-step numerical methods, specialized in the approximation of a blow-up solution, the so-called B-methods (in case of partial differential equations, we obtain semi-discretizations in time). Two approaches are presented in detail: one consists of a splitting method while the other comes from a variation of the constant. Both approaches are based on the same idea: to exploit the fact that the solution of a simplified equation (made up of the nonlinear part that is responsible for the blow-up) can be explicitly written. / We start by properly defining the problem and presenting an extensive literature review concerning both theoretical and numerical results. Then, after explaining the two methods of construction on an example, we apply them to different models and so we obtain numerous B-methods. All these methods are implemented and extensive numerical experiments illustrate the superiority of the performance of B-methods over standard methods. Finally a chapter is devoted to the theoretical study of some B-methods. Theorems which are proven reinforce the promising results of the numerical tests. / De nombreuses équations différentielles non-linéaires ont des solutions qui cessent d'exister en temps fini car leur norme devient infinie. On dit alors que la solution explose en temps fini. Ce phénomène revêt généralement une grande importance dans l'interprétation physique des résultats, malheureusement la plupart de ces équations différentielles ne peuvent pas être résolues explicitement. De plus l'approximation numérique du phénomène d'explosion est délicat et la plupart des méthodes standards ne donnent que des résultats médiocres. / Dans cette thèse nous proposons des façons de construire des méthodes numériques à pas de temps fixe, spécialisées dans l'approximation d'une solution qui explose, les B-méthodes (dans le cas d'équations aux dérivés partielles, nous obtenons des semi-discrétisations en temps). Deux approches sont présentées en détail : l'une consiste en une "splitting method" tandis que l'autre provient d'une variation de la constante. Toutes deux se basent sur la même idée : exploiter le fait que la solution d'une équation simplifiée (formée de la partie non-linéaire responsable de l'explosion) peut être écrite explicitement. / Nous commençons par bien définir le problème et présentons une revue étendue de la littérature consacrée au sujet, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. Puis, après avoir expliqué ces deux méthodes de construction sur un exemple, nous les appliquons à différents modèles et obtenons ainsi de nombreuses B-méthodes. Toutes ces méthodes sont ensuite programmées et des tests numériques étendus viennent illustrer la supériorité des performances des B-méthodes sur celles des méthodes standards. Un chapitre est également consacré à l'étude théorique de quelques B-méthodes. Les théorèmes qui y sont prouvés viennent supporter les résultats prometteurs des tests numériques.

In functional imaging, we are searching for the location of a particular effect in a group of images. It is often of interest to perform a statistical test at each point of the image, and reject the null hypothesis of "no effect" where there is significant evidence to do so. For such purpose, a test statistic should be evaluated at each point of the image, resulting in a test statistic image. The test statistic image can be considered as a stochastic process or a random field, f, defined on some parameter space, T, and taking values in R. When the statistic image, f, is submitted to a threshold of level u the p-value will be the excursion probability. When f satisfies certain conditions, Random Field Theory (RFT) can be used to estimate the above excursion probability by calculating the expected Euler characteristic (EC) of the excursion sets of f. The existing RFT results give explicit formulas for E[EC(Au)] when f is a function of Gaussian random fields [26, 27]. From the "hypothesis testing" point of view, this means that the test performed at each point of the image should be parametric. Parametric tests often assume that the observations are normally distributed and this assumption does not always hold. If this normality assumption fails, the underlying random fields of our test will not be Gaussian, and consequently, the Gaussian RFT results would not be valid. / In this thesis we propose nonparametric counterparts to these parametric tests. Evaluating a nonparametric test statistic at each point of the parameter space, T, results in a random field, which we call a "nonparametric random field". The nonparametric tests used in this work are the Sign test, the Wilcoxon rank-sum test and a general linear rank test. We define the nonparametric random fields precisely, and then derive a formula for E[EC(Au)], when the parameter space is T = [a, b]. Although these results work only for one-dimensional parameter spaces,they constitute a solid first attempt and should pave the way for future generalizations. Moreover, we introduce a new application for the one-dimensional case, in localization of data types, in file type detection studies. We also study the asymptotic behavior of nonparametric random fields and show that the discrete nonparametric fields converge weakly to Gaussian fields, for which we are able to use the existing RFT results. These asymptotic results can be practically used for any dimension. We finally apply these asymptotic results to brain imaging data. / En imagerie fonctionelle, on cherche à localiser un effet particulier à l'aide d'une collection d'images. Il est souvent d'intérêt d'effectuer un test statistique à chaque point de l'image, et de rejeter l'hypothèse nulle stipulant "aucun effet" s'il y a preuve considérable en cette direction. À cette fin, une statistique-test devrait être évaluée à chaque point de l'image, résultant ainsi en une image statistique-test. L'image statistique-test peut être perçue comme étant un procédé stochastique ou un champ aléatoire, f, défini sur un espace-paramètre, T, et avec image en R. Quand l'image statistique-test, f, est soumise à un seuil de niveau u la p-valeur sera la probabilité d'excursion. Quand f satisfait certaines conditions, la Théorie des Champs Aléatoires (TCA) peut être utilisée afin d'estimer cette probabilité d'excursion en calculant l'espérance mathématique de la caractérisque d'Euler (CE) des ensembles d'excursion de f. Les résultats de la TCA déjà établis procurent des formules explicites pour E[EC(Au)] quand f est une fonction de champs gaussiens [26, 27]. De la perspective des tests d'hypothèse, ceci implique que le test effectué à chaque point de l'image devrait être paramétrique. Les tests paramétriques requièrent fréquemment que les observations soient normalement distribuées, bien que cette hypothèse ne soit pas toujours vraie. Si l'hypothèse de normalité est fausse, les champs aléatoires obtenues à partir de notre statistique-test ne sont pas gaussiens et conséquemment, les résultats de la TCA gaussiens sont invalides. / Dans cette thèse, on propose un homologue non-paramétrique aux tests paramétriques. L'évaluation d'une statistique-test nonparamétrique à chaque point de l'espace-paramètre, T, résulte en un champ aléatoire, que l'on nommera " champ aléatoire non-paramétrique. " Les tests non-paramétriques utilisés dans ce travail sont le test du signe, le test de la somme des rangs de Wilcoxon et le test de rangs linéaire général. On définit précisément le champ aléatoire non-paramétrique, pour ensuite dériver une formule pour E[EC(Au)] quand l'espace-paramètre est T = [a, b]. Bien que ces résultats soient uniquement valides pour des espaces-paramètre unidimensionels, ils constituent un premier pas important et devrait frayer la voie à de plus amples généralisations. De plus, on introduit une nouvelle application pour le cas unidimensionel, notamment concernant la localisation de types de données lors d'études de détection de types de fichiers. On étudie également le comportement asymptotique des champs aléatoires non-paramétriques et démontre que les champs aléatoires discrets converge faiblement vers des champs gaussiens, pour lesquelles les résults de la TAC sont applicables. Ces résultats asymptotiques s'avèrent utiles pour toute dimension. On applique finalement ces résultats asymptotiques à des données d'imagerie cervicale.

This dissertation sets forth a foundation for a continuous model for the interpretation of DNA mixture evidence. We take a new approach to modelling electropherogram data by modelling the actual electropherogram as a curve rather than modelling the allelic peak areas under the curve. This shift allows us to retain all the data available and to bypass the approximation of peak areas by GeneMapper R (Applied Biosystems, 2003). The two problems associated with the use of this programme - prohibitive costs and patented processes - are thus avoided. / To establish a model for electropherogram data, we explore two Bayesian wavelet approaches to modelling functions (Chipman et al., 1997 ; M. Clyde et al., 1998) as well as a Bayesian Adaptive Regression Splines approach (DiMatteo et al., 2001). Furthermore, we establish our own genotyping algorithm, once again circumventing the need for GeneMapper R, and obtain posterior probabilities for the resulting genotypes. / With a model in place for single-source DNA samples, we develop an algorithm that deconvolves a two-person mixture into its separate components and provides the posterior probabilities for the resulting genotype combinations. / In addition, because of the widely recognized need to perform further research on continuous models in mixture interpretation and the difficulty in obtaining the necessary data to do so (due to privacy laws and laboratory restrictions), a tool for simulating realistic data is of the utmost importance. PCRSIM (Gill et al., 2005) is the most popular simulation software for this purpose. We propose a method for refining the parameter estimates used in PCRSIM in order to simulate more accurate data. / Cette dissertation établit les fondations nécessaires à la création d'un modèle continu servant à l'interprétation des échantillons d'ADN à sources multiples (mélanges). Nous prenons une nouvelle approche de la modélisation des données d'´electrophérogrammes en modélisant l'électrophérogramme en tant que courbe plutôt que de modéliser l'aire sous la courbe des sommets alléliques. Cette approche nous permet de conserver toutes les données disponibles et d'éviter l'estimation de l'aire sous la courbe au moyen de GeneMapper R (Applied Biosystems, 2003). Deux problèmes associés à l'utilisation de ce programme - des coûts prohibitifs et une procédure brevetée - sont ainsi évités. / Afin d'établir un modèle pour les données d'électrophérogramme, nous explorons deux approches bayésiennes pour la modélisation des fonctions par ondelettes (Chipman et al., 1997 ; M. Clyde et al., 1998) de même qu'une approche connue sous le nom de Bayesian Adaptive Regression Splines (DiMatteo et al., 2001). De plus, nous élaborons notre propre algorithme pour l'analyse des génotypes, nous permettant, encore une fois, d'éviter GeneMapper R, et d'obtenir les probabilités postérieures des génotypes résultants. / À l'aide d'un modèle d'échantillon d'ADN à source unique, nous développons un algorithme qui divise un échantillon de deux personnes en ses composantes séparées et estime les probabilités postérieures des différentes combinaisons possibles de génotype. / De plus, en raison des lacunes dans la littérature sur les modèles continus pour l'analyse d'échantillons d'ADN à sources multiples et de la difficulté à obtenir les données n´ecessaire pour l'effectuer (en raison des lois sur la protection de la vie privée et des restrictions en laboratoire), un outil qui simule des données réalistes est de la plus grande importance. PCRSIM (Gill et al., 2005) est un outil qui permet de répondre à ce besoin. Par cet outil, nous proposons une méthode pour raffiner les estimations des paramètres afin de simuler des données plus précises.

In this thesis we study abelian number fields and in particular their zeta functions at the negative integers. The prototypical examples of abelian number fields are the oft-studied cyclotomic fields, a topic upon which many texts have been almost exclusively dedicated to (see for example \cite{washington1997introduction} or nearly any text on global class field theory). \\ We begin by building up our understanding of the characters of finite abelian groups and how they are related to Dedekind zeta functions. We then use tools from number theory such as the Kronecker-Weber theorem and Bernoulli numbers to find a simple algorithm for determining the values of these zeta functions at negative integers. We conclude the thesis by comparing the relative complexity of our method to two alternative methods that use completely different theoretical tools to attack the more general problem of non-abelian number fields. / Dans cette thèse nous étudions les corps de nombres abéliens et en particulier leurs fonctions zeta aux entiers négatifs. Les exemples-type de corps de nombres abéliens sont les corps cyclotomiques que l'on étudie fréquemment, un sujet auquel de nombreux textes ont été entièrement consacrés (voir par exemple \cite{washington1997introduction} ou presque tous les textes sur la théorie globale des corps de classes). / Nous commençons par construire notre comprehension des caractères des groupes abéliens finis et de ce qui les lie aux fonctions zeta de Dedekind. Ensuite nous utilisons des outils de théorie des nombres comme le théorème de Kronecker-Weber et les nombres de Bernouilli pour trouver un algorithme simple pour déterminer les valeurs de ces fonctions zeta aux entiers négatifs. Nous concluons la thèse en comparant la complexité relative de notre méthode a deux méthodes alternatives qui utilisent des outils théoriques complètement différents pour attaquer le problème plus général des corps de nombres non-abéliens.