[ES] En esta tesis estudiamos operadores pseudodiferenciales, que son operadores integrales de la forma f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, en las clases globales de funciones ultradiferenciables de tipo Beurling Sω(Rd) introducidas por Björck, cuando la función peso ω viene dada en el sentido de Braun, Meise y Taylor. Desarrollamos el cálculo simbólico para estos operadores, tratando además el cambio de cuantización, la existencia de paramétrix pseudodiferencial y aplicaciones al frente de ondas global. La tesis consta de cuatro capítulos. En el Capítulo 1 introducimos los símbolos y amplitudes globales, y demostramos que los correspondientes operadores pseudodiferenciales están bien definidos y son continuos en en Sω(Rd). Estos resultados son extendidos en el Capítulo 2 para cuantizaciones arbitrarias, lo que conduce al estudio del traspuesto de cualquier cuantización de un operador pseudodiferencial y a la composición de dos cuantizaciones distintas de operadores pseudodiferenciales. En el Capítulo 3, desarrollamos el método de la paramétrix, dando condiciones suficientes para la existencia de paramétrix por la izquierda de un operador pseudodiferencial, que motiva en el Capítulo 4 la definición de un nuevo frente de ondas global para ultradistribuciones en S′ω(Rd) dada en términos de cuantizaciones de Weyl. Comparamos este frente de ondas con el frente de ondas de Gabor definido mediante la STFT y damos aplicaciones a la regularidad de las cuantizaciones de Weyl. / [CAT] En aquesta tesi estudiem operadors pseudodiferencials, que són operadors integrals de la forma f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, en les classes globals de funcions ultradiferenciables de tipus Beurling Sω(Rd) introduïdes per Björck, quan la funció pes ω ve donada en el sentit de Braun, Meise i Taylor. Desenvolupem el càlcul simbòlic per aquestos operadors, tractant, a més a més, el canvi de quantització, l'existència de paramètrix pseudodiferencial i aplicacions al front d'ones global. La tesi consisteix de quatre capítols. Al Capítol 1 introduïm els símbols i amplituds globals, i demostrem que els corresponents operadors pseudodiferencials estan ben definits i són continus en Sω(Rd). Aquestos resultats són estesos al Capítol 2 per a quantitzacions arbitràries, que condueix a l'estudi del transposat de qualsevol quantització d'un operador pseudodiferencial i a la composició de dues quantitzacions distintes d'operadors pseudodiferencials. Al Capítol 3 desenvolupem el mètode de la paramètrix, donant condicions suficients per a l'existència de paramètrix per l'esquerra d'un operador pseudodiferencial donat, que motiva al Capítol 4 la definició d'un nou front d'ones global per a ultradistribucions en S′ω(Rd) mitjançant quantitzacions de Weyl. Comparem aquest front d'ones amb el front d'ones de Gabor definit mitjançant la STFT i donem aplicacions a la regularitat de les quantitzacions de Weyl. / [EN] In this thesis we study pseudodifferential operators, which are integral operators of the form f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, in the global class of ultradifferentiable functions of Beurling type Sω(Rd) as introduced by Björck, when the weight function ω is given in the sense of Braun, Meise, and Taylor. We develop a symbolic calculus for these operators, treating also the change of quantization, the existence of pseudodifferential parametrices and applications to global wave front sets. The thesis consists of four chapters. In Chapter 1 we introduce global symbols and amplitudes and show that the corresponding pseudodifferential operators are well defined and continuous in Sω(Rd). These results are extended in Chapter 2 for arbitrary quantizations, which leads to the study of the transpose of any quantization of a pseudodifferential operator, and the composition of two different quantizations of pseudodifferential operators. In Chapter 3 we develop the method of the parametrix, providing sufficient conditions for the existence of left parametrices of a pseudodifferential operator, which motivates in Chapter 4 the definition of a new global wave front set for ultradistributions in S′ω(Rd) given in terms of Weyl quantizations. Then, we compare this wave front set with the Gabor wave front set defined by the STFT and give applications to the regularity of Weyl quantizations. / Asensio López, V. (2021). Global pseudodifferential operators in spaces of ultradifferentiable functions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/174847 / TESIS

Nous associons à tout polydisque compact B [appartenant à] Rn une algèbre CB de fonctions réelles de classe C∞ définies au voisinage de B. La collection des algèbres CB est supposée stable par certaines opérations, dont la composition et la dérivation partielle. Nous supposons de plus que, lorsque B est centrée à l’origine, l’algèbre des germes à l’origine des éléments de CB est quasianalytique (c’est à dire qu’elle ne contient pas de germe plat). A l’aide de ces fonctions, nous définissons des ensembles C-semi- analytiques et C-sous-analytiques comme on le fait traditionnellement en géométrie analytique réelle. Notre résultat principal est un théorème du type Tarski-Seidenberg pour ces ensembles. Son énoncé dit essentiellement que les ensembles sous-C-analytiques peuvent être définis par des égalités et des inégalités satisfaites par des termes obtenus en composant des fonctionsdes algèbres C_B , les fonctions x → x1/n , et la fonction x → 1/x. Sa preuve se fait en exprimant les solutions de sytèmes d’équations quasianalytiques au moyen d’un théorème de préparation issu de la théorie des modèles / We associate to every compact polydisk B [belonging to ] Rn an algebra CB of real functions defined in a neighborhood of B. The collection of these algebras is supposed to be closed under several operations, such as composition and partial derivatives. Moreover, if the center of B is the origin, we assume that the algebra of germs at the origin of elements of CB is quasianalytic (it does not contain any flat germ). We define with these functions the collection of C-semianalytic and C-subanalytic sets according to the classical process in real analytic geometry. Our main result is an analogue of Tarski-Seidenberg's usual result for these sets. It says that the sub-C-subanalytic sets may be described by means of equalities and inequalities by terms obtained by composition of elements of the algebras CB, the functions x->^{1/n} and the function x->1/x. It is proved via a model theoretic preparation theorem