We extend the class of M-tests for a unit root analyzed by Perron and Ng (1996) and Ng and Perron (1997) to the case where a change in the trend function is allowed to occur at an unknown time. These tests M(GLS) adopt the GLS detrending approach of Dufour and King (1991) and Elliott, Rothenberg and Stock (1996) (ERS). Following Perron (1989), we consider two models: one allowing for a change in slope and the other for both a change in intercept and slope. We derive the asymptotic distribution of the tests as well as that of the feasible point optimal tests PT(GLS) suggested by ERS. The asymptotic critical values of the tests aretabulated. Also, we compute the non-centrality parameter used for the local GLS detrending that permits the tests to have 50% asymptotic power at that value. We show that the M(GLS) and PT(GLS) tests have an asymptotic power function close to the power envelope. An extensive simulation study analyzes the size and power in finite samples under various methods to select the truncation lag for the autoregressive spectral density estimator. An empirical application is also provided. / Extendemos los estadísticos tipo M para una raíz unitaria analizados por Perron y Ng (1996) y Ng y Perron (2001) al caso donde se permite que el cambio en la función de tendencia ocurra en un punto desconocido. Estos estadísticos (MGLS) adoptan el enfoque GLS para eliminar la tendencia desarrollado por Elliott et al. (1996) (ERS) siguiendo los resultados de Dufour y King (1991). Siguiendo a Perron (1989), consideramos dos modelos: uno que permite un cambio en la pendiente y otro que permite tanto un cambio en el intercepto como en la pendiente. Derivamos las distribuciones asintóticas así como el estadístico óptimo factible en un punto de la hipótesis alternativa (PT GLS) sugerido por ERS. También computamos el parámetro de no centralidad utilizado por el enfoque GLS local a la unidad con el fin de eliminar la tendencia que permite que el estadístico PT GLS tenga 50% de potencia asintótica en ese valor. Asimismo, se han tabulado los valores críticos asintóticos de los estadísticos. Mostramos que los estadísticos MGLS y PT GLS tienen una función de potencia asintótica cercana a la envolvente de potencia. Un estudio de simulación analiza el tamaño y potencia en muestras finitas bajo varios métodos para seleccionar la truncación para estimar la densidad espectral autorregresiva. Finalmente, también se presenta una aplicación empírica.

The application of different unit root statistics is by now a standard practice in empirical work. Even when it is a practical issue, these statistics have complex nonstandard distributions depending on functionals of certain stochastic processes, and their derivations represent a barrier even for many theoretical econometricians. These derivations are based on rigorous and fundamental statistical tools which are not (very) well known by standard econometricians. This paper aims to fill this gap by explaining in a simple way one of these fundamental tools: namely, the Functional Central Limit Theorem. To this end, this paper analyzes the foundations and applicability of two versions of the Functional Central Limit Theorem within the framework of a unit root with a structural break. Initial attention is focused on the probabilistic structure of the time series to be considered. Thereafter, attention is focused on the asymptotic theory for nonstationary time series proposed by Phillips (1987a), which is applied by Perron (1989) to study the effects of an (assumed) exogenous structural break on the power of the augmented Dickey-Fuller test and by Zivot and Andrews (1992) to criticize the exogeneity assumption and propose a method for estimating an endogenous breakpoint. A systematic method for dealing with efficiency issues is introduced by Perron and Rodriguez (2003), which extends the Generalized Least Squares detrending approach due to Elliot et al. (1996). An empirical application is provided. / Hoy en día es una práctica estándar de trabajo empírico la aplicación de diferentes estadísticos de contraste de raíz unitaria. A pesar de ser un aspecto práctico, estos estadísticos poseen distribuciones complejas y no estándar que dependen de funcionales de ciertos procesos estocásticos y sus derivaciones representan una barrera incluso para varios econometristas teóricos. Estas derivaciones están basadas en herramientas estadísticas fundamentales y rigurosas que no son (muy) bien conocidas por econometristas estándar. El presente artículo completa esta brecha al explicar en una forma simple una de estas herramientas fundamentales la cual es el Teorema del Límite Central Funcional. Por lo tanto, este documento analiza los fundamentos y la aplicabilidad de dos versiones del Teorema del Límite Central Funcional dentro del marco de una raíz unitaria con un quiebre estructural. La atención inicial se centra en la estructura probabilística de las series de tiempo propuesta por Phillips (1987a), la cual es aplicada por Perron (1989) para estudiar los efectos de un quiebre estructural (asumido) exógeno sobre la potencia de las pruebas Dickey-Fuller aumentadas y por Zivot y Andrews (1992) para criticar el supuesto de exogeneidad y proponer un método para estimar un punto de quiebre endógeno. Un método sistemático para tratar con aspectos de eficiencia es introducido por Perron y Rodríguez (2003), el cual extiende el enfoque de Mínimos Cuadrados Generalizados para eliminar los componentes determinísticos de Elliot et al. (1996). Se presenta además una aplicación empírica.