L’objet de cette thèse est d’étudier plusieurs modèles probabilistes reliant les marches aléatoires et les arbres aléatoires issus de processus de branchement critiques.Dans la première partie, nous nous intéressons au modèle de marche aléatoire à valeurs dans un réseau euclidien et indexée par un arbre de Galton–Watson critique conditionné par la taille. Sous certaines hypothèses sur la loi de reproduction critique et la loi de saut centrée, nous obtenons, dans toutes les dimensions, la vitesse de croissance asymptotique du nombre de points visités par cette marche, lorsque la taille de l’arbre tend vers l’infini. Ces résultats nous permettent aussi de décrire le comportement asymptotique du nombre de points visités par une marche aléatoire branchante, quand la taille de la population initiale tend vers l’infini. Nous traitons également en parallèle certains cas où la marche aléatoire possède une dérive constante non nulle.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur les propriétés fractales de la mesure harmonique des grands arbres de Galton–Watson critiques. On comprend par mesure harmonique la distribution de sortie, hors d’une boule centrée à la racine de l’arbre, d’une marche aléatoire simple sur cet arbre. Lorsque la loi de reproduction critique appartient au domaine d’attraction d’une loi stable, nous prouvons que la masse de la mesure harmonique est asymptotiquement concentrée sur une partie de la frontière, cette partie ayant une taille négligeable par rapport à celle de la frontière. En supposant que la loi de reproduction critique a une variance finie, nous arrivons à évaluer la masse de la mesure harmonique portée par un sommet de la frontière choisi uniformément au hasard. / The aim of this Ph. D. thesis is to study several probabilistic models linking the random walks and the random trees arising from critical branching processes.In the first part, we consider the model of random walk taking values in a Euclidean lattice and indexed by a critical Galton–Watson tree conditioned by the total progeny. Under some assumptions on the critical offspring distribution and the centered jump distribution, we obtain, in all dimensions, the asymptotic growth rate of the range of this random walk, when the size of the tree tends to infinity. These results also allow us to describe the asymptotic behavior of the range of a branching random walk, when the size of the initial population goes to infinity. In parallel, we treat likewise some cases where the random walk has a non-zero constant drift.In the second part, we focus on the fractal properties of the harmonic measure on large critical Galton–Watson trees. By harmonic measure, we mean the exit distribution from a ball centered at the root of the tree by simple random walk on this tree. If the critical offspring distribution is in the domain of attraction of a stable distribution, we prove that the mass of the harmonic measure is asymptotically concentrated on a boundary subset of negligible size with respect to that of the boundary. Assuming that the critical offspring distribution has a finite variance, we are able to calculate the mass of the harmonic measure carried by a random vertex uniformly chosen from the boundary.

On étudie certaines propriétés d'une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d'autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire multiplicatif indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l'accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l'accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l'horizon d'observation tend vers l'infini. La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d'Itô. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées. On construit dans la troisième partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l'accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l'accroissement futur. Ce type d'effet levier est notamment observé sur les prix d'actions et d'indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles. La quatrième partie concerne l'estimation des paramètres du processus. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d'intermittence, dans un cas gaussien / We study some properties of a class of real-valued, continuous-time random processes, namely multifractal random walks. A striking feature of these processes lie in their scaling property : the distribution of the process at small scale is the same as the distribution at large scale, given some random multiplicative factor independent of the process. The first part of the dissertation deals with the convergence of the empirical moment of the increment of the process in a rather general asymptotic setting where the step of the increment may go to zero while the observation horizon may also go to infinity. In the second part, we propose a family of nonparametric tests that separate multifractal random walks from Itô semi-martingales. After showing the consistency of these tests, we study their behavior on simulations.In the third part, we build a skewed multifractal random walk process, such that the past increment is negatively correlated with the future squared increment. Such a "leverage effect" is notably seen on financial stock and index prices. We compare the empirical properties of this process with real data. The fourth part deals with the parametric estimation of the process. We first show that under certain conditions, one can not estimate two of the three parameters, even if the sample path is continuously observed on some interval. We next study the theoretical and empirical performances of some estimators of the third parameter, the intermittency coefficient, in a Gaussian case

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Le réseau magnétique consiste en un ensemble de petites concentrations de flux magnétique sur la photosphère solaire. Vu sa petite échelle de taille et de flux, à la limite de détection, son comportement n'est connu que depuis récemment. Les interactions du réseau sont pourtant cruciales afin de comprendre la dynamo et l'irradiance solaires, car beaucoup de caractérisques du réseau dépendent de ces interactions. De plus, le réseau est la principale contribution magnétique surfacique à l'irradiance solaire. Les modèles existants du réseau ne tenaient jusqu'à maintenant pas compte des interactions du réseau. Nous avons tenté de combler cette lacune avec notre modèle. Nos simulations impliquent une marche aléatoire en 2D de tubes de flux magnétiques sur la photosphère solaire. Les tubes de flux sont injectés puis soumis à des règles de déplacement et d'interaction. L'injection se fait à deux échelles, respectivement la plus petite et la plus grande observables: les tubes de flux élémentaires et les taches solaires. Des processus de surface imitant ceux observés sont inclus, et consistent en l'émergence, la coalescence, l'annulation et la submergence de flux. La fragmentation des concentrations n'est présente que pour les taches, sous forme de désintégration libérant des tubes de flux. Le modèle est appliqué au cycle solaire 21 (1976-1986, le mieux documenté en termes de caractéristiques de taches solaires. Il en résulte des réponses à deux questions importantes en physique solaire. La première est: l'injection de flux magnétique à deux échelles très distinctes peut-elle conduire à une distribution de flux en loi de puissance comme on l'observe, si l'on inclut des processus de surface qui retraitent le flux? Cette question est étroitement liée à l'origine de la dynamo solaire, qui pourrait produire ladite distribution. Nous trouvons qu'on peut effectivement produire une telle distribution avec ce type d'injection et ce type de processus de surface. Cela implique que la distribution de flux observée ne peut servir à déterminer quel type de dynamo opère dans le Soleil. La deuxième question à laquelle nous avons apporté un élément de réponse est celle à savoir combien de temps il faut au réseau pour retrouver son état d'activité de base. Cet état a été observé lors du minimum de Maunder en 1645-1715 et touche de près la question de l'influence de l'activité solaire sur le climat terrestre. Le récent minimum d'activité est considéré par certains comme ayant atteint cet état. Nous trouvons plutôt que ça n'a pas été le cas. En effet, le temps de relaxation du réseau que nous avons calculé est supérieur au temps écoulé entre la fin du dernier cycle solaire d'activité et celui de l'amorce du présent cycle. / The magnetic network is an ensemble of small magnetic flux concentrations on the solar photosphere. Given its small scale in size and flux, at the detection limit, its behavior has only been known since recently. The network's interactions are crucial in understanding the solar dynamo and the solar irradiance, as many network characteristics depend on these interactions. The network is the main surface magnetic contribution to the solar irradiance. The extant models of the network so far did not consider interactions. We have attempted to remedy this failing with our model. Our simulations involve a random walk in 2D of magnetic flux tubes on the solar photosphere. The flux tubes are injected, then undergo displacement and interaction rules. Injection occurs on two scales, the smallest and the largest observable respectively: elementary flux tubes and sunspots. Surface processes are included which imitate the ones observed: emergence, coalescence, cancellation and submergence of flux. Fragmentation of concentrations only happens for sunspots, as disintegration releasing flux tubes from the spot. The model is applied to solar cycle 21 (1976-1986), the best documented in terms of sunspot characteristics. Two important questions in solar physics have been answered with this model. The first pertains to whether flux injection at two very distinct flux scales can lead to a flux distribution in the shape of a power law, as observed, in the presence of surface mechanisms which reprocess the flux. This question is tied to the origin of the solar dynamo, which could produce (or not) this distribution. We find that it does produce the aforementioned distribution. This implies that the observed flux distribution cannot be used to constrain the type of dynamo operating in the Sun, because the surface flows can equally well produce the observed flux distribution. The second question is how long the network takes to return to its baseline activity level during a prolonged activity minimum. This state was observed during the Maunder minimum in 1645-1715 and bears strongly on the relationship between solar activity and Earth climate. The recent activity minimum is considered by certain authors to have reached the baseline state of solar activity. However, we find that this was not the case. The network relaxation time we calculate is longer than the duration of the last minimum.

La dispersion dans des milieux poreux homogènes (empilements de grains) a été étudiée par des mesures par résonance magnétique nucléaire (RMN) et des simulations de marches aléatoires dans un réseau de pores. La RMN permet de mesurer l’ensemble des déplacements des molécules d’eau durant un temps tΔ, et d’obtenir propagateurs et moments caractéristiques. L’évolution temporelle du second moment σ (σ2 ∝ taΔ) permet de caractériser de manière précise le régime de dispersion des molécules (Gaussien ou anormal). Des mesures pour des écoulements de 15 < Pe < 45 dans un empilement de grains de 30μm ont permis d’observer une dispersion anormale faiblement super-dispersive (a = 1.17) en écoulement saturé et une augmentation progressive du caractère super-dispersif avec la diminution de la saturation en eau (jusqu’à a = 1.5 pour 42 %)lors d’une co-injection stationnaire eau-huile. En écoulement saturé, les propagateurs et courbes de percée sont quasi-gaussiennes, tandis qu’en écoulement insaturé, les propagateurs sont asymétriques et les courbes de percée présentent des trainées aux grands temps. Dans ces conditions, on montre que la dispersion anormale observée est mieux décrite par des lois stables de Lévy que par des lois gaussiennes. Des simulations de marche aléatoire ont été réalisées dans un réseau de pores extrait d’un milieu poreux réel par imagerie microscanner.Elles permettent d’obtenir les mêmes informations que la RMN, les marcheurs se déplaçant par advection et diffusion. Ces simulations montrent l’existence d’une stagnation non observée dans les expériences, montrant que la simplification du réseau poreux est trop importante et empêche de reproduire certains aspects du champ de vitesses détecté par la RMN. Toutefois, l’évolution temporelle du second moment a également un caractère super-dispersif à temps long à 100 % de saturation / We investigated dispersion in homogeneous porous media (grain packs) by nuclear magnetic resonance (NMR) measurements and random walk simulations in pore networks. We measured water molecules displacements during a time interval tΔ by NMR measurements, which allows us to obtain propagators and charateristic cumulants of displacements such as the mean square displacement σ. The evolution of the cumulant σ as a function of time tΔ (σ2 ∝ taΔ) is a very sensitive test of Gaussian behaviour compared to the analysis of the shape of propagators. In a homogeneous 30μm grain pack and low Peclet numbers (15 < Pe < 45), we observed weak super dispersion in saturated conditions (a = 1.17) and gradually stronger super-dispersionas the water saturation decreases (up to a = 1.5 for 42 %) during steady-state oil-water two phase flow. Insaturated conditions, propagators and breakthrough curves are Gaussian or nearly Gaussian, whereas in two phase conditions, propagators are non symmetric and breakthrough curves show thick tails at long time. Weshow that the anomalous dispersion observed is better explained by Lévy stable laws (asymetric for longitudina ldispersion, and symetric for transverse dispersion) than by Gaussian laws. Random walk simulations were performed in a pore network constructed using high resolution images of the grain pack. They allow us to obtain the same informations than the NMR, with walkers submitted to diffusive and advective effects. The simulations show the existence of an anomalous stagnation not observed in experiments, highlighting the oversimplification of the pore network that prevent reproducing some aspects of the velocity field detected by NMR. However, the simulations indicate similarly a super-dispersion at long time in saturated conditions

Nous étudions le déterminant du laplacien sur les fibrés vectoriels sur les graphes et l'utilisons, en lien avec des techniques d'analyse complexe discrète, pour comprendre des modèles de physique statistique. Nous calculons certaines constantes de réseaux, construisons des limites d'échelles d'excursions de la marche aléatoire à boucles effacées sur les surfaces, et étudions certains champs gaussiens et processus déterminantaux. / We study the determinant of the Laplacian on vector bundles on graphs and use it, combined with discrete complex analysis, to study models of statistical physics. We compute exact lattice constants, construct scaling limits for excursions of the loop-erased random walk on surfaces, and study some Gaussian fields and determinantal processes.

[pt] Nos últimos anos, vários mecanismos permitem medir campos vetoriais reais, provendo uma compreensão melhor de fenômenos importantes, tais como dinâmica de fluidos ou movimentos de fluido cerebral. Isso abre um leque de novos desafios a visualização e análise de campos vetoriais em muitas aplicações de engenharia e de medicina por exemplo. Em particular, dados reais são geralmente corrompidos por ruído, dificultando a compreensão na hora da visualização. Esta informação necessita de uma etapa de remoção de ruído como pré-processamento, no entanto remoção de ruído normalmente remove as descontinuidades e singularidades, que são fundamentais para a análise do campo vetorial. Nesta dissertação é proposto um método inovador para remoção de ruído em campo vetorial baseado em caminhadas aleatórias que preservam certas descontinuidades. O método funciona em um ambiente desestruturado, sendo rápido, simples de implementar e mostra um desempenho melhor do que a tradicional técnica Gaussiana de remoção de ruído. Esta tese propõe também uma metodologia semi-automática para remover ruído, onde o usuário controla a escala visual da filtragem, levando em consideração as mudanças topológicas que ocorrem por causa da filtragem. / [en] In recent years, several devices allow to measure real vector fields, leading to a better understanding of fundamental phenomena such as fluid dynamics or brain water movements. This gives vector field visualization and analysis new challenges in many applications in engineering and in medicine. In particular real data is generally corrupted by noise, puzzling the understanding provided by visualization tools. This data needs a denoising step as preprocessing, however usual denoising removes discontinuities and singularities, which are fundamental for vector field analysis. In this dissertation a novel method for vector field denoising based on random walks is proposed which preserves certain discontinuities. It works in a unstructured setting; being fast, simple to implement, and shows a better performance than the traditional Gaussian denoising technique. This dissertation also proposes a semi-automatic vector field denoising methodology, where the user visually controls the filtering scale by validating topological changes caused by classical vector field filtering.

Cryptosystems based on elliptic curves are in wide-spread use, they are considered secure because of the difficulty to solve the elliptic curve discrete logarithm problem. Pollard's rho method is regarded as the best method for attacking the logarithm problem to date, yet it is still not efficient enough to break an elliptic curve cryptosystem. This is because its time complexity is O(√n) and for uses in cryptography the value of n will be very large. The objective of this thesis is to see if there are ways to improve Pollard's rho method. To do this, we study some modifications of the original functions used in the method. We also investigate some different functions proposed by other researchers to see if we can find a version that will improve the performance. From the experiments conducted on these modifications and functions, we can conclude that we get an improvement in the performance for some of them.

Thesis advisor: Harold Petersen / According to the Efficient Market Hypothesis (EMH), speculative bubbles do not exist and are impossible. We disagree. If prices are the only observable component of an asset’s value, and they themselves are an aggregated consensus of perceived value, then what about the Efficient Market Hypothesis (EMH) is testable? Rather than assume that prices always reflect value (i.e. perfect market efficiency), we maintain that markets are efficient to the extent that one can be confident that tomorrow’s prices will not diverge dramatically or arbitrarily from today’s prices, absent significant new information. Speculative bubbles are not materializing every day, every month, or even every year. But they do have the potential and indeed a tendency to occur from time to time. If markets are efficient, what explains all the trading? Rather than assume rational expectations and a homogenous investor class, we assume four investor classes that diverge in their perception of value (i.e. in their expectation of future returns) and thus trade with each other. Using insights from Hyman Minsky’s Financial Instability Hypothesis (FIH), we develop a theoretical framework for how a speculative bubble might materialize within a modern capitalist economy with securities markets’ that follow a random walk. Obviously, there is no “bubble” variable. We use Tobin’s Q, the ratio of the price of an asset to its replacement cost, and Shiller’s cyclically adjusted P/E ratio as proxy variables for bubbles. We find statistically significant, negative relationships between both of these proxy variables and our dependent variable, Ten Year Cumulative Returns, thereby providing evidence against the EMH and suggesting the possibility of speculative bubbles. / Thesis (BA) — Boston College, 2014. / Submitted to: Boston College. College of Arts and Sciences. / Discipline: Economics Honors Program. / Discipline: Economics.