En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones. / In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity. Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity, we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms are certain binary relations. We also extend this duality to the category of DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and show some applications.

En el estudio de las álgebras relacionadas a las lógicas no-clásicas, los semirretículos (distributivos) están siempre presentes. Por ejemplo, la semántica algebraica del fragmento{ --;^; T} de la lógica intuicionista modal es la variedad de los semirretículos implicativos, que son una clase especial de semirretículos distributivos. En esta tesis, introducimos y estudiamos la clase de semirretículos distributivos acotados dotados de operadores modales que cumplen con la condición de monotonía. Estudiamos una teoría de representación para estas álgebras usando las extensiones canónicas y desarrollamos una dualidad completa a través de espacios sober. Dichos resultados son aplicables, bajo modificaciones menores, al estudio de los retículos distributivos acotados, los semirretículos implicativos, las álgebras de Heyting y a las álgebras de Boole con operadores monótonos. Mostraremos cómo nuestra dualidad se extiende a algunos casos particulares. En el caso de las álgebras de Boole, nuestra dualidad incluye, como casos particulares, las dadas en [12] y [31]. Las lógicas modales monótonas han surgido en distintas áreas de aplicación, como por ejemplo, asociadas a ciertas sem anticas utilizadas en computación teórica e inteligencia artificial. Usando la dualidad desarrollada, estudiaremos algunas extensiones obtenidas a partir de un sistema deductivo basado en semirretículos con operadores modales monótonos. A estos sistemas deductivos los dotaremos de una semántica de entornos, y nuestro objetivo principal es probar la completitud de estas extensiones con respecto a una clase característica de marcos monótonos. La variedad de las álgebras de Boole con operadores modales monótonos es dualmente equivalente a dos clases de marcos monótonos generales descriptivos. Clarificaremos este fenómeno mostrando que existe una correspondencia biyectiva entre estas dos clases. Hablaremos sobre algunas clases de marcos de entornos monótonos generales, tales como las clases de punto compacto, imagen compacto y marcos monótonos generales repletos, y estudiaremos las relaciones entre ellos. También probaremos que las nociones de marco monótono punto compacto, e imagen compacto se preservan bajo morfismos acotados fuertes. / In the study of algebras related to non-classical logics, (distributive) semilattices are always present in the background. For example, the algebraic semantic of the { --;^; T}fragment of intuitionistic logic is the variety of implicative meetsemilattices, which are distributive semilattices. In this thesis we introduce and study the class of distributive meet-semilattices endowed with monotonic modal operators. We study the representation theory of these algebras using the theory of canonical extensions and we give a topological duality (Stone style) for them. Also, we show how our new duality extends to some particular subclasses. So, most of the results given in this paper are applicable, with minor modi cations, to the study of bounded distributive lattices, implicative semilattices, Heyting algebras, and Boolean algebras with monotonic operators. We note that in the particular case of Boolean algebras our duality yields the duality given in [12] and [31]. Monotone modal logics have emerged in several application areas such as computer science and social choice theory. Using the developed duality, we study some extensions obtained from a semilattice based deductive system with monotonic modal operators. We give neighborhood semantics, and our main objective is to prove completeness with respect to a characteristic classes of monotonic frames. The variety of Boolean algebras with monotonic modal operators is dually equivalent to two classes of descriptive general monotonic frames. We shall clarify this phenomenon showing that there exists a bijective correspondence between these two classes. We shall discuss some classes of general monotonic neighborhood frames, such as the classes of point-compact, image compact and replete general m-frames, and we shall study the relationships between them. We shall also prove that the notions of point-compact, and image-compact monotonic frames are preserved by strong bounded morphisms.