Uma folheação Riemanniana singular em M, variedade Riemanniana completa, é uma folheação singular tal que as folhas são localmente equidistantes. Existe uma folheação singular, chamada de folheação dual a folheação Riemanniana dada, cuja folha passando por p é o conjunto dos pontos em M que são alcançados por alguma geodésica horizontal quebrada partindo de p. Se M possui curvatura seccional positiva, então a folheação dual possui apenas uma folha. Se a curvatura seccional de M é não-negativa e M não coincidi com alguma folha dual, então o fibrado normal de qualquer geodésica horizontal quebrada é gerado por uma família de campos de Jacobi paralelos. Ambos os resultados são conhecidos com Teorema de Dualização. Uma aplicação destes resultados é a prova da suavidade da projeção métrica na alma. Todos estes resultados são devidos a Wilking. O objetivo desta dissertação de mestrado é discutir tais resultados de Wilking, baseado no trabalho do mesmo e em uma abordagem feita por Gromoll e Walschap. / Let M be a Riemanniana manifold with nonnegative sectional curvature. A singular Riemannian foliation in M is a singular foliation with locally equidistant leaves. The dual leaf though p is the collection of the all points q in M such that p and q are connected with a piece-wise horizontal geodesic. The partition of M into the dual leaves is a singular foliation called dual foliation. Wilking proved that if the sectional curveture is positive, then the dual foliation consists of a single leaf. In other words, any two points in M can be connected with a piece-wise horizontal geodesic. In order to prove this result Wilking showed that, if M is nonnegatively curved, the normal bundle of a dual leaf along a piecewise horizontal geodesic is gerated for parallel Jacobi field. These results are used in the proof that the projection metric in the soul is smoth.

Uma folheação Riemanniana singular em M, variedade Riemanniana completa, é uma folheação singular tal que as folhas são localmente equidistantes. Existe uma folheação singular, chamada de folheação dual a folheação Riemanniana dada, cuja folha passando por p é o conjunto dos pontos em M que são alcançados por alguma geodésica horizontal quebrada partindo de p. Se M possui curvatura seccional positiva, então a folheação dual possui apenas uma folha. Se a curvatura seccional de M é não-negativa e M não coincidi com alguma folha dual, então o fibrado normal de qualquer geodésica horizontal quebrada é gerado por uma família de campos de Jacobi paralelos. Ambos os resultados são conhecidos com Teorema de Dualização. Uma aplicação destes resultados é a prova da suavidade da projeção métrica na alma. Todos estes resultados são devidos a Wilking. O objetivo desta dissertação de mestrado é discutir tais resultados de Wilking, baseado no trabalho do mesmo e em uma abordagem feita por Gromoll e Walschap. / Let M be a Riemanniana manifold with nonnegative sectional curvature. A singular Riemannian foliation in M is a singular foliation with locally equidistant leaves. The dual leaf though p is the collection of the all points q in M such that p and q are connected with a piece-wise horizontal geodesic. The partition of M into the dual leaves is a singular foliation called dual foliation. Wilking proved that if the sectional curveture is positive, then the dual foliation consists of a single leaf. In other words, any two points in M can be connected with a piece-wise horizontal geodesic. In order to prove this result Wilking showed that, if M is nonnegatively curved, the normal bundle of a dual leaf along a piecewise horizontal geodesic is gerated for parallel Jacobi field. These results are used in the proof that the projection metric in the soul is smoth.

Singular Riemannian foliations in spheres provide local models for an extensive kind of singular Riemannian foliations, whose theory contributes in the understanding of Riemannian manifolds. Hence the importance of studying and classifying them, a research subject that still remains open. In 2014, Marco Radeschi constructed indecomposable singular Riemannian foliations of arbitrary codimension, most of them inhomogeneous, which generalized all known examples of that type so far. The present dissertation is a detailed study of his work, along with observations about the progress made on this dynamic field since that paper was published. Besides introducing preliminary notions and examples on singular Riemannian foliations, isometric actions and Clifford theory, it is explained a construction of inhomogeneous isoparametric hypersurfaces, due to Ferus, Karcher and Münzner, that was a fundamental framework for the results of Radeschi. After that, it is described exhaustively the construction of Clifford and composed foliations in spheres, which are the examples that Radeschi created using Clifford systems. In the sequel it is established an extraordinary bijective correspondence between Clifford foliations (merely geometric objects) and Clifford systems (purely algebraic objects). This text finishes examining the relations of homogeneity properties among FKM, Clifford and composed foliations. / Folheações Riemannianas singulares em esferas fornecem modelos locais para folheações Riemannianas singulares mais gerais, cuja teoria contribui na compreensão de variedades Riemannianas. Daí a sua importança de estudá-los e classificá-los, uma área de pesquisa que se mantém aberta. Em 2014, Marco Radeschi construiu folheações Riemannianas singulares indecomponíveis de codimensão arbitrária, a maioria delas não homogêneas, que generalizaram todos os exemplos conhecidos desse tipo até então. A presente dissertação é um estudo detalhado desse trabalho, junto com observações sobre avanços que se têm feito neste dinâmico campo desde a publicação do artigo. Após introduzir as noções e exemplos preliminares de folheações Riemannianas singulares, ações isométricas e teoria de Clifford, é explorada uma construção de hipersuperfícies isoparamétricas não homogêneas, devida a Ferus, Karcher e Münzner (FKM), que foi peça fundamental para os resultados de Radeschi. Em seguida, descreve-se minuciosamente a construção de folheações composta e de Clifford em esferas, que são os exemplos que o autor mencionado anteriormente gerou usando sistemas de Clifford. Continuando com a análise dessas novas folheações Riemannianas singulares, estabelece-se uma extraordinária correspondência biunívoca entre folheações de Clifford (objetos meramente geométricos) e sistemas de Clifford (objetos puramente algébricos). Este texto termina examinando as relações das propriedades de homogeneidade entre folheações FKM, compostas e de Clifford.

Singular Riemannian foliations in spheres provide local models for an extensive kind of singular Riemannian foliations, whose theory contributes in the understanding of Riemannian manifolds. Hence the importance of studying and classifying them, a research subject that still remains open. In 2014, Marco Radeschi constructed indecomposable singular Riemannian foliations of arbitrary codimension, most of them inhomogeneous, which generalized all known examples of that type so far. The present dissertation is a detailed study of his work, along with observations about the progress made on this dynamic field since that paper was published. Besides introducing preliminary notions and examples on singular Riemannian foliations, isometric actions and Clifford theory, it is explained a construction of inhomogeneous isoparametric hypersurfaces, due to Ferus, Karcher and Münzner, that was a fundamental framework for the results of Radeschi. After that, it is described exhaustively the construction of Clifford and composed foliations in spheres, which are the examples that Radeschi created using Clifford systems. In the sequel it is established an extraordinary bijective correspondence between Clifford foliations (merely geometric objects) and Clifford systems (purely algebraic objects). This text finishes examining the relations of homogeneity properties among FKM, Clifford and composed foliations. / Folheações Riemannianas singulares em esferas fornecem modelos locais para folheações Riemannianas singulares mais gerais, cuja teoria contribui na compreensão de variedades Riemannianas. Daí a sua importança de estudá-los e classificá-los, uma área de pesquisa que se mantém aberta. Em 2014, Marco Radeschi construiu folheações Riemannianas singulares indecomponíveis de codimensão arbitrária, a maioria delas não homogêneas, que generalizaram todos os exemplos conhecidos desse tipo até então. A presente dissertação é um estudo detalhado desse trabalho, junto com observações sobre avanços que se têm feito neste dinâmico campo desde a publicação do artigo. Após introduzir as noções e exemplos preliminares de folheações Riemannianas singulares, ações isométricas e teoria de Clifford, é explorada uma construção de hipersuperfícies isoparamétricas não homogêneas, devida a Ferus, Karcher e Münzner (FKM), que foi peça fundamental para os resultados de Radeschi. Em seguida, descreve-se minuciosamente a construção de folheações composta e de Clifford em esferas, que são os exemplos que o autor mencionado anteriormente gerou usando sistemas de Clifford. Continuando com a análise dessas novas folheações Riemannianas singulares, estabelece-se uma extraordinária correspondência biunívoca entre folheações de Clifford (objetos meramente geométricos) e sistemas de Clifford (objetos puramente algébricos). Este texto termina examinando as relações das propriedades de homogeneidade entre folheações FKM, compostas e de Clifford.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

[pt] Um resultado clássico da teoria de grupos de Lie garante que as órbitas da ação adjunta de um grupo de Lie compacto interceptam um toro máximo ortogonalmente. Esta ação é um exemplo das chamadas ações polares. Ações polares são ações de grupos compactos de isometrias que admitem seções (subvariedades totalmente geodésicas que interceptam as órbitas ortogonalmente). Ações polares e subvariedades isoparamétricas são casos particulares das chamadas folheações riemannianas singulares com seções,assunto que é estudado nesta tese. Além de apresentarmos resultados sobre essas folheações singulares apresentamos também resultados sobre as chamadas aplicações transnormais (generalizações das aplicações isoparamétricas) destacando como estes objetos estão relacionados. / [en] It follows from the classical Lie group theory that the orbits of an adjoint action of a compact Lie group intercept a maximal toru in a orthogonal way. This is an example of the so called Polar Action. A compact isometric action is said to be Polar if it admits sections, i.e. totally geodesic submanifolds that intercept the orbits orthogonally. Polar Actions and isoparametric manifolds are examples of a more general structure, the so called singular Riemannian Foliation with Section, the main subject of the thesis. Besides the results about these singular foliations we show also some results about transnormal maps (generalization of isoparametric maps) and stress the its connections with the singulare riemannian foliation with section.