In this dissertation several results in Steinhaus graphs are investigated. First under some further conditions imposed on the induced cycles in steinhaus graphs, the order of induced cycles in Steinhaus graphs is at most [(n+3)/2]. Next the results of maximum clique size in Steinhaus graphs are used to enumerate the Steinhaus graphs having maximal cliques. Finally the concept of jumbled graphs and Posa's Lemma are used to show that almost all Steinhaus graphs are Hamiltonian.

La première partie de la thèse porte sur les graphes de Steinhaus réguliers. On commence par obtenir une nouvelle preuve du théorème de Dymacek, selon lequel toute matrice de Steinhaus associée à un graphe pair est bisymétrique, en exhibant une relation entre les éléments de l'antidiagonale d'une matrice de Steinhaus et les degrés des sommets du graphe associé. Ce théorème est ensuite utilisé pour montrer que toute matrice de Steinhaus associée à un graphe régulier de degré impair admet une grande sous-matrice multisymétrique. On étudie alors les matrices de Steinhaus multisymétriques, en particulier celles dont le graphe associé admet une certaine régularité. Cette étude permet enfin de vérifier jusqu'à 1500 sommets une conjecture de Dymacek, qui annonce que le graphe complet à deux sommets K2 est le seul graphe de Steinhaus régulier de degré impair, améliorant ainsi d'un facteur 12 la borne précédemment connue (117 sommets).<br />La seconde partie porte sur les triangles de Steinhaus dans Z/nZ. En 1978 Molluzzo pose le problème de savoir si, pour tout n≥1 et pour toute longueur admissible m, il existe une suite balancée de longueur m dans Z/nZ, c'est-à-dire une suite dont le triangle de Steinhaus associé contienne chaque élément de Z/nZ avec la même multiplicité. On donne ici une réponse complète et positive au Problème de Molluzzo dans tout groupe cyclique d'ordre une puissance de 3. Plus généralement, on construit une infinité de suites balancées dans tout groupe cyclique d'ordre impair. Ces résultats, qui sont les premiers obtenus sur ce problème dans Z/nZ avec n>3, proviennent de l'étude des triangles de Steinhaus des suites arithmétiques dans les groupes cycliques.

In this dissertation the results of Jerrum and Sinclair on the conductance of Markov chains are used to prove that almost all generalized Steinhaus graphs are rapidly mixing and an algorithm for the uniform generation of 2 - (4k + 1,4,1) cyclic Mendelsohn designs is developed.