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Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg- ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞ and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO]) and Cho ([Cho]). Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini- mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex- plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate- gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear- ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov ring.

Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes faisant intervenir des formes normales de champs de vecteurs et des phénomènes exponentiellement petits. Dans le premier chapitre on démontre tout d'abord deux théorèmes de normalisation avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques au voisinage d'un point d'équilibre, dans le cas non autonome périodique. Le premier théorème de normalisation permet de construire une quasi-variété invariante à un exponentiellement petit près, tandis que le deuxième met le champ de vecteur sous la forme normale de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss à un exponentiellement petit près. Dans le deuxième chapitre on travaille près d'un point d'équilibre d'une famille de systèmes hamiltoniens au voisinage d'une résonance 0²iw. On démontre l'existence d'une famille d'orbites périodiques entourant l'équilibre puis l'existence d'orbites homoclines à plusieurs boucles à chacune de ces orbites périodiques, aussi proche de cet équilibre que l'on veut à l'exception de l'équilibre lui-même. La démonstration est basée sur la preuve d'un théorème de forme normale hamiltonien inspiré des formes normales de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss ainsi que sur une normalisation locale hamiltonienne s'appuyant sur un résultat de Moser. On obtient ensuite le résultat grâce à des arguments géométriques liés à la petite dimension et à un théorème KAM qui permet de confiner les boucles. Pour le même problème dans le cadre d'un champ de vecteurs réversible non hamiltonien, l'apparition d'exponentiellement petits lors de la perturbation de l'orbite homocline de la forme normale empêche la démonstration de l'existence d'orbites homoclines à des orbites périodiques de taille exponentiellement petite. Le même phénomène apparait ici mais l'obstacle est contourné grâce à des arguments géométriques spécifiques aux système Hamiltoniens.

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma. / This thesis concerns the long time behavior of certain Vlasov equations, mainly the Vlasov- HMF model. We are in particular interested in the celebrated phenomenon of Landau damp- ing, proved mathematically in various frameworks, foar several Vlasov equations, such as the Vlasov-Poisson equation or the Vlasov-HMF model, and exhibiting certain analogies with the inviscid damping phenomenon for the 2D Euler equation. The results described in the document are the following.The first one is a Landau damping theorem for numerical solutions of the Vlasov-HMF model, constructed by means of time-discretizations by splitting methods. We prove more- over the convergence of the schemes. The second result is a Landau damping theorem for solutions of the Vlasov-HMF model linearized around inhomogeneous stationary states. We provide moreover a quite large amount of numerical simulations, which are designed to study numerically the nonlinear case, and which seem to show new phenomenons. The last result is the convergence of a scheme that discretizes in time the 2D Euler equation by means of a symplectic Crouch-Grossmann integrator.

Les objects d'étude principaux de la thèse "Flots géométriques kähleriens et presque-kähleriens" sont des généralisations du flot de Calabi et du flot hermitienne de Yang--Mills. <p> Le flot de Calabi $partial_t omega = -i delbar del S(omega) =- i delbar del Lambda_omega <p> ho(omega) $ tente de déformer une forme initiale kählerienne vers une forme kählerienne $omega_c$ de courbure scalaire constante caractérisée par $S(omega_c) = Lambda_{omega_c} <p> ho(omega_c) = underline{S}$ dans la même classe de cohomologie. La généralisation étudiée est le flot de Calabi twisté qui remplace la forme de Kähler--Ricci $ho$ par $ho + alpha(t)$, où le emph{twist} $alpha(t)$ est une famille de $2$-formes qui converge vers $alpha_infty$. Le but de ce flot est de trouver des métriques kähleriennes $omega_{tc}$ de courbure scalaire twistées constantes caractérisées par $Lambda_{omega_{tc}} (ho(omega_{tc}) +alpha_infty) = underline{S} + underline{alpha}_infty$. L'existence et la convergence de ce flot sont établies sur des surfaces de Riemann à condition que le twist soit défini négatif et reste dans une classe de cohomologie fixe. <p>Si $E$ est un fibré véctoriel holomorphe sur une varieté kählerienne $(X,omega)$, une métrique de Hermite--Einstein $h_{he}$ est caractérisée par la condition $Lambda_omega i F_{he} = lambda id_E$. Le flot hermitien de Yang--Mills donné par $h^{-1}partial_t h =- [Lambda_omega iF_{h} - lambda id_E]$ tente de déformer une métrique hermitienne initiale vers une métrique Hermite--Einstein. La version classique du flot fixe la forme kählerienne $omega$. Le cas où $omega$ varie dans sa classe de cohomologie et converge vers $omega_infty$ est considéré dans la thèse. Il est démontré que le flot existe pour tout $t$ sur des surfaces de Riemann et converge vers une métrique Hermite--Einstein (par rapport à $omega_infty$) si le fibré $E$ est stable. <p> Les généralisations du flot de Calabi et du flot hermitien de Yang--Mills ne sont pas arbitraires, mais apparaissent naturellement comme une approximation du flot de Calabi sur des fibrés adiabatiques. Si $Z,X$ sont des variétés complexes compactes, $pi colon Z \ / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse, nous développons de nouveaux outils pour relier les dynamiques qualitatives des systèmes hamiltoniens sur des surfaces aux propriétés algèbriques de leurs complexes de Floer - un objet algébrique qui encode l'information sur la façon dont les orbites 1-périodiques d'un système sont reliées par des cylindres satisfaisant une équation différentielle partielle elliptique appelée l'équation de Floer. L'idée principale est de considérer --- pour un hamiltonian \(H \in C^\infty(S^1 \times \Sigma)\) sur une surface symplectique \((\Sigma, \omega)\) --- les graphes des orbites contractiles 1-périodiques de l'isotopie \((\phi^H_t)_{t \in [0,1]}\) comme définissant une tresse \(P^H\) dans \(S^1 \times \Sigma\). En choisissant des capuchons pour chacune de ces orbites 1-périodiques, nous obtenons un objet que nous appelons une tresse encapuchonnée \(\hat{P}^H\), qui est muni d'une fonction d'indexation \(\mu_{CZ}: \hat{P}^H \rightarrow \mathbb{Z}\) obtenue en assignant à chaque brin encapuchonné l'indice de Conley-Zehnder de l'orbite encapuchonnée associée. L'idée est alors de s'interroger sur la relation entre l'information topologique encodée dans la tresse encapuchonnée indexée \((\hat{P}^H,\mu_{CZ})\) et la structure du complexe de Floer \(CF_*(H,J)\) pour une structure presque complexe générique \(J\). À cette fin, nous aurons recours à: un nouvel invariant relatif pour les paires de tresses encapuchonnées que nous appelons le nombre d'enlacement homologique, un cercle d'idées concernant le comportement asymptotique des courbes pseudo-holomorphes développé par Hofer-Wysocki-Zehnder dans leur série d'articles [8], [10], [12] et aussi [11] (ainsi qu'un raffinement supplémentaire dans le cas relatif dû à Siefring dans [32]), et une nouvelle technique en basses dimensions pour la construction de morphismes de continuation de Floer qui ont un comportement prescrit. En conséquence de ces techniques, nous établissons l'existence --- pour des systèmes hamiltoniens génériques sur une surface fermée arbitraire --- de certaines feuilletages singulières spéciaux sur \(S^1 \times \Sigma\) dont le comportement est étroitement lié à la fois à la dynamique sous-jacente et à la structure du complexe de Floer du système. La construction de tels feuilletages dans le cas particulier des pseudo-rotations d'un disque, par des méthodes très différentes des nôtres, a été au coeur des progrès significatifs récents de Bramham dans [3] sur une célèbre question de Katok concernant les systèmes conservatifs de basse dimension et d'entropie nulle. Ces feuilletages fournissent également, pour les systèmes hamiltoniens lisses génériques, une construction Floer-théorique des feuilletages positivement transversaux sur \(\Sigma\) qui ont été construits originellement (pour les homéomorphismes de surface généraux) par Le Calvez à travers d'une extension substantielle de la théorie de Brouwer classique pour les homéomorphismes de surface dans [16]. En plus de fournir un pont géométrique entre la dynamique d'une isotopie hamiltonienne et l'information algébrique contenue dans son complexe de Floer, les techniques développées dans cette thèse permettent également de donner une caractérisation --- purement en termes de la dynamique de l'isotopie hamiltonienne sous-jacente --- des cycles de Floer dans \(CF_*(H,J)\) qui représentent la classe fondamentale de la surface et qui de plus se trouvent dans l'image d'un morphisme de PSS au niveau des chaines. Finalement, ces techniques permettent de définir une nouvelle famille d'invariants d'un système hamiltonien (sur une variété symplectique arbitraire) qui se comporte formellement de manière similaire à une famille bien étudiée de tels invariants connue comme les invariants spectraux de Oh-Schwarz. L'avantage de nos nouveaux invariants est que nous sommes capable de calculer explicitement les plus importants d'entre eux pour des systèmes hamiltoniens génériques sur des surfaces arbitraires, ce uniquement en termes de topologie relative des orbites périodiques du système (avec leurs indices de Conley-Zehnder). Ceci généralise un résultat de Humilière-Le Roux-Seyfaddini dans [13] dans lequel ils ont donné une caractérisation dynamique du principal invariant spectral de Oh-Schwarz dans le cas de systèmes hamiltoniens autonomes sur des surfaces de genre positif. / In this thesis, we develop novel tools for relating the qualitative dynamics of Hamiltonian systems on surfaces to the algebraic properties of their Floer complexes --- an algebraic object which encodes information about the ways in which a system’s 1-periodic orbits are connected by cylinders satisfying an elliptic partial differential equation known as Floer’s equation. The main idea is to consider --- for a generic Hamiltonian \(H \in C^\infty(S^1 \times \Sigma)\) on a symplectic surface \((\Sigma, \omega)\) --- the graphs of the contractible time-1 periodic orbits of the isotopy \((\phi^H_t)_{t \in [0,1]}\) as defining a braid \(P^H\) in \(S^1 \times \Sigma\). Upon choosing cappings for each such 1-periodic orbit, we obtain an object which we term a capped braid \(\hat{P}^H\), which comes equipped with an indexing function \(\mu_{CZ}: \hat{P}^H \rightarrow \mathbb{Z}\) given by assigning to each (capped) strand of the braid the Conley-Zehnder index of the associated capped orbit. The idea is then to enquire into the relation of the topological information encoded in the indexed capped braid \((\hat{P}^H,\mu_{CZ})\) and the structure of the Floer complex \(CF_*(H,J)\) for a generic \(J\). The main tools employed to this end are: a novel relative invariant for pairs of capped braids which we term the homological linking number, a circle of ideas about the asymptotic behaviour of pseudo-holomorphic curves pioneered by Hofer-Wysocki-Zehnder in their series of papers [8], [10], [12] as well as in [11] (along with a further refinement to the relative case by Siefring in [32]), and a novel technique for the construction of regular Floer continuation maps in low-dimensions having prescribed behaviour. As a consequence of these techniques, we establish the existence --- for generic Hamiltonian systems on an arbitrary closed surface \(\Sigma\) --- of certain special singular foliations on \(S^1 \times \Sigma\) whose behaviour is tightly related to both the underlying dynamics, as well as the structure of the system’s Floer complex. The construction of such foliations (by very different methods) in the particular case of pseudo-rotations on a disk was the crux of Bramham’s recent significant progress in [3] on a famous question due to Katok about low-dimensional conservative systems with vanishing entropy. These foliations also provide, for generic smooth Hamiltonian systems, 7 a Floer-theoretic construction of the positively transverse foliations on \(\Sigma\) which were originally constructed (for general surface homeomorphisms) by Le Calvez through a significant extension of classical Brouwer theory for surface homeomorphisms in [16]. In addition to providing a geometric bridge between the dynamics of a Hamiltonian isotopy and the algebraic information contained in its associated Floer complex, the techniques developed in this dissertation also permit a characterization --- purely in terms of the dynamics of the underlying Hamiltonian isotopy --- of those Floer cycles in \(CF_*(H,J)\) which represent the fundamental class of the surface, and which moreover lie in the image of some chain-level PSS map. Finally, these techniques permit the definition of a new family of invariants of a Hamiltonian system (on an arbitrary symplectic manifold) which behave formally similarly to a well-studied family of such invariants known as ‘Oh-Schwarz spectral invariants’ (and which agree with them in all known cases). The advantage of these novel spectral invariants is that we are able to explicitly compute the most important of these spectral invariants for generic Hamiltonian systems on arbitrary surfaces purely in terms of the relative topology of the system’s periodic orbits (together with their Conley-Zehnder indices). This considerably generalizes a result by Humilière-Le Roux-Seyfaddini in [13] in which they gave a dynamical characterization of the main Oh-Schwarz spectral invariant in the case of time-independent Hamiltonian systems on surfaces with positive genus.