Proteins are large biological molecules that perform a vast array of functions within living organisms. Proteins are made from a process called translation, in which a ribosome decodes mRNA, a single-stranded copy of DNA, to produce a specific amino acid chain. Given the essential role of proteins in maintaining life, it is of central importance to comprehend the translation process and how it is regulated. Translation process can be divided into three major stages: initiation, elongation and termination. Regulation can occur at any of these stages to control protein production. In most cases, regulation primarily targets the initiation stage. Another direct mechanism to ensure accurate protein level in the cell is to regulate the stability of mRNA. Using mathematical modelling, in this thesis we investigate how protein production is controlled. We use a stochastic modelling approach called the Totally Asymmetric Simple Exclusion Process to model the translation process. Numerical simulation acts as a complementary tool. We first investigate how mRNA stability affects protein production from one mRNA during its lifetime. Next, we investigate auto-negative feedback on translation initiation and its substantial impact on controlling protein level in a cell. Finally, we incorporate ribosome recycling into the auto-negative feedback control. Novel results such as oscillation and bistable switching in protein level are found via this mathematical analysis. These predictions invite experimental testing.

Les cellules vivantes peuvent être considérées comme des systèmes dynamiques. Ses propriétés dynamiques sont essentiellement régulées par des réseaux génétiques. Ce travail de thèse est motivé par l’existence de comportements dynamiques récurrents des réseaux génétiques tels que les oscillations, et s’articule autour de trois études. La première étude concerne le rôle des délais qui sont des ingrédients clés des oscillations. Dans la modélisation déterministe, le délai est modélisé comme délai explicite ou délai réactionnel. En étudiant un réseau génétique comprenant un gène auto-réprimé qui contient divers délais, nos résultats montrent analytiquement le principe de combinaison des divers délais et les influences différentes des délais explicites et réactionnels sur les oscillations. La seconde étude s’intéresse à l’impact des fluctuations moléculaires. Nous proposons un développement de cumulants de l’équation maîtresse et l’appliquons au circuit de gène auto-réprimé. Nous trouvons que les fluctuations modifient significativement les moyennes des quantités moléculaires prévues par les modèles déterministes, et induisent les oscillations. La troisième étude concerne les effets dynamiques de la pause des RNA Polymérases sur la transcription qui est modélisée par le modèle TASEP. Pour des durées des pauses intermédiaires et longues pour lesquelles l’approche de champ moyen n’est pas validée, nous parvenons néanmoins à une bonne compréhension des différents mécanismes qui contrôlent la dynamique de transcription et obtenons une description quantitative du taux de transcription en bon accord avec les simulations numériques. / Living cells can be viewed as dynamical systems and cellular dynamical properties essentially reply on genetic networks. This thesis work is motivated by one striking dynamical behavior of genetic networks, oscillation, and mainly includes three studies. The first study is about the delay that is one of key ingredients of biological oscillation. In mathematical modeling, delay is usually modeled as explicit delay or reaction delay. By studying a minimal genetic network, a self-repressing gene involving various delays, our analytical results reveal the combination principle of various delays and different dynamical influences of explicit and reaction delays on oscillations. The second study is to investigate the dynamical influences of molecular fluctuations on the oscillatory behavior. We develop a cumulant expansion of the master equation and apply it to the self-repressing gene circuit. We find that fluctuations shift significantly the averages of molecular quantities predicted by deterministic models and induce oscillations. In the third study, we investigate the dynamical effects of RNA Polymerase pausing on transcription in using TASEP model. In the limit case where pause duration is short, we can still construct a mean-field model to analyze the transcription rate and site occupation. In the general case where mean-field approach no long applies, we obtain a good understanding of various mechanisms driving the transcription dynamics over the entire range of pause duration, and in particular a theoretical prediction of transcription rate that agrees well with numerical simulations is given.

In the process of translation, ribosomes, a type of macromolecules, read the genetic code on a messenger RNA template (mRNA) and assemble amino acids into a polypeptide chain which folds into a functioning protein product. The ribosomes perform discrete directed motion that is well modeled by a totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) with open boundaries. We incorporate the essential components of the translation process: Ribosomes, cognate tRNA concentrations, and mRNA templates correspond to particles (covering ell > 1 sites), hopping rates, and the underlying lattice, respectively. As the hopping rates in an mRNA are given by its sequence (in the unit of codons), we are especially interested in the effects of a finite number of slow codons to the overall stationary current. To study this matter systematically, we first explore the effects of local inhomogeneities, i.e., one or two slow sites of hopping rate q<1 in TASEP for particles of size ell > 1(in the unit of lattice site) using Monte Carlo simulation. We compare the results of ell =1 and ell >1 and notice that the existence of local defects has qualitatively similar effects to the steady state. We focus on the stationary current as well as the density profiles. If there is only a single slow site in the system, we observe a significant dependence of the current on the location of the slow site for both ell =1 and ell >1 cases. In particular, we notice a novel "edge" effect, i.e., the interaction of a single slow codon with the system boundary. When two slow sites are introduced, more intriguing phenomena such as dramatic decreases in the current when the two are close together emerge. We analyze the simulation results using several different levels of mean-field theory. A finite-segment mean-field approximation is especially successful in understanding the "edge effect." If we consider the systems with finite defects as "contrived mRNA's", the real mRNA's are of more biological significance. Inspired by the previous results, we study several mRNA sequences from Escherichia coli. We argue that an effective translation rate including the context of each codon needs to be taken into consideration when seeking an efficient strategy to optimize the protein production. / Ph. D.

In many situations in the world, the amount of resources available for use is limited. This statement is especially true in the cells of living organisms. During the translation process in protein synthesis, ribosomes move along the mRNA strand constructing proteins based on the sequence of codons that form a gene. The totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) models well the translation process. However, these genes are constantly competing for ribosomes and other resources in the cell. To see how finite resources and competition affects such a system, we must construct a simple model to account for the limited resources. We consider coupling multiple TASEPs to a finite reservoir of particles where the entry rate of particles into the TASEPs depends on the number of particles left in the reservoir. Starting with a single TASEP connected to the reservoir, we study the system using both Monte Carlo simulations and theoretical approaches. We explore how the average overall density, density profile, and current change as a function of the number of particles initially in the reservoir for various parameters. New features arise not seen in the ordinary TASEP model, even for a single TASEP connected to the pool of particles. These features include a localized shock in the density profile. To explain what is seen in the simulations, we use an appropriately generalized version of a domain wall theory. The dynamics of the TASEPs with finite resources are also studied through the power spectra associated with the total particle occupancy of each TASEP and the reservoir. Again, we find new phenomena not seen in the power spectrum of the ordinary TASEP. For a single constrained TASEP, we find a suppression at low frequencies when compared to the power spectrum of the ordinary TASEP. The severity of this suppression is found to depend on how the entry rate changes with respect to the number of particles in the pool. For two TASEPs of different lengths, we find an enhancement of the power spectrum of the smaller TASEP when compared to the ordinary TASEP's power spectrum. We explain these findings using a linearized Langevin equation. Finally, we model competition between ten genes found in Escherichia coli using a modified version of the TASEP. This modified version includes extended objects and inhomogeneous internal hopping rates. We use the insight gained from the previous studies of finite resources and competition as well as other studies to gain some insight into how competition affects protein production. / Ph. D.

In this thesis, we focus on the steady state properties of two systems which are genuinely out of equilibrium. The first project is an application of dynamic field theory to a specific non equilibrium critical phenomenon, while the second project involves both simulations and analytical calculations. The methods of field theory are used on both these projects. In the first part of this thesis, we investigate a generalization of the well-known field theory for directed percolation (DP). The DP theory is known to describe an evolving population, near extinction. We have coupled this evolving population to an environment with its own nontrivial spatio-temporal dynamics. Here, we consider the special case where the environment follows a simple relaxational (model A) dynamics. We find two marginal couplings with upper critical dimension of four, which couple the two theories in a nontrivial way. While the Wilson-Fisher fixed point remains completely unaffected, a mismatch of time scales destabilizes the usual DP fixed point. Some open questions and future work remain. In the second project, we focus on a simple particle transport model far from equilibrium, namely, the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP). While its stationary properties are well studied, many of its dynamic features remain unexplored. Here, we focus on the power spectrum of the total particle occupancy in the system. This quantity exhibits unexpected oscillations in the low density phase. Using standard Monte Carlo simulations and analytic calculations, we probe the dependence of these oscillations on boundary effects, the system size, and the overall particle density. Our simulations are fitted to the predictions of a linearized theory for the fluctuation of the particle density. Two of the fit parameters, namely the diffusion constant and the noise strength, deviate from their naive bare values [6]. In particular, the former increases significantly with the system size. Since this behavior can only be caused by nonlinear effects, we calculate the lowest order corrections in perturbation theory. Several open questions and future work are discussed. / Ph. D.

Dans cette thèse on étudie certaines applications de modèles simples de la physique théorique au trafic piétonnier. Ces modèles sont tous des automates cellulaires, plus précisément des processus d'exclusion. Dans la première partie de le thèse on étudie un système unidimensionnel, le processus d'exclusion simple totalement symétrique (TASEP), un modèle paradigmatique de particules qui sautent dans une direction favorisée sur un réseau. Le TASEP peut être utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes de transport, et ici on l'étudie avec des schémas de mise à jour adaptés aux piétons. Le “frozen shuffle update”, schéma plutôt régulier, est défini et ses propriétés principales sont déterminées exactement sur un anneau, avec conditions aux bords ouvertes et pour deux voies qui se croisent en un seul site. Une théorie du domain wall (mur séparant des domaines) exacte au niveau microscopique est alors construite pour un TASEP avec mise a jour parallèle. On montre que cette dernière est en désaccord avec les prédictions précédentes et que la différence vient de corrélations à courte portée qui sont habituellement négligées pour les schémas de mise à jour présentant des fluctuations plus importantes. Dans la seconde partie on combine plusieurs TASEP afin de former un croisement à deux dimensions comprenant deux flux de particules qui s'intersectent perpendiculairement. Sur un tore on observe une alternance de diagonales de particules de chaque type qu'on voit aussi chez les vrais piétons. Cette structure est alors expliquée par une analyse de stabilité linéaire d'équations type champ moyen. Avec des conditions aux bords ouvertes les diagonales s'inclinent légèrement, donnant naissance à “l'effet chevron”, qu'on observe aussi bien pour les particules que pour les équations. L'effet chevron est fondamentalement nonlinéaire, mais peut tout de même être expliqué par des calculs d'interactions effectives entre les particules, de manière similaire à ce qui est fait en mécanique des fluides. Pour finir, quelques généralisations naturelles sont rapidement étudiées numériquement pour tester l'applicabilité du modèle aux piétons et la possibilité de mesurer l'effet chevron dans des expériences. / In this thesis we study pedestrian traffic applications of simple models from theoretical physics. These models all belong to the realm of cellular automata, more precisely they are exclusion processes. In the first part of the thesis we study the one-dimensional Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP), a paradigmatic model of particles hopping in a preferred direction in a one-dimensional lattice. While the TASEP can be used to model various transport phenomena, in this thesis we study the TASEP with updating schemes adapted to pedestrians. The rather regular 'frozen shuffle update' is introduced and its main properties are determined exactly on a ring, with open boundaries and for a crossing of two lanes on a single site. A microscopically exact domain wall theory is then constructed for the TASEP with parallel update and shown to disagree with already existing predictions, the discrepancy being shown to come from short-range correlations that are usually ignored for updates with more fluctuations. In the second part several TASEP are combined to form a bidimensional crossing with two perpendicularly intersecting particle fluxes. On a torus we observe a pattern of alternating diagonals of different particle types, that is observed in real pedestrian crossings as well. The pattern is then explained by a linear stability analysis of mean-field-type equations. Taking open boundary conditions the diagonals become tilted and give rise to what is called the 'chevron effect', observed in the particle system as well as in the numerical solution of the equations. This chevron effect is fundamentally nonlinear, but can nevertheless be explained in terms of fluid-mechanics-like effective interactions between particles. Eventually, some natural generalizations are briefly studied numerically to question the applicability of the model to pedestrians and the possibility of measuring the chevron effect in experiments.

Quand le mouvement de particules sous l'action d'un forçage extérieur est restreint par des mécanismes d'exclusion ou de blocage, des corrélations spatio-temporelles non triviales peuvent être observées, dans une dynamique caractérisé par des hétérogénéités spatiales et grandes fluctuations dans le temps.Dans cette thèse, nous étudions deux exemples d'un tel type de mouvement, en prenant en considération deux processus d'exclusion sur des réseaux discrètes en 2d et en 1d.Le premier modèle est inspiré par les mécanismes de relaxation lents observés dans le cisaillement ou le forçage de systèmes colloïdaux ou granulaires: pour des densités élevées, en augmentant le forçage la viscosité peut croitre énormément. Nous expliquons le mécanisme de blocage à grandes densités comme conséquence de l'existence simultanée de régions bloquées et mobiles dans le système, et nous déterminons la signature d'une telle dynamique par le moyen de la thermodynamique des histoires. Nous mesurons aussi l'extension spatiale des structures hétérogènes et fournissons un modèle phénoménologique reliant les propriétés microscopiques de la dynamique au comportement macroscopique de l'écoulement.Le deuxième modèle consiste en un processus d'exclusion en une dimension, incluant les effets dus à la présence structurelle d'un défaut dynamique localisé. Inspirés par la complexité et la richesse du processus de translation du ARN messager, nous proposons un nouveau modèle pour la dynamique de particules dont le mouvement est affecté par des modification stochastiques et structurelles de leur conditions de transport. Nous fournissons une description complète du modèle, avec la caractérisation de tous les régimes dynamiques possibles et une explication quantitative des profils macroscopiques du courant. / When the motion of particles driven by external forces is restricted by exclusion mechanisms or bottlenecks, non-trivial space-time correlations in their motion may be observed, giving rise to a dynamics which involves spatial heterogeneities and large fluctuations in time.Here we study two examples of such kind of motion, considering two exclusion processes on discrete lattices in 2d and 1d.The first model is inspired by the slow relaxation occurring when stirring or shearing colloidal or granular materials: at high densities (or packing fractions) increasing the external forcing may lead to a strong increase in the viscosity. We explain the blockage dynamics at high density as the coexistence of blocked and mobile regions and we determine the signature of such dynamics with the use of the thermodynamics of histories. We also quantify the spatial extension of such structures and provide a phenomenological model relating the microscopic properties of the dynamics to the macroscopic flow behavior.The second model consists in a one-dimensional exclusion process incorporating a structural, localized, dynamical defect. Inspired by the complexity and richness of mRNA translation, we propose a new model for the dynamics arising when the particles flow is regulated by structural or conformational changes in the transport medium. We provide a complete description of the model, characterizing all the possible dynamical regimes and addressing a quantitative explanation of the macroscopic current profiles.

Nous présentons des approches théoriques et numériques pour deux dynamiques irréversibles et parallèles sur des modèles de mécanique statistique. Dans le premier chapitre, nous présentons les résultats théoriques sur un système de particules induite par une chaîne de Markov irréversible, à savoir le TASEP. Permettant des multiples retournements de spin \`à chaque itération, nous définissons un modèle avec une dynamique parallèle appartenant à la famille des PCA et nous dérivons sa mesure stationnaire. Dans ce cadre, nous traitons {\it le problème du blocage}, {\it i.e.} comprendre les effets d’une perturbation localisée dans le taux de transition des particules sur des systèmes irréversibles: le problème du blocage. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une version unidimensionnelle du modèle d'Ising avec potentiel de Kac. Nous définissons une PCA avec une interaction asymétrique et nous trouvons sa mesure stationnaire avec condition aux limites périodique.Ensuite, nous prouvons la convergence, dans la limite thermodynamique, de cette mesure stationnaire vers la mesure de Gibbs pour toutes les températures supérieures à la température critique via les estimations de F\"ollmer et le théorème d'unicité de Dobrushin. Dans la seconde partie de la thèse, nous étudions ces deux dynamiques à travers des expériences numériques. Dans le cas du TASEP en exploitant des processeurs graphiques (GPU) et CUDA pour identifier une estimation raisonnable du {temps de m\'elange} et renforcer la conjecture qu’à la fois dans la version, la règle de mise à jour série ou parallèle, le courant peut ne pas être analytique dans l’intensité du blocage autour de la valeur $ \varepsilon = 0 $ / In this thesis we present theoretical and numerical approaches for two irreversible and parallel dynamics on one-dimensional statistical mechanics models. In the first chapter we present theoretical results on a particles system driven by an irreversible Markov chain namely the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP). Allowing multiples spin-flips in each time-step we define a model with a parallel dynamics that belongs to the family of the probabilistic cellular automata (PCA) and we derive its stationary measure. In this framework we deal with {\it the blockage problem}, {\it i.e.} to understand the effects of a localized perturbation in the transition rates of the particles on irreversible systems: the blockage problem. In the second chapter we present a one-dimensional version of the Ising model with Kac potential. Again we define a PCA dynamics with asymmetric interaction between particles and we find its stationary measure for periodic boundary condition. Then we prove the convergence, in the thermodynamic limit, of such stationary measure to the Gibbs measure for all temperatures above the critical one via F\"ollmer estimates and dobrushin's uniqueness theorem. In the second part of the thesis, we investigate these two dynamics through numerical experiments.In the case of the TASEP we exploit general purpose graphical processors unit (GPGPU) writing a parallel code in CUDA to identify a reasonable {\it mixing time} and reinforce the conjecture that in both version, serial or parallel update rule, the current may be non-analytic in the blockage intensity around the value $\varepsilon = 0$

The methods of statistical physics are increasingly being employed in a range of interdisciplinary areas. In particular, aspects of complex biological processes have been elucidated by bringing the problems down to the level of simple interactions studied in a statistical sense. In nonequilibrium statistical physics, a one dimensional lattice model known as the totally asymmetric simple exclusion processes (TASEP) has become prominent as a tool for modelling various cellular transport processes. Indeed the context in which the TASEP was first introduced (MacDonald et. al., 1968) was to model ribosome motion along mRNA during protein synthesis. In this work I study a variation of the TASEP in which particles hop along a one dimensional lattice which extends as they reach the end. We introduce this model to describe the unique growth dynamics of filamentous fungi, whereby a narrow fungal filament extends purely from its tip region while being supplied with growth materials from behind the tip. We find that the steady state behaviour of our model reflects that of the TASEP, however there is an additional phase where a dynamic shock is present in the system. I show through Monte Carlo simulation and theoretical analysis that the qualitative behaviour of this model can be predicted with a simple mean-field approximation, while the details of the phase behaviour are accurate only in a refined approximation which takes into account some correlations. I also discuss a further refined mean-field approximation and give a heuristic argument for our results. Next I present an extension of the model which allows the particles to interact with a second lattice, on which they diffuse in either direction. A first order meanfield continuum approximation suggests that the steady states of this system will exhibit some novel behaviour. Through Monte Carlo simulation I discuss the qualitative changes that arise due to the on-off dynamics. Finally I study a model for a second biological phenomenon: the length fluctuations of microtubules. The model describes stochastic polymerisation events at the tip of a microtubule. Using a mean-field theory, we find a transition between regimes where the microtubule grows on average, and where the length remains finite. For low rates of polymerisation and depolymerisation, the transition is in good agreement with Monte Carlo simulation.

Dans cette thèse on étudie certaines applications de modèles simples de la physique théorique au trafic piétonnier. Ces modèles sont tous des automates cellulaires, plus précisément des processus d'exclusion. Dans la première partie de le thèse on étudie un système unidimensionnel, le processus d'exclusion simple totalement symétrique (TASEP), un modèle paradigmatique de particules qui sautent dans une direction favorisée sur un réseau. Le TASEP peut être utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes de transport, et ici on l'étudie avec des schémas de mise à jour adaptés aux piétons. Le "frozen shuffle update", schéma plutôt régulier, est défini et ses propriétés principales sont déterminées exactement sur un anneau, avec conditions aux bords ouvertes et pour deux voies qui se croisent en un seul site. Une théorie du domain wall (mur séparant des domaines) exacte au niveau microscopique est alors construite pour un TASEP avec mise a jour parallèle. On montre que cette dernière est en désaccord avec les prédictions précédentes et que la différence vient de corrélations à courte portée qui sont habituellement négligées pour les schémas de mise à jour présentant des fluctuations plus importantes. Dans la seconde partie on combine plusieurs TASEP afin de former un croisement à deux dimensions comprenant deux flux de particules qui s'intersectent perpendiculairement. Sur un tore on observe une alternance de diagonales de particules de chaque type qu'on voit aussi chez les vrais piétons. Cette structure est alors expliquée par une analyse de stabilité linéaire d'équations type champ moyen. Avec des conditions aux bords ouvertes les diagonales s'inclinent légèrement, donnant naissance à "l'effet chevron", qu'on observe aussi bien pour les particules que pour les équations. L'effet chevron est fondamentalement nonlinéaire, mais peut tout de même être expliqué par des calculs d'interactions effectives entre les particules, de manière similaire à ce qui est fait en mécanique des fluides. Pour finir, quelques généralisations naturelles sont rapidement étudiées numériquement pour tester l'applicabilité du modèle aux piétons et la possibilité de mesurer l'effet chevron dans des expériences.