SILVA, Isaac Nobre Lima da. A trombeta de Gabriel. 2016. 81 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-11-28T15:07:38Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_inlsilva.pdf: 1783384 bytes, checksum: 9807cb282cde2e26b6a58afc292d73ef (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-11-28T15:08:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_inlsilva.pdf: 1783384 bytes, checksum: 9807cb282cde2e26b6a58afc292d73ef (MD5) / Made available in DSpace on 2016-11-28T15:08:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_inlsilva.pdf: 1783384 bytes, checksum: 9807cb282cde2e26b6a58afc292d73ef (MD5) Previous issue date: 2016 / Infinity is a concept which often defies our intuition and leads us to making mistakes, for we have the idea that infinite is necessarily related to something unlimited. On Differential and Integral Calculus, for instance, we determine definite integral f x dxbaconsidering a continuous function f in a closed and limited interval [a, b]. However, in some applications we face cases where the interval is infinity or the function f has an infinite discontinuity in the interval. In both cases, we have an improper integral. Evidence of this problem have been observed in the seventeenth century, where in 1641, the Italian physicist and mathematician Torricelli noted that an infinite area, if submitted to a rotation around an axis of its plan, can sometimes provide a solid of revolution with a finite volume. Can something infinite generate something finite? This triggers a controversy about the nature of infinite and generates a real paradox. One of these fascinating solids of revolution is the Gabriel's Horn or Torricelli‟s Trumpet, generated out of an equilateral hyperbole, which can be enunciated as the Painter‟s Paradox and Gabriel's Horn: "If an infinite area bordered by the hyperbola xy = 1, the line x = 1 and the abscissa is rotated around the axis, the solid volume generated by this rotation is finite. Since this area is infinity, an infinite amount of paint would be necessary to paint it, however, a finite amount of ink would be enough to fill it, once the volume is finite." Intuitively, we could fill it with ink, but not even all the paint in the world would be enough to paint its surface. Without a doubt this is a counterintuitive example involving infinity. With that in mind, this paper aims to present through the Painter's Paradox and Gabriel's Trumpet an approach to teaching improper integrals for both, higher education and high school students who wish to deepen their studies on calculus. For this end, a content recall is done on subjects like length of a curve, surface of revolution area, solid of revolution volume and hyperbola. Furthermore, it is proposed a discussion about the importance of Calculus on basic education and the widely known "failure at teaching Calculus. / O infinito é um conceito que por muitas vezes desafia nossa intuição e nos faz cometer erros, pois temos a ideia que o infinito está necessariamente ligado a algo ilimitado. No Cálculo Diferencial e Integral, por exemplo, definimos integral definida f x dxba considerando uma função f contínua num intervalo fechado e limitado [a,b]. Porém, em algumas aplicações nos deparamos com casos em que o intervalo é infinito ou a função f tem uma descontinuidade infinita no intervalo. Nesses dois casos, temos uma integral imprópria. Indícios desse problema já foram observados, no século XVII, onde em 1641, o físico e matemático italiano Torricelli notou que uma área infinita, se submetida a uma rotação em torno de um eixo de seu plano, pode às vezes fornecer um sólido de revolução de volume finito. Algo infinito pode gerar algo finito?! Isso desencadeia uma controvérsia sobre a natureza do infinito e gera um verdadeiro paradoxo. Um desses fascinantes sólidos de revolução é a Trombeta de Gabriel ou de Torricelli que é gerado a partir de uma hipérbole equilátera e podemos enunciar como o Paradoxo do Pintor e a Trombeta de Gabriel : “Se uma área infinita, limitada pela hipérbole xy = 1, a reta x = 1 e o eixo das abscissas é girada em torno do eixo, o volume do sólido gerado com essa rotação é finito. Dado que tal área é infinita, seria necessária uma quantidade infinita de tinta para poder pintá-la, porém, bastaria uma quantidade finita de tinta para poder preenchê-la, uma vez que o volume é finito.” De modo intuitivo, poderíamos enchê-la de tinta, mas nem toda tinta do mundo poderia pintar sua superfície. Sem dúvida um exemplo contraintuitivo que envolve o infinito. De posse disso, o presente trabalho deseja apresentar através do Paradoxo do Pintor e a Trombeta de Gabriel uma abordagem para o ensino de integrais impróprias tanto para alunos do Ensino Superior, quanto para alunos do Ensino Médio que desejam aprofundar os seus estudos de Cálculo. Para isso, fazemos um resgate de conteúdos como comprimento de curva, área de superfície de revolução, volume de um sólido de revolução e hipérbole. Além disso, propomos uma discussão sobre a importância do Cálculo no Ensino Básico e o tal propalado “fracasso do ensino de Cálculo”.