Nous établissons les liens asymptotique entre deux catégories de modèles à volatilité stochastique décrivant le même marché dérivé: - un modèle générique à volatilité stochastique instantanée (SInsV) , dont le système d'EDS est un chaos de Wiener formel, spécifié sans aucune variable d'état. - une classe à volatilité implicite stochastique glissante (SImpV), qui est un autre modèle de marché, décrivant explicitement la dynamique conjointe du sous-jacent et de la surface d'options Européennes associées. Chacune de ces connexions est atteinte couche par couche, entre un groupe de coefficients SInsV et un ensemble de differentielles SImpV (statiques et dynamiques). L'approche asymptotique conduit à ce que ces différentielles croisees soient prises à l'expiration zéro, au point ATM. Nous progressons d'une configuration simple, bi-dimensionnelle à sous-jacent unique, d'abord vers une configuration multi-dimensionnelle, puis vers un cadre à structure par terme. Nous exposons les contraintes structurelles de modélisation et l'asymétrie entre le problème direct (de SInsV vers SImpV) et inverse. Nous montrons que cette expansion asymptotique en chaos (ACE) est un outil puissant pour la conception et l'analyse de modèles. En se concentrant sur des modèles à volatilité locale et leurs extensions, nous comparons ACE avec la littérature et exhibons un biais systématique dans l'heuristique de Gatheral. Dans le contexte multi-dimensionnel, nous nous concentrons sur des paniers à poids stochastiques, pour lesquels ACE fournit des résultats intuitifs soulignant la recurrence naturelle. Dans l'environnement des taux d'intérêt, nous etablissons la première couche de descripteurs du smile pour les caplets, les swaptions et les options sur obligations, à la fois dans un cadre SV-HJM et un cadre SV-LMM. En outre, nous montrons que ACE peut être automatisé pour des modèles génériques, à n'importe quel ordre, sans calcul formel. L'intérêt de cet algorithme est démontré par le calcul manuel des 2eme et 3eme couches, dans un modèle générique SInsV bi-dimensionnel. Nous présentons le potentiel applicatif d'ACE pour la calibration, l'evaluation, la couverture ou à des fins d'arbitrage, illustré par des tests numériques sur le modèle CEV-SABR.

Cette thèse de doctorat propose un modèle d'évaluation, des options avec sauts, volatilité et taux d'intérêt stochastiques, dont la solution analytique généralise les formules de Black & Scholes (1973), Heston (1993), Bates (1996) et Bakshi, Cao & Chen (1997). Après avoir exploré la capacité des schémas GARCH à modéliser la structure par terme de la volatilité de l'indice S&P500 sur le CBOE, la volatilité stochastique devient le coeur probabiliste du paradigme d'incomplétude des marchés. Mais faire de la volatilité stochastique ne permet pas encore de capturer les grandes valeurs de kurtosis pour les options courtes. Le problème leptokurtique est alors résolu en adoptant une classe de distributions générées par des processus de diffusion à sauts. L'effet d'une fréquence aléatoire des sauts poissonniens dans le processus des rentabilités est examiné sur le CBOE. Par ailleurs, l'auteur propose une extension académique du modèle en présence de dividendes stochastiques.