[pt] Esta dissertação de mestrado aborda um estudo aprofundado do artigo [2].
No Capítulo 2, são introduzidas as definições e conceitos fundamentais
necessários para a análise teórica subsequente. Uma proposição é
demonstrada, estabelecendo a existência de uma expansão de Taylor para
funções em um determinado espaço, enfatizando o papel do expoente de
Escauriaza.
O capítulo continua apresentando dois lemas que relacionam subsoluções
e supersoluções em termos de viscosidade e propriedades de normas. A
primeira versão do lema considera a relação entre a dimensão do espaço e
a norma, enquanto a segunda versão utiliza o expoente de Escauriaza para
obter resultados mais refinados. Também são apresentados dois resultados
que explicam a relação entre diferentes noções de soluções viscosas e sua
conexão com os espaços de Sobolev.
As propriedades dos operadores de Pucci são discutidas como conclusão
deste capítulo. No Capítulo 3, a dissertação estabelece a definição da
geometria da fronteira do domínio em questão. Em seguida, um importante
lema é demonstrado, estabelecendo a existência de soluções fortes em um
determinado espaço, explorando a regularidade das funções envolvidas com
base nesse lema.
Os conceitos de super-diferenciabilidade e sub-diferenciabilidade são
introduzidos, desempenhando um papel crucial na compreensão
do comportamento das soluções viscosas e suas relações com
derivadas de ordem superior. Um resultado geral que amplia essas
definições é apresentado. Duas versões em que a função u é duas
vezes super-diferenciável são discutidas, considerando o espaço Ld e posteriormente o espaço Lp
, de modo que p menor que d.
A dissertação prossegue demonstrando a relação entre sub-solução
Lp-viscosidade e sub-solução Lp-forte quando u pertence a um espaço
específico. Em seguida, é mostrado que os limites uniformes de soluções
também são soluções. Por fim, é apresentado o resultado principal da
dissertação, demonstrando a unicidade das soluções fortes. / [en] This master s thesis delves into an in-depth study of the article [2]. Chapter2 begins by introducing fundamental definitions and concepts essential forthe subsequent theoretical analysis. A proposition is then demonstrated,establishing the existence of a Taylor expansion for functions in a givenspace, emphasizing the role of the Escauriaza exponent.The chapter proceeds to present two lemmas that relate subsolutions andsupersolutions in terms of viscosity and properties of norms. The firstversion of the lemma considers the relationship between the dimension ofspace and the norm, while the second version uses the Escauriaza exponentto obtain more refined results. Two results are shown to explain that explainthe relationship between different notions of viscous solutions and theirconnection with Sobolev spaces.The properties of the Pucci operators are discussed at the conclusion of thischapter. Chapter 3 begins by establishing the definition of the boundarygeometry of the domain in question. An important lemma is demonstrated,which establishes the existence of strong solutions in a given space andexplores the regularity of the functions involved based on this lemma.The concepts of superdifferentiability and subdifferentiability areintroduced, playing a crucial role in understanding the behavior of viscoussolutions and their relationships with higher order derivatives. A generalresult that extends these definitions is presented. The dissertation discussestwo versions wherein the function u is twice super-differentiable, consideringthe space Ld and later the space Lp, so that p less than d.The dissertation goes on to demonstrate the relationship between Lp-viscosity sub-solution and Lp-strong sub-solution when u belongs to aspecific space. Next, it is shown that the uniform limits of solutions arealso solutions. Finally, the main result of the dissertation is presented,demonstrating the uniqueness of strong solutions.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:64105 |
| Date | 26 September 2023 |
| Creators | GABRIEL GOMES FIGUEIREDO |
| Contributors | BOYAN SLAVCHEV SIRAKOV |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | TEXTO |
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