Cette recherche s'inscrit dans le domaine de la didactique des mathématiques. Elle a deux objectifs principaux : le premier est de comprendre comment l'utilisation des concepts de fraction et de proportion dans les contextes intra et interdisciplinaires peut avoir des incidences sur l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques, des sciences et technologie, de la physique et de la chimie. Le deuxième est de saisir en profondeur si l'apprentissage de la géométrie, de la probabilité, du rendement énergétique, de la concentration, de la stœchiométrie, de la réflexion optique, du mouvement rectiligne uniformément accéléré transforme les concepts de fraction et de proportion de l'outil à l'objet (Douady, 1986). Pour atteindre ces objectifs, cette recherche consiste à repérer la nature des interactions entre l'enseignant et les élèves autour des concepts de fraction et de proportion, et ce, dans différents contextes. Les concepts de fraction et de proportion occupent une place déterminante dans le Programme de formation de l'école québécoise (MELS, 2001). Ils illustrent le caractère intra et interdisciplinaire qui relève de leurs utilisations en mathématiques et dans les autres disciplines. Cette diversité d'utilisation en raison des liens intra disciplinaires (la probabilité, les statistiques, l'homothétie, etc.) et interdisciplinaires (en sciences et technologie, chimie, biologie, économie, etc.) rend leur construction fondamentale. La conceptualisation de la fraction et de la proportion s'appuie sur les différents sens de la fraction (partie d'un tout, mesure, rapport, quotient et opérateur) et sur son assimilation (Proulx & Bednarz, 2009). Toutefois, le développement du sens de ces deux concepts représente un grand défi pour les élèves. Cette complexité d'apprentissage est partagée par les chercheurs en didactique des mathématiques (Brousseau, 1998; Kieren, 1988; G. Vergnaud, 1990) et par plusieurs enseignants. Cette recherche étudie l'utilisation du statut de la fraction/proportion selon la dialectique outil-objet (Douady, 1986) dans les contextes intra et interdisciplinaires. Basée sur une recherche qualitative/interprétative, notre analyse se concentre principalement sur les interactions entre l'enseignant et les élèves ainsi que sur les productions de ces derniers. Nos résultats sur la nature des interactions entre l'enseignant, les élèves et la tâche ont mis en lumière les incidents didactiques (Roditi, 2005), l'identification des ruptures du contrat didactique (Brousseau, 1998) et les aides apportées aux élèves selon les types de proximités (Bridoux & al., 2015). Tout d'abord, l'analyse des interactions liées à l'apprentissage nous a permis d'identifier l'origine possible des erreurs des élèves et leurs caractéristiques regroupées en trois volets. Le premier volet est lié aux données de l'énoncé de la tâche lors du passage d'un registre de représentation sémiotique à un autre registre (Duval, 1993). Lors de l'interprétation des données de la situation, les erreurs relevées semblent liées aux données superflues et à certains vocables utilisés dans les énoncés des problèmes. Le deuxième volet est lié aux erreurs conceptuelles et touche en général le raisonnement proportionnel. Lors de l'interprétation de la fraction rapport, notamment dans les contextes de trigonométrie et du rendement énergétique, la fraction est considérée comme une quantité sans établir de relation entre le numérateur et le dénominateur. Le troisième volet procédural est lié à l'application de la procédure du produit croisé et aux règles qui gèrent les différentes opérations sur les fractions. De plus, cette analyse nous a permis de qualifier la compréhension des élèves de procédurale selon l'analyse conceptuelle de Bergeron et Herscovics (1989). Dans la classe de mathématiques, la compréhension des probabilités est interprétée selon l'analyse conceptuelle réalisée par Savard (2008) et la compréhension de la trigonométrie est examinée selon l'analyse conceptuelle réalisée par Sonja De kee, Dionne et Mura (1996). Ensuite, l'analyse des interactions liées à l'enseignement nous a permis de classifier les types d'aide que les enseignants procurent aux élèves. Nous les avons catégorisées selon trois types de proximités (Bridoux et al., 2015) : les proximités ascendantes, les proximités descendantes et les proximités horizontales. Nous avons noté une prédominance des proximités horizontales chez les quatre enseignants. Ces proximités horizontales ont un caractère très local et leurs portées cognitives sont limitées (Bridoux et al., 2015, p. 22), contribuant ainsi au maintien du contrat didactique. Les effets du contrat didactique tel que l´effet Topaze, l'effet de l'attente incomprise et le paradoxe du comédien ont également influencé les apprentissages en maintenant le contrat didactique. Nous avons noté une utilisation fréquente de l´effet Topaze, qui en en plus de maintenir le contrat didactique, réduit la responsabilité des élèves et crée des attentes de solution de la part de l'élève envers l'enseignant. Ainsi, ce mode d'intervention présente la procédure du produit croisé comme étant la solution aux tâches proposées. Le rapport aux savoirs de l'enseignant et de l'élève semble aussi influencer l'apprentissage et l'enseignement dans chaque discipline de notre expérimentation. L'enseignement semble se concentrer davantage sur les procédures formelles que sur la compréhension du raisonnement sous-jacent derrière les concepts de fraction et proportion. Ainsi, la compréhension et le raisonnement des élèves sont délaissés au profit de procédures pour l'application rapide. Le rapport au savoir des enseignants à l'égard des concepts de fraction et proportion semble se caractériser par un souci d'optimiser le temps consacré à leur matière. Cette dimension sociale, bien qu'elle réponde au temps didactique (Mercier, 1985, 1992), ne semble pas contribuer à la construction du sens des concepts de fraction et de proportion. En étant peu invités à mobiliser ces concepts et à développer le sens de ces derniers, les élèves pourraient développer un rapport au savoir de type instrumental. Enfin, grâce à nos résultats, des productions des élèves et du verbatim, nous avons pu mettre en évidence la nature de l'utilisation de la fraction / proportion selon la dialectique comme outil ou objet (Douady, 1986). L'analyse des interventions des quatre enseignants, qui se caractérisent par une prédominance de proximités horizontales, montre que celles-ci n'ont pas favorisé le passage de la fraction / de la proportion outil à la fraction / la proportion objet. Cette analyse nous a révélé que les interprétations des concepts de fraction, de pourcentage, de proportion partie-tout et proportion grandeur indépendante sont encore en voie de construction et elles sont situées à la phase de « recherche » selon le cycle de fonctionnement de la DOO. Cette analyse met en évidence de nombreuses erreurs et confirme que les connaissances des élèves portent essentiellement sur des procédures pour réaliser les tâches. Ces erreurs témoignent que leur raisonnement est basé sur l'utilisation de ces concepts comme « outils en élaboration » dans la résolution des tâches. Ainsi, ces « outils en élaboration » sont plus particulièrement observables dans les phases « ancien » et « recherche » selon le cycle de fonctionnement de la DOO. La notion de la fraction et de la proportion joue un rôle non négligeable dans l'apprentissage et l'enseignement dans les contextes intra et interdisciplinaires et constitue un défi de taille pour les élèves. C'est ainsi que cette étude a rendu explicite le fait que les élèves utilisent les concepts de fraction et de proportion comme « outil en élaboration » (Douady, 1986) lors de l'apprentissage de la géométrie, de la probabilité, du rendement énergétique, de la concentration, de la stœchiométrie, de la réflexion optique et du mouvement rectiligne uniformément accéléré. Comme la fraction et la proportion sont encore à l'état d' « outil en élaboration » (Douady, 1986), leur utilisation dans les situations faisant intervenir ces deux concepts influence l'apprentissage et l'enseignement de ces matières. / This research focuses on the field of didactics of mathematics. It has two main objectives: the first is to understand how the use of the concepts of fraction and proportion in intra and interdisciplinary contexts can affect the learning and teaching of mathematics, science and technology as well as physics and chemistry. The second is to grasp whether the learning of geometry, probability, energy efficiency, concentration, stoichiometry, optical reflection, and uniformly accelerated rectilinear motion transforms the fraction and the proportion of the object to the tool (Douady, 1986). In order to achieve these goals, this research consists in identifying the nature of teacher-student interactions around the concepts of fraction and proportion taken in different contexts. The concepts of the fraction and the proportion play a crucial role in the training program of the Quebec school (MELS, 2001). They illustrate the intra and interdisciplinary character of their usages in mathematics and other disciplines. This diversity of use in view of intradisciplinary links (probability, statistics, homothetic, etc.) and interdisciplinary links (in science and technology, chemistry, biology, economics, etc.) makes their constructions fundamental. The conceptualization of fraction and proportion is based on various significances of the fraction (part of a whole, measure, ratio, quotient and operator) and on its assimilation (Proulx & Bednarz, 2009). However, developing the meaning of these two concepts represents a major challenge for students. This learning complexity is shared by researchers in didactics of mathematics (Brousseau, 1998; Kieren, 1988; G. Vergnaud, 1983, 1990) and by several teachers. This research studies the use of the status of fraction / proportion as per the dialectic tool / object (Douady, 1986) in intra and interdisciplinary contexts. Based on a qualitative / interpretative research, our analysis focuses mainly on the interactions between the teacher and the students as well as their productions. Our results on the nature of interactions between the teacher and the students and the task brought to light the didactic incidents (Roditi, 2005), the identification of breaks in the didactical contract (Brousseau, 1998) and the support given to students according to the types of proximities (Bridoux & al., 2015). Firstly, the analysis of interactions related to learning allowed us to identify the possible origin of the students' errors and their characteristics which are grouped into three parts. The first part is linked to the data of the task statement when moving from a register of semiotic representation to another (Duval, 1993). When interpreting the data, the errors noted appear to be related to superfluous data and to certain terms used in the instructions. The second part is related to conceptual errors and generally affects proportional reasoning. When interpreting the ratio fraction, especially in the contexts of trigonometry and energy efficiency, the fraction is considered a quantity without establishing a relation between the numerator and the denominator. The third procedural aspect is related to the application of the cross-product procedure and the rules related to the various operations on fractions. In addition, this analysis allowed us to qualify the students' understanding of procedural according to the conceptual analysis of Bergeron and Herscovics (1989). In the mathematics class, the understanding of probability is interpreted according to the conceptual analysis performed by Savard (2008) and the understanding of trigonometry is examined according to the conceptual analysis performed by Sonja De kee, Dionne and Mura (1996). Secondly, the analysis of interactions linked to teaching allowed us to classify the types of help that teachers provide to students. We have categorized them according to three types of proximities (Bridoux et al., 2015): ascending proximities, descending proximities and horizontal proximities. We noted a predominance of the use of horizontal proximities among the four teachers. These horizontal proximities are very local in nature and their cognitive reach is limited (Bridoux et al., 2015, p. 22), thus contributing to the maintenance of the didactic contract. The effects of the didactic contract such as the Topaz effect, the effect of misunderstood expectation and the actor's paradox also influenced learning by maintaining the didactic contract. We have noted a frequent use of the Topaz effect, which in addition to maintaining the didactic contract, reduces the responsibility of the students and creates, in the student, expectations of solution from the teacher. Thus, this mode of intervention presents the cross-product procedure as the solution to the proposed tasks. The teacher/student's relationship with knowledge also seems to influence learning and teaching in each discipline of our experimentation. The teaching seems to focus more on formal procedures than on understanding the underlying reasoning behind the concepts of fraction and proportion. Thus, students' understanding, and reasoning are abandoned in favor of procedures with rapid application. This relation to knowledge with regard to the concepts of fraction and proportion seems to be characterized by a desire to optimize the time devoted to their subject. This social dimension, although it responds to didactic time (Mercier, 1985, 1992), does not seem to contribute to the construction of the meaning of the concepts of fraction and proportion. By not being invited to use these concepts and develop their meaning, students could develop an instrumental relationship to knowledge. Finally, thanks to our results of student productions and verbatim, we were able to highlight the nature of the use of the fraction / proportion according to the dialectic as a tool or object (Douady, 1986). Analysis of the interventions of the four teachers, which are characterized by a predominance of horizontal proximities shows that these did not favor the transition from the fraction / the object proportion to the fraction / the tool proportion. This analysis revealed to us that the interpretations of the concepts of fraction, percentage, part-whole proportion and independent quantity proportion are still under construction and they are located at the "research" phase according to the operating cycle of the DOO. This analysis highlights many errors and confirms that the students' knowledge mainly relates to the procedures for carrying out the tasks. These errors show that their reasoning is based on the use of these concepts as "tools in development" in the resolution of tasks. Thus, these "tools in development" are more particularly observable in the "old" and "research" phases according to the operating cycle of the DOO. The notion of fraction and proportion play a significant role in learning and teaching in intra and interdisciplinary contexts and constitute a major challenge for students. This is how this study made explicit the fact that students use the concepts of fraction and proportion as a "tool in development" (Douady, 1986) when learning geometry, probability and energy efficiency, concentration, stoichiometry, optical reflection and uniformly accelerated rectilinear motion. As the fraction and the proportion are still in the state of a "tool in development" (Douady, 1986), their use in situations involving these two concepts influences the learning and teaching of these subjects.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/69908 |
| Date | 27 January 2024 |
| Creators | Benrherbal, Abderrahmane |
| Contributors | DeBlois, Lucie |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xxvi, 505 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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