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Previous issue date: 2017-11-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we establish a new method to calculate the index of curves in a
neighborhood of a boundary and we show that the index of a trajectory of a vector
field which intersects the boundary at two points is 1/2.
Using this method we extended the index definition for discontinuous vector fields
with a regular transition manifold and we calculate the index for closed curves that
intersect the variety of transition = f−1(0), where f is a differentiable function,
and is the union of the regions tangency, sewing, sliding and escaping. We also
show that the index for solutions of the discontinuous vector field that are −closed
of type 1 and intersect the boundary at 2-point is equal to 1. We also establish
an index theory for discontinuous vector fields when the transition manifold is not
regular in a point and we show that the index is given by the calculation in its
regular regions and add ±1/2, depending on the dynamics at the non-regular point.
We apply the theory of index developed in this work and we give quotas for the
indices of continuous vector field and for polynomial vector fields on two zones.
Finally, we demonstrate a version of the Poincaré-Hopf Theorem for discontinuous
vector fields in compact manifolds. / Neste trabalho estabelecemos um novo método para calcular o índice de curvas
numa vizinhança do bordo e mostramos que o índice de uma trajetória de um
campo vetorial a qual intersecta o bordo em dois pontos é 12
. Utilizando este método
estendemos a definição do índice para campos vetoriais descontínuos com variedade
de transição regular e calculamos o índice para curvas fechadas que intersectam
a variedade de transição = f−1(0), onde f é uma função diferenciável, e é a
união das regiões de tangência, de deslize, escape ou costura. Mostramos também
que o índice para soluções do campo vetorial descontínuo que são −fechadas
do tipo 1 e intersectam o bordo em 2 pontos é igual a 1. Estabelecemos também
uma teoria do índice para campos vetoriais descontínuos quando a variedade de
transição não é regular em um ponto e mostramos que o índice é dado pelo cálculo
em suas regiões regulares e somar ±1
2 , a depender da dinâmica no ponto não
regular. Aplicamos a teoria do índice desenvolvida neste trabalho e damos cotas
para índices de campos vetoriais contínuos e para campos vetoriais polinomiais por
partes. Finalmente, demostramos uma versão do Teorema de Poincaré-Hopf para
campos vetoriais descontínuos em variedades compactas.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tede/8081 |
| Date | 27 November 2017 |
| Creators | Furlan, Pablo Vandré Jacob |
| Contributors | Medrado, João Carlos da Rocha, Medrado, João Carlos da Rocha, Euzébio, Rodrigo Donizete, Silva, Paulo Ricardo da, Lima, Maurício Firmino Silva, Buzzi, Claudio Aguinaldo |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Programa de Pós-graduação em Matemática (IME), UFG, Brasil, Instituto de Matemática e Estatística - IME (RG) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 6600717948137941247, 600, 600, 600, 600, -4268777512335152015, 1858387081509645909, 2075167498588264571 |
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