Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με μεθόδους κατασκευής λύσεων για μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξώσεις (ΜΔΕ) εξέλιξης, δηλαδή εξισώσεις που περιγράφουν μια φυσική κατάσταση που εξελίσσεται χρονικά, και διακρίνονται σε γραμμικές και μη γραμμικές. Για την επίλυση των γραμμικών ΜΔΕ εξέλιξης υπάρχει η μέθοδος του μετασχηματισμού Fourier. Για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης δεν υπάρχει κάποια γενική μέθοδος κατασκευής λύσεων. Πολλές απ’ αυτές, έχουν την ιδιότητα να επιδέχονται ειδικές λύσεις που ονομάζονται σολιτόνια. Βασικό χαρακτηριστικό των σολιτονίων είναι η «ελαστική» αλληλεπίδρασή τους.
Πρώτοι οι Zabusky και Kruskal ανακάλυψαν το 1965 ότι η εξίσωση των Korteweg και De Vries (KdV) επιδέχεται σολιτονική λύση. Σχεδόν αμέσως οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura [1967,1974] βρήκαν μια μέθοδο κατασκευής σολιτονικής λύσης για την εξίσωση KdV. Η μέθοδος βασίζεται στην λογική της σκέδασης και της αντίστροφης σκέδασης. Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης, λειτουργεί ανάλογα με αυτή του μετασχηματισμού Fourier για τις γραμμικές, και αποτελεί το κύριο μέρος αυτής της εργασίας. Ειδικότερα:
Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση, καθώς και λύσεις αυτών. Στη συνέχεια, αναζητούμε σολιτονικές λύσεις για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης και κλείνουμε με ένα παράδειγμα μη γραμμικής ΜΔΕ εξέλιξης στις δύο χωρικές διαστάσεις.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, δείχνουμε πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις προβλημάτων αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, με χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στην κατασκευή λύσεων για μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης.
Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στο ΠΑΤ για την εξίσωση KdV. Για κατάλληλη επιλογή της αρχικής συνθήκης διαπιστώνουμε ότι η KdV επιδέχεται σολιτονικές λύσεις. Συγκεκριμένα, επιλέγουμε αρχικές συνθήκες που εξελίσσονται χρονικά σε σολιτονική, 2-σολιτονική και 3-σολιτονική λύση. Τέλος, παρουσιάζουμε ένα πρόγραμμα σε περιβάλλον Mathematica που κατασκευάζει πολυσολιτονική λύση για την εξίσωση KdV.
Το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται στα ζεύγη Lax, τα οποία είναι ζεύγη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Αυτό που τα χαρακτηρίζει είναι ότι, η συνθήκη συμβατότητας αυτών είναι η εξίσωση εξέλιξης που μας ενδιαφέρει. Σε αυτό βασίζεται και η μέθοδος των Ablowitz, Kaup, Newell και Segur (AKNS), για την κατασκευή λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Εφαρμόζουμε την μέθοδο AKNS στην εξίσωση KdV για να κατασκευάσουμε σολιτονικές λύσεις.
Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με την αναδιατύπωση ενός ΠΑΤ ως πρόβλημα Riemann-Hilbert. Επιπλέον, δείχνουμε πώς συνδέεται ένα πρόβλημα αντίστροφης σκέδασης με ένα πρόβλημα Riemann-Hilbert, θεωρώντας την εξίσωση KdV. Τέλος, αναφερόμαστε στην σύνδεση προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών με το πρόβλημα Riemann-Hilbert και κάνουμε μια επισκόπιση στη σύγχρονη βιβλιογραφία και παρουσιάζουμε πρόσφατα αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση. / In this master thesis our subject is to construct solutions for nolinear partial differential evolution equations (PDEs), which are equations that describe a physical model that evolves in time, and can be either linear or nonlinear. For solving linear PDEs we use the Fourier Transform (FT), while for nonlinear PDEs a general method for constructing solutions does not exist. Many of them admit special kind of solutions that are called solitons. A basic property of solitons, is that they interact in an elastic way.
In 1965, Zabusky and Kruskal were the first to discover that the Korteweg & de Vries (KdV) equation admits a soliton solution. Straightforward Gardner, Greene, Kruskal and Miura [1967, 1974] found a method to contruct a soliton solution for the KdV equation. This method is based on the Inverse Scattering Transform (IST). The IST is the nonlinear FT- analogue, and a big part of our work is devoted to this method. Particularly:
In the first chapter, we introduce some examples of linear evolution equations in one spatial dimension, and their solutions. We then construct soliton solutions for nonlinear evolution PDEs and an example in 2 spatial dimensions is considered.
The second chapter deals with Initial Value Problems (IVP) and their solution construction via the FT. We also apply the IST to construct solutions for nonlinear evolution PDEs.
In the third chapter, we consider KdV as an example of an evolution equation that is integrable under the IST, by the knowledge of the initial distribution of the solution. For a specific choise of the initial condition we establish that KdV equation admits soliton solutions. Especially, we choose initial conditions that evolve in time to 1-soliton, 2-soliton and multi-soliton solution. Finally, we present a program with Mathematica that constructs multi-soliton solution for the KdV.
The lax pair for a nonlinear evolution equation is introduced in the fourth chapter. Lax pairs are pairs of linear PDEs and, often, their compatibility condition is the nonlinear equation we study. The method produced by Ablowitz, Kaup, Newell and Segur (AKNS), for constructing solutions for nonlinear evolution equations, is based on Lax pairs. We apply this method to KdV.
The last chapter refers to Riemann Hilbert (RH) problems and their connection with the Inverse Scattering problem. We use KdV to show this connection. Finally, we mention how an Initial and Boundary Value Problem (IBVP) and an RH problem are connected. A quick review of recent results is considered.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upatras.gr/oai:nemertes:10889/1582 |
| Date | 25 May 2009 |
| Creators | Κωνσταντίνου-Ρίζος, Σωτήρης |
| Contributors | Τσουμπελής, Δημήτρης, Konstantinou-Rizos, Sotiris, Παπαγεωργίου, Βασίλης, Μπούντης, Αναστάσιος, Τσουμπελής, Δημήτρης |
| Source Sets | University of Patras |
| Language | gr |
| Detected Language | Greek |
| Type | Thesis |
| Rights | 0 |
| Relation | Η ΒΥΠ διαθέτει αντίτυπο της διατριβής σε έντυπη μορφή στο βιβλιοστάσιο διδακτορικών διατριβών που βρίσκεται στο ισόγειο του κτιρίου της. |
Page generated in 0.0033 seconds