This thesis concerns the relationship between four graph invariants: omega, chi_f, chi, and Delta. These are the clique number, the fractional chromatic number, the chromatic number, and the maximum degree, respectively. Trivially omega <= chi_f <= chi <= Delta + 1. We seek to improve the upper bound on chi. We are motivated by a conjecture of Reed, which essentially states that chi is at most the average of its trivial upper and lower bounds: Conjecture. For any graph, chi <= (Delta + 2 + omega)/2. We call this the Main Conjecture, and propose a Local Strengthening based on the closed neighbourhood of a single vertex: Conjecture. For any graph G, chi <= max{v in V(G)} (d(v) + 2 + omega(G[N(v)]) + 1) / 2. We begin by showing that much of the early evidence supporting the Main Conjecture also supports the Local Strengthening. In particular, the variant of the Local Strengthening obtained by replacing chi by chi_f holds, as does the Local Strengthening when the stability number is two. Guided by the first of these results we look towards line graphs, for which chi_f and chi agree asymptotically. We prove the Main Conjecture for line graphs, then we seek to generalize this result. To do this we use recent results of Chudnovsky and Seymour, who characterized the structure of all claw-free graphs. We refine their results by introducing a graph reduction on certain types of homogeneous pairs of cliques that preserves the chromatic number. Thus we need only consider the problem of colouring _skeletal_ claw-free graphs, which cannot be reduced. The structure of skeletal claw-free graphs is simpler than that of general claw-free graphs. We generalize two results from line graphs to the class of quasi-line graphs. Namely, that the Main Conjecture holds, and that chi_f and chi agree asymptotically. We then consider all claw-free graphs. We prove the Main Conjecture for all claw-free graphs and we prove the Local / Cette thèse a pour sujet la relation entre quatre invariants de graphes : omega, chi_f, chi, et Delta.Il s'agit respectivement du nombre de clique, du nombre chromatique fractionnaire,du nombre chromatique, et du degré maximum. Ces paramètres vérifient trivialementl'encadrement suivant : omega <= chi_f <= chi <= Delta+1, dans lequel on cherche ça améliorerla borne supérieure sur chi. Une des principales motivations pour ce travail est uneconjecture de Reed, qui dit essentiellement que chi est au plus la moyenne de ses bornesinférieures et supérieures triviales.Conjecture. Pour tout graph, chi <= (Delta + 2 + omega)/2.On appelle cet énoncé la Conjecture Principale, et on propose un RenforcementLocal basé sur le voisinage de chaque sommet.Conjecture. Pour tout graphe G, chi <= max{v dans V(G)} (d(v) + 2 + omega(G[N(v)]) + 1) / 2.On commence par montrer que la plupart des arguments en faveur de la ConjecturePrincipale incitent également à croire que le Renforcement Local est vrai. Enparticulier, la borne donnée par le Renforcement Local vaut pour chi_f et le RenforcementLocal peut être montré lorsque le nombre de stabilité vaut deux.Guidé par ces premiers pas, on s'intéresse aux graphes adjoints, pour lesquels chi_fet chi sont asymptotiquement équivalents. On montre la Conjecture Principale dansle cas des graphes adjoints et on cherche ensuite à généraliser ce résultat.Pour cela on utilise des résultats récents de Chudnovsky et Seymour, qui ontcaractérisé la structure les graphes sans griffes. On affine ces résultats en introduisantla notion de graphes squelettes. Dans les problèmes auxquels on s'intéresse,on peut facilement se ramener au cas des graphes squelettes, et la structure desgraphes squelettes sans griffes est plus simple que celle des graphes sans griffes engénéral.On étend deux résultats des graphes adjoints aux graphes quasi-adjoints : onmontre que la Conj
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.66861 |
| Date | January 2009 |
| Creators | King, Andrew |
| Contributors | Bruce Alan Reed (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (School of Computer Science) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
Page generated in 0.0023 seconds