This thesis proposes a novel probabilistic method for measuring anatomical connectivity in the brain based on measurements obtained from diffusion magnetic resonance imaging. We approach the problem of fibre tractography from the viewpoint that a computational theory should relate to the underlying quantity that is being measured--the anisotropic diffusion of water molecules in fibrous tissues. To achieve this goal, the prior probability of completion between two particular regions of interest is modelled by a 3D directional random walk, which is representative of the ensemble anisotropic displacement to which diffusion-MRI measurements have been sensitized. The 3D directional random walk is controlled by a set of stochastic differential equations whose solution provides the probability of passing through every state in space given initial source and sink regions. Under such a model, particles tend to travel in a straight line, with a slight perturbation in their 3D orientation at each step governed by two consecutive Brownian motions in the spherical components of the orientation. The probability density functions describing the likelihood of passing through a particular position and orientation in 3D, given an initial source region and a final sink region, are respectively called a stochastic source field and a stochastic sink field. The final stochastic completion field is estimated by the product of these two densities and it represents the probability of passing through a particular state in space, while bridging the gap between the two regions. We show that the maximum likelihood curves obtained under the 3D directional random walk are curves of least energy which minimize a weighted sum of curvature squared, torsion squared and length. The 3D directional random walk and the associated completion fields are an extension of Williams and Jacobs' 2D completion model for curve completion in the plane. We then develop an efficient, local and parallelizable computational method to obtain the stochastic completion fields by exploiting the Fokker-Planck equation of the 3D directional random walk. This partial differential equation describes the evolution of the probability distribution of particles following such a random process. Additionally, a rotation invariant solution is proposed using a spherical harmonics basis to capture directions on the 2-sphere. In analogy with the 2D model of completion, we introduce additional diffusion terms to make spatial advection errors isotropic. The 3D stochastic completion field is further adapted to those problems where dense orientation data is present, as is the case for diffusion MRI measurements. The insertion of angular drift terms into the overall stochastic process provides a principled way to compute completions, while exploiting the local orientation information available at each voxel in the volume. Our algorithm provides a novel index of connectivity between two regions of interest, which is based on the overall probability for the computed completion curves between the two. We then discuss an alternative model of the directional random walk, where the 3D orientation change is drawn from a single distribution, i.e., a 3D Brownian distribution.The performance of the stochastic completion field algorithm is validated qualitatively and quantitatively on diffusion-MRI data from biological phantoms and on synthetic data. In vivo human data from 12 subjects is then used to investigate the algorithm's performance qualitatively by comparing the output of our method with published results based on another tractography method. Finally, we conclude by discussing the advantages and limitations of the method developed in this thesis and suggest directions for future work. / Cette thèse propose un nouveau cadre probabiliste pour la reconstruction de la connectivité anatomique dans le cerveau basée sur les données obtenues avec l'imagerie de diffusion par résonance magnétique. Nous abordons le problème de la tractographie par le point de vue qu'une théorie basée sur des calculs numériques doit se rapporter à la quantité sous jacente qui est mesurée-la diffusion anisotropique des molécules d'eau. Pour atteindre cet objectif, la probabilité de complétion à priori entre deux régions d'intérêt est modélisée par une marche aléatoire tridimensionnelle (3D), représentative du déplacement anisotropique local capturé par l'IRM de diffusion. La marche aléatoire 3D varie selon un ensemble d'équations différentielles stochastiques dont la solution fournit la probabilité de passage entre tous les états dans l'espace, étant donné une source initiale et des régions d'intérêts. Dans un tel modèle, les particules ont tendance à se diriger en ligne droite à chaque passage, avec une légère perturbation dans leur orientation tridimensionnelle provenant de mouvement Brownien dans chaque composante de l'orientation. Étant données initialement une région source et une région finale, les fonctions de densité de probabilité décrivant la vraisemblance de passage par une position et orientation tridimensionnelle sont respectivement nommées champ stochastique source et champ stochastique d'intérêt. Le champ stochastique final est estimé par le produit de ces deux densités et représente la probabilité de passage par un état particulier dans l'espace. Nous montrons que les courbes de maximum de vraisemblance obtenues par le procédé de marche aléatoire directionnelle 3D est la courbe de moindre énergie qui minimise la somme pondérée de la courbature au carrée, de la torsion au carrée et de la longueur. La marche aléatoire directionnelle 3D et ses champ de complétion sont une extension du modèle de complétion de Williams et Jacobs pour la complétion 2D.Nous développons ensuite un modèle de calcul efficace, local et parallellisable pour calculer les champs de complétion stochastiques en exploitant l'équation Fokker-Planck de la marche aléatoire directionnelle 3D. Cette équation différentielle partielle décrit l'évolution de la distribution de probabilité pour les particules de suivre un tel processus aléatoire. De plus, une solution invariante par rotation est proposée en utilisant la base des fonctions harmoniques sphériques afin de capturer la direction sur la sphere. En analogie avec le modèle de complétion 2D, nous introduisions des termes de diffusion additionnels pour rendre les erreurs d'advection spatiales isotropiques. Le champ de complétion stochastique 3D est également adapté plus avant lorsque les données d'orientation sont dense, comme c'est le cas pour l'IRM de diffusion. L'insertion de termes de dérive angulaire dans le processus stochastique global fournit un moyen de calculer les complétions tout en exploitant les informations locales d'orientation accessibles dans chaque voxel. Notre algorithme fournit ainsi une nouvelle mesure de la connectivité entre deux régions d'intérêt en se basant sur la probabilité globale des courbes de complétions entre elles. Nous discutions ensuite d'un modèle alternatif de marche directionnelle aléatoire directionnelle, où la perturbation angulaire provient d'une seule distribution, i.e., une distribution 3D brownienne.Les performances de l'algorithme de champ de complétion sont validées qualitativement et quantitativement sur des données d'IRM de diffusion provenant de fantômes synthétiques et biologiques. Les données humaines acquises in vivo sur 12 patients sont utilisées pour comparer les performances de l'algorithme que nous proposons avec d'autres méthodes de tractographie de l'état de l'art. Nous concluons finalement par une discussion sur les avantages et les limitations de la méthode développée dans cette thèse et suggérons des orientations pour les travaux futurs.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.110445 |
| Date | January 2012 |
| Creators | MomayyezSiahkal, Parya |
| Contributors | Kaleem Siddiqi (Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (School of Computer Science) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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