Many geometric problems are intrinsically linked to the issue of splitting or classifying points. We investigate two such families of problems in two separate branches of research. Guarding problems are motivated by the issue of guarding a region with security cameras or illuminating it with lights. Such problems have been studied for decades, but there are two significant guarding problems whose complexity is not completely understood. First, we investigate the problem of guarding simple polygons; this problem is known to be NP-complete but its approximability is not known. Second, we investigate the complexity of guarding monotone chains, also known as 1.5-dimensional terrains. Understanding the interaction of 'visibility polygons' and how they separate point sets is crucial for the investigation of such problems. We resolve a significant open problem by proving strong NP-completeness for terrain guarding. We also present an approximation algorithm for guarding simple polygons with perimeter guards; this new algorithm improves the state of the art.A geometric split tree is a data structure for storing point sets that recursively splits the space, and in turn the data, in some random way. Understanding the distribution of such a tree's structure is a matter of understanding the distribution of the splits. We investigate the distributions associated with several natural splitting methods. We make new connections between an important problem in discrete geometry and natural probability distributions. With the goal of analyzing geometric split trees based on their splits, we introduce a random tree model that is general while still allowing powerful comparisons with random trees from more restricted models. / Beaucoup de problèmes géométriques sont intrinsèquement liés à la question de la division ou classification des points. Nous étudions deux familles de problèmes dans deux branches distinctes de recherche. Les problèmes de surveillance sont motivés par la question de la surveillance d'une région avec des caméras de sécurité ou d'éclairage avec des feux. Ces problèmes ont été étudiés depuis des décennies, mais il y a deux problèmes importants dont la complexité n'est pas complètement élucidée. Tout d'abord, nous étudions le problème de surveiller des polygones simples. Ce problème est connu pour être NP-complet, mais son approximabilité n'est pas connue. Deuxièmement, nous étudions la complexité de surveiller des chaînes monotones, aussi connues comme terrains en dimension 1,5. Comprendre l'interaction des polygones de visibilité et la façon dont ils divisent les ensembles de points est crucial pour l'étude de ces problèmes. Nous résoudrons un problème important ouvert en prouvant que surveiller les terrains est fortement NP-complet. Nous présentons également un algorithme d'approximation pour la surveillance des polygones simples avec des gardes sur le périmètre. Ce nouvel algorithme améliore l'état de l'art.Un arbre de division géométrique est une structure de données pour stocker des ensembles de points qui divise de manière récursive l'espace, et aussi les données, d'une certaine manière aléatoire. Le compréhension de la répartition de la structure d'un tel arbre est une question de compréhension des répartitions des divisions. Nous étudions les répartitions associées à plusieurs méthodes de division naturelles. Nous faisons de nouvelles connexions entre un problème important en géométrie discrète et des distributions de probabilité naturelles. Dans le but d'analyser les arbres de division géométriques en fonction de leurs divisions, nous introduisons un modèle d'arbre aléatoire qui est général tout en permettant des comparaisons puissants avec les arbres aléatoires dans des modèles plus restreints.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.96843 |
| Date | January 2011 |
| Creators | King, James |
| Contributors | Luc P Devroye (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (School of Computer Science) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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